高三数学平面向量多选题专项训练单元专题强化试卷检测试题

高三数学平面向量多选题专项训练单元专题强化试卷检测试题一、平面向量多选题1．若，，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则答案：ACD【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；对应，若，，则方向相同解析：ACD【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；对应，若，，则方向相同或相反，方向相同或相反，故的方向相同或相反，故，故正确；对应，若，则，，，故正确．故选：【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．2．在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是（）A．B．若，则C．若，则是等边三角形D．若的面积是，则该三角形外接圆半径为4答案：AC【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利解析：AC【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得．【详解】解：由正弦定理可将条件转化为，因为，故，因为，则，故正确；若，则由正弦定理可知，则，因为，则，故错误；若，根据正弦定理可得，又因为，即，即有，所以，因为，则，故，整理得，即，解得，故，则，即，所以是等边三角形，故正确；若的面积是，即，解得，由余弦定理可得，即设三角形的外接圆半径是，由正弦定理可得，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，故选：AC．【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．3．设P是所在平面内的一点，则（）A． B．C． D．答案：CD【分析】转化为，移项运算即得解【详解】由题意：故即,故选：CD【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.解析：CD【分析】转化为，移项运算即得解【详解】由题意：故即,故选：CD【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.4．中，，，则下列叙述正确的是（）A．的外接圆的直径为4.B．若，则满足条件的有且只有1个C．若满足条件的有且只有1个，则D．若满足条件的有两个，则答案：ABD【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得，故正确；对于，，选项：如图解析：ABD【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得，故正确；对于，，选项：如图：以为圆心，为半径画圆弧，该圆弧与射线的交点个数，即为解得个数．易知当，或即时，三角形为直角三角形，有唯一解；当时，三角形是等腰三角形，也是唯一解；当，即，时，满足条件的三角形有两个．故，正确，错误．故选：．【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．5．下列各式中，结果为零向量的是（）A． B．C． D．答案：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：解析：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.6．如图，在平行四边形中，分别为线段的中点，，则（）A． B．C． D．答案：AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误【详解】，即A正确，即B正确连接AC，知G是△ADC的中线交点，如下图示由其性质有∴，即C错误同理，解析：AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误【详解】，即A正确，即B正确连接AC，知G是△ADC的中线交点，如下图示由其性质有∴，即C错误同理，即∴，即D错误故选：AB【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系7．下列命题中，结论正确的有（）A．B．若，则C．若，则A､B､C､D四点共线；D．在四边形中，若，，则四边形为菱形.答案：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A，，故A错误；对于B，若，则，所以，，故，即B正确；对于C，，则或与共线，故C错误；对于D，在四边形中，若解析：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A，，故A错误；对于B，若，则，所以，，故，即B正确；对于C，，则或与共线，故C错误；对于D，在四边形中，若，即，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以四边形是菱形，故D正确；故选：BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.8．下列各组向量中，不能作为基底的是（）A．， B．，C．， D．，答案：ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.9．给出下列命题正确的是（）A．一个向量在另一个向量上的投影是向量B．与方向相同C．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D．若向量与向量是共线向量，则点必在同一直线上答案：C【分析】对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B，两边平方化简；对C，根据向量相等的定义判断；对D，根据向量共线的定义判断.【详解】A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A解析：C【分析】对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B，两边平方化简；对C，根据向量相等的定义判断；对D，根据向量共线的定义判断.【详解】A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A错误；B中，由，得，得，则或或，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，与方向不一定相同，B错误；C中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C正确；D中，由共线向量的定义可知点不一定在同一直线上，D错误.故选：C【点睛】本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.10．下列命题中，正确的是（）A．在中，，B．在锐角中，不等式恒成立C．在中，若，则必是等腰直角三角形D．在中，若，，则必是等边三角形答案：ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；对于，在锐角中，，，，，，因此不等式恒成立，正确；对于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.对于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.11．下列命题中，正确的有（）A．向量与是共线向量，则点、、、必在同一条直线上B．若且，则角为第二或第四象限角C．函数是周期函数，最小正周期是D．中，若，则为钝角三角形答案：BCD【分析】根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C选项的正误解析：BCD【分析】根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C选项的正误；利用切化弦思想化简不等式得出，进而可判断出选项D的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，向量与共线，则或点、、、在同一条直线上，A选项错误；对于B选项，，，所以，则角为第四象限角，如下图所示：则为第二或第四象限角，B选项正确；对于C选项，作出函数的图象如下图所示：由图象可知，函数是周期函数，且最小正周期为，C选项正确；对于D选项，，，，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则的三个内角余弦值必有一个为负数，则为钝角三角形，D选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.12．如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则（）A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11个B．满足的格点共有3个C．存在格点，，使得D．满足的格点共有4个答案：BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，，设，若，所以解析：BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，，设，若，所以，，，且，，得，，共三个，故正确．当，时，使得，故正确．若，则，，，且，，得，，，共4个，故正确．故选：．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．13．点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是()A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形答案：AD【解析】【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案.【详解】∵P是所在平面内一点，且，∴，即，∴，两边平方并化简得，∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故解析：AD【解析】【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案.【详解】∵P是所在平面内一点，且，∴，即，∴，两边平方并化简得，∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD.【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.14．已知的面积为,且,则()A．30° B．60° C．150° D．120°答案：BD【分析】由三角形的面积公式求出即得解.【详解】因为,所以,所以,因为,所以或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.解析：BD【分析】由三角形的面积公式求出即得解.【详解】因为,所以,所以,因为,所以或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．题目文件丢失！17．如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（）A． B．C． D．解析：C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】解：故选：C.【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.18．已知，，，(m，).存在，，对于任意实数m，n，不等式恒成立，则实数T的取值范围为（）A． B． C． D．解析：A【分析】不等式恒成立，即求最小值，利用三角不等式放缩，转化即求最小值，再转化为等边三角形的边的中点和一条直线上动点的距离最小值.当运动到时且反向时，取得最小值得解.【详解】，,易得设，中点为，中点为则在单位圆上运动，且三角形是等边三角形,，所在直线方程为因为恒成立，,(当且仅当与共线同向，即与共线反向时等号成立)即求最小值.三角形是等边三角形，在单位圆上运动，是中点，的轨迹是以原点为圆心，半径为的一个圆.又在直线方程为上运动，当运动到时且反向时，取得最小值此时到直线的距离故选：A【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．19．已知点O是内一点，满足，，则实数m为（）A．2 B．-2 C．4 D．-4解析：D【分析】将已知向量关系变为：，可得到且共线；由和反向共线，可构造关于的方程，求解得到结果.【详解】由得：设，则三点共线如下图所示：与反向共线本题正确选项：【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.20．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为()A． B． C． D．解析：D【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】∵非零向量，满足，∴平方得，即，则，由，平方得得，即则，则向量与的夹角的余弦值，，故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键．21．在中，若，则的形状是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形解析：A【分析】利用正弦定理边角互化思想化简可得，求得角的值，进而可判断出的形状.【详解】，由正弦定理得，即，，，，则，，所以，，因此，是直角三角形.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.22．在中，内角的对边分别是，若，，，则（）A． B． C． D．解析：B【分析】先根据正弦定理化边得C为直角，再根据余弦定理得角B，最后根据直角三角形解得a.【详解】因为，所以,C为直角，因为，所以,因此选B.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.23．在中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若，则等于（）A． B． C． D．解析：D【分析】由，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：，化为，与．解出即可．【详解】解：，，，所以，因为．解得或．因为，所以舍去．．故选：．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．在中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则等于（）A． B． C． D．解析：C【分析】利用同角三角函数基本关系式可得，进而可得，再利用正弦定理即可得出．【详解】解：，．，．．由正弦定理可得：，．故选：．【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．在中，则的值等于（）A． B． C． D．解析：A【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得的值，进而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在中，利用三角形的面积公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故选A.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.26．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，与交于E点.若，则的长为（）A． B． C． D．解析：A【分析】由条件求得∠BCD＝150°，∠CBE＝15°，故∠ABE＝30°，可得∠AEB＝105°．计算sin105°，代入正弦定理，化简求得AE．【详解】由题意可得，AC＝BC＝CD＝DA，∠BAC＝45°，∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+60°＝150°．又△BCD为等腰三角形，∴∠CBE＝15°，故∠ABE＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC＝75°，∠AEB＝105°．再由sin105°＝sin（60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°，△ABE中，由正弦定理可得，∴，∴AE），故选．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于