2025年湖南省衡阳市部分学校九年级中考数学联考试卷（5月份）（含答案）

2025年湖南省衡阳市部分学校中考数学联考试卷（5月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.的倒数是(

)A. B.2026 C. D.2.2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140967万人，比上年末减少208万人用科学记数法可表示为(

)A. B. C. D.3.以下列各组线段为边，能组成三角形的是(

)A.2cm，3cm，5cm B.3cm，3cm，6cm C.5cm，8cm，2cm D.2cm，5cm，6cm4.下列立体图形中，左视图与主视图不同的是(

)A.正方体 B.圆柱

C.圆锥 D.球5.平面直角坐标系中，点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为(

)A. B.

C. D.6.已知正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于点和点B，下列说法正确的是(

)A.反比例函数的解析式为

B.随x值的增大而增大

C.点B的坐标是

D.在x轴上不存在点C，使∽7.为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是(

)时间/小时78910人数79113A.9，8 B.11，8 C.10，9 D.11，8.某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．李老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是(

)A. B. C. D.9.如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接下列说法错误的是(

)A.直线PQ是AC的垂直平分线

B.

C.

D.：：410.如图，已知开口向上的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有(

)

①；

②函数的最小值为；

③若关于x的方程无实数根，则；

④代数式

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.已知关于x的方程的解是，则m的值为______.12.代数式有意义时，x应满足的条件是______.13.如图所示，已知直线，，，则的度数为______.

14.如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b长度为______

15.如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为______结果保留

16.如图，直线：和直线：相交于，则关于x的不等式的解集为______.

17.如图，矩形ABCD中，O为AC的中点.对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若，，则的面积是______.

18.如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为______.

三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.本小题6分

先化简，再求值：，其中20.本小题6分

如图，AC是▱ABCD的对角线，

求证：四边形ABCD是菱形；

若，，求四边形ABCD的面积．21.本小题8分

沂蒙山银座天蒙山景区玻璃桥是我市一闻名的旅游景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度，如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为，，测得BC长为165米，求观测点A到桥面BC的距离．结果保留整数，参考数据：

22.本小题8分

为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元.

求A，B两种品牌足球的单价；

若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用.23.本小题9分

中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图.根据图中信息回答下列问题：

接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；

若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为______人；

若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率.24.本小题9分

如图，为等腰三角形ABC的外接圆，，延长AO交BC于点D，过点C作AB的垂线，交AD于点E，交AB于点F，交于点G，交过点A且与BC平行的直线于点H，连结

判断AH与的位置关系，并说明理由；

若，求和的大小；

若，，求OD的长.25.本小题10分

在中，，，将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、

若点E恰好落在边AC上，如图，连接AD，求的大小.

若，F为AC的中点，如图，连接BF，DF，BE，求证：四边形BEDF是平行四边形.

若，如图，连接AD、BE，且BE与AC、AD分别交于点G、H，求证：26.本小题10分

如图，抛物线过点、点，交y轴于点

求b，c的值.

点是抛物线上的动点.

①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；

②过点P作轴，交BC于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】D

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】5

18.【答案】

19.【答案】解：，

原式

20.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，

，

，

，

，

，

平行四边形ABCD是菱形；

连接BD交AC于O，如图所示：

四边形ABCD是菱形，

，，，

，

，

▱ABCD的面积

21.【答案】解：过点A作交BC的延长线于点D，

由题意得：

，，

是的一个外角，

，

，

米，

在中，，

米，

观测点A到桥面BC的距离约为143米．

22.【答案】解：设A，B两种品牌足球的单价分别为a元，b元，

根据题意，得，

解得，

品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元．

根据题意可知，B品牌足球个，

品牌足球不少于a品牌数的2倍，

，

，

，

，

随x的增大而减小，

当时，y最小，此时

综上，，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个．

23.【答案】解：基本了解的有40人，占，

接受问卷调查的学生共有人，

条形统计图中m的值为：，

扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：，

故答案为：80；16；；

可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：人，

故答案为：40；

画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种，

恰好抽到2名女生

24.【答案】解：与相切，理由如下：

为等腰的外接圆，，延长AO交BC于点D，

，，

，

，

为的半径，

是的切线，

即AH与相切；

，，，

，

，

，

，

，

，

；

设，则，，

在中，，

，

，

，

在中，，，

，

在中，由勾股定理得：，

，，

在中，由勾股定理得：，

在中，由勾股定理得：，

，

整理得：，

解得：，不合题意，舍去，

，

设OD为x，连接OB，如下图所示：

则，

在中，由勾股定理得：，

即，

解得：，

故OD的长为

25.【答案】解：将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E，

，，，

，

；

证明：为AC的中点，在中，，将绕点C顺时针旋转一个角度得到，

，

，，

是等边三角形，

，

由旋转可知，，

，

，

≌，

，

，

，

四边形BEDF是平行四边形；

证明：由旋转可知，，

，

，

，，

，

，

，

∽，

，

，

过点A作交BE于点P，连接AE，PD，如图，

，

，

，

，

，

，

四边形APDE是平行四边形，

是AD的中点，