江苏省无锡市江阴市三校联考2025-2026学年高三上学期12月月考 数学试题（含答案）

江阴市三校2025-2026学年度第一学期12月联合考试

数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确

的．请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置．

1．已知集合A={−4,0,1,2,8},B={x∣x3=x},则AB=()

A.{0,1,2}B.{1,2,8}C.{2,8}D.{0,1}

2．在复平面内，点Z(1，-2)对应的复数为z，则()

A．B．C．D．

3．直线l1,l2互相平行的一个充分条件是()

A．l1,l2都平行于同一个平面B．l1,l2与同一个平面所成的角相等

C．l1,l2都垂直于同一条直线D．l1,l2都垂直于同一个平面

4.设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面上两点，定义d(A，B)＝|x1-x2|+|y1-y2|为A，B的“直角距离”．若d(A，

B)＝2，则线段AB长度的最小值为()

A．B．C．2D．

*

5.已知{an}是首项和公差均为m的等差数列，{bn}是首项和公比均为m的等比数列，m∈N，若{an}的前

5项和与{bn}的前4项和都等于S，则S=()

A.30B.32C.42D.46

6.某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间(单位：h)

−kt

间的关系为：P=P0e，其中P0，k是正的常数．如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%

需要花费的时间为()(精确到1h，参考数据log0.90.5≈6.579)

A．30B．31C．32D．33

7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成

果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数(≠1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗

22

尼斯圆．已知点O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满足λλ，则点P的轨迹与圆C：(x-2)+y＝1的公

切线的条数为()

A．1B．2C．3D．4

8．已知f(x)的导函数为f′(x)，当x>0时，f′(x).xlnx+f(x)>0，则下列结论一定正确的是()

A.f(1)=0B.f′(2)<0

C.f(x)在(0,1)上单调递减D.当x>0时，f(x)>0

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，动点E在棱AB上，则()

A．D1E∥C1CB．D1E⊥A1D

C．三棱锥D1-ECC1的体积是定值D．若D1E⊥EC，则AE长为1

10.已知圆C:(x-2)2+y2=1，点P是直线x+y=0上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A

和B，下列说法正确的为()

A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为B．四边形ACBP面积的最小值为1

C．存在唯一P点，使得∠APB=90AD．直线AB恒过定点

11.设函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|，则()

A．f(x)的图象关于直线x对称

B．f(x)的一个正周期为

C．f(x)的一个单调减区间是

D．函数g=f在区间[m，n](m＜n)上有2026个零点，则n-m的最小值为.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

→→→

12.如图，平面向量e1，e2，向量a的起点与终点均在正方形网格的格点上，

→→→

请用基底e1，e2表示a=．

13．若直线l为曲线f(x)＝ex-1与g(x)＝lnx+1的公切线，

则直线l的方程可以为．(写出符合条件的一个方程即可)

14.函数f=x有两个零点，则实数a的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(13分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点．

(1)若焦距为4，点P的坐标为(-3，1)，求椭圆C的标准方程；

(2)若，且△F1PF2的面积为，求b的值．

16.(15分)已知函数f(x)=x3+(a+2)x2+bx-a2在x=-1处有极值为－2.(1)求a,b；

(2)已知数列{an}的前n项和Sn，满足Snf′，记Tn求Tn

17.(15分)如图，在四边形ABCD中，AB//CD,∠DAB=90°,F为CD的中点，点E在AB上，EF//AD，

AB=3AD,CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成

的二面角为60°.

(1)证明:A′B//平面CD′F；

(2)求面BCD′与面EFD′A′所成的二面角的正弦值．

18.(17分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

(1)判断△ABC的形状；

(2)设AB＝1，且D是边BC的中点，当∠CAD最大时，求△ABC的面积．

19.分若有穷数列*且满足，，,，

(17){an}(n∈Nn≥3)|ai−ai+1|≤|ai+1−ai+2|(i=12…n−2)

则称数列{an}为M数列．

(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；

①1，2，4，3．②4，2，8，1．

(2)已知M数列{an}中各项互不相同．令bm=|am−am+1|(m=1，2，…,n−1)，

求证：数列{an}是等差数列的充分必要条件是数列{bm}是常数列；

*

(3)已知一个M数列{an}是m(m∈N且m≥3)个连续正整数1，2，…,m的一个排列．

若ak−ak+1|=m+2，求m的所有取值．

江阴市三校2025-2026学年度第一学期12月联合考试

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

题号12345678

答案DCDAABCD

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案BCDBCDABD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12.21+4213．y＝x（或y＝ex-1）14.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．解：（1）已知椭圆：＞的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，

已知，C则，即b0)1分

|F1F2|=4√22c=4√2c

由于点P（-3，1）在椭圆上，将其代入椭圆方程＞，

b0)

可得：，即...........................................................2分

2222

又因为c2＝a-b，即a-b＝8，

联立，整理得：b4-2b2-8＝0，...........................................................4分

解得：b2＝4或b2＝-2（舍），5分

所以a2＝b2+c2＝4+8＝12，

故椭圆C的标准方程为...........................................................6分

（2）因为

<F1PF

所以△的面积1π√3分

F1PF2S=|PF1||PF2|.Sin=，8

232

则|PF1|•|PF2|＝2，根据椭圆定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a，9分

222

根据余弦定理可得：|F1F2|=|PF1|+|PF2|—2|PF1||PF2|COS，

22

整理得：|F1F2|=(|PF1|+|PF2|)—2|PF1||PF2|—2|PF1||PF2|COS，...................................11分

代入得：4c2＝4a2-6，即a2—C2=b

即得：b13分

16.解：(1)f′(x)=3x2+2(a+2)x+b

由题意得：f′(−1)=3−2(a+2)x+b=0化简得：b=2a+12分

f(−1)=(−1)3+(a+2)(−1)2+b(−1)−a2=−2化简得：−a2+a−b+3=03分

联立方程代入求解得：.........................................................................................5分

当a=1，b=3此时f′(x)=3(x+1)2，导数在x=−1处不变号，不是极值点，舍去；6分

当a=−2，b=−3此时f′(x)=3(x−1)(x+1)，导数在x=−1处左右符号变号，是极值点。

:a=−2,b=−37分

（列表格同样给分）

2222

（2）解：由（1）得f′(x)=3x−3，故f′(n)=3n−3，Sn=3n−3)+2=n+1.................................8分

当n=1时，a1=S1=2；

22

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(n+1)−[(n−1)+1]=2n−1

而a1=2不满足上式:an................................................................................10分

)

:n≥2时，Tn=+++…+=+−+−+…+−

(2n−1(2n+1),

.................................................................13分

且T也满足上式，:Tn

:Tn.................................................15分

17.解：（1）证明：因为在四边形ABCD中，AB∥CD，且EF∥AD，所以□AEFD，

又∠DAB＝90°,所以四边形AEFD为矩形，

折叠后，显然EB∥FC，EB丈平面CD′F，FCc平面CD′F，

所以EB∥平面CD′F，2分

又EA′∥FD′，且FD′C平面CD′F，EA′丈平面CD′F，

所以EA′∥平面CD′F，4分

又EA′∩EB＝E，所以平面EA′B∥平面CD′F，又A′BC平面EA′B，

所以A′B∥平面CD′F；6分

（2）由∠DAB＝90°,EF∥AD，所以EF⊥CD，所以EF⊥FC，EF⊥FD′，

所以面EFD′A′与面EFCB所成二面角的平面角为∠CFD′＝60°,

结合CF∩FD′＝F，所以EF⊥平面CFD′，可得平面CFD′⊥平面EBCF，

又F为CD的中点，所以△CFD′为等边△,8分

如图以F为原点建立空间直角坐标系，9分

设AB＝3AD＝6，则CD＝2AD＝4，

所以F（0，0，0），E（2，0，0），C（0，2，0），B（2，4，0），D′（0，1，√3），

→→→→

所以FE=(2，0，0)，FD,=（0，1，√3），CB=(2，2，0)，CD,=(0，—1，√3)，

→

设平面EFD′A′的法向量为m=(x，y，z)，

→

则，可得m=(0，—√3，1)，.....................11分

→

再设平面BCD′的法向量n=(x，y，z)，

→

则，解得n=(—√3，√3，1)，.....................13分

设面BCD′与面EFD′A′所成二面角为θ,

则|cos.....................14分

所以sin15分

1+Sin2A1+Sin2B

18.解：（1）根据题意可知，

所以.....................2分

SinA+COSASinB+COSB

即

整理得sinAcosB-cosAsinB＝0，所以sin（A-B）＝0，5分

因为A，B∈（0，π),则A-B∈（-π,π),所以A-B＝0，

即A＝B，则△ABC为等腰三角形；..7分

（2）由（1）及题设，有AC＝BC＝2CD，

所以cOS匕CAD10分

,当且仅当时，等号成立，............12分

又∠CAD为三角形内角，所以匕CAD≤,即∠CAD的最大值为，............14分

此时又，所以

2

故AD2+CD2＝AC，可得三角形ACD为直角三角形且匕ACD=，

可得△ABC为正三角形，16分

又AB＝1，所以当∠CAD最大时，△ABC的面积S17分

19.解：（I）①因为|2-4|＞|4-3|，所以该数列不是M数列；1分

②因为|4-2|＜|2-8|＜8-1|，所以该数列是M数列．2分

证明：