浙江大学《概率论与数理统计》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

目录第1章概率论的基本概念1.1复习笔记1.2课后习题详解1.3考研真题详解第2章随机变量及其分布2.1复习笔记2.2课后习题详解2.3考研真题详解第3章多维随机变量及其分布3.1复习笔记3.2课后习题详解3.3考研真题详解第4章随机变量的数字特征4.1复习笔记4.2课后习题详解4.3考研真题详解第5章大数定律及中心极限定理5.1复习笔记5.2课后习题详解5.3考研真题详解第6章样本及抽样分布6.1复习笔记6.2课后习题详解6.3考研真题详解第7章参数估计7.1复习笔记7.2课后习题详解7.3考研真题详解第8章假设检验8.1复习笔记8.2课后习题详解8.3考研真题详解第9章方差分析及回归分析9.1复习笔记9.2课后习题详解9.3考研真题详解第10章bootstrap方法10.1复习笔记10.2课后习题详解10.3考研真题详解第11章在数理统计中应用Excel软件11.1复习笔记11.2课后习题详解11.3考研真题详解第12章随机过程及其统计描述12.1复习笔记12.2课后习题详解12.3考研真题详解第13章马尔可夫链13.1复习笔记13.2课后习题详解13.3考研真题详解第14章平稳随机过程14.1复习笔记14.2课后习题详解14.3考研真题详解第1章概率论的基本概念1.1复习笔记在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象．一、随机试验1．定义试验包括各种各样的科学实验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验．2．试验的特点（1）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机试验．二、样本空间、随机事件1．样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点．2．随机事件一般地，称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件．在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生．特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件．样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集：（1）在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件．（2）空集不包含任何样本点，也是样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件．3．事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理．设试验E的样本空间为S，而A，B，Ak（k＝1，2，…）是S的子集．（1）包含关系①若，则称事件B包含事件A，即事件A发生必导致事件B发生；②若且，即A＝B，则称事件A与事件B相等．（2）和事件事件A∪B＝{x|x∈A或x∈B）称为事件A与事件B的和事件．当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件AB发生．称为n个事件A1，A2，…，An的和事件；称为可列个事件A1，A2，…的和事件．（3）积事件事件A∩B＝{x|x∈A且x∈B）称为事件A与事件B的积事件．当且仅当A，B同时发生时，事件A∩B发生.A∩B也记作AB．称为n个事件A1，A2，…，An的积事件；称为可列个事件A1，A2，…的积事件．（4）差事件事件A-B＝{x|x∈A且xB）称为事件A与事件B的差事件．当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生．（5）互斥若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的．即事件A与事件B不能同时发生．基本事件是两两互不相容的．（6）逆事件若A∪B＝S且，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件．对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生．A的对立事件记为．（7）定律设A，B，C为事件，则有：①交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；②结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；③分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）；④德摩根律：；．三、频率与概率1．频率（1）定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，并记成．（2）基本性质①；②；③若A1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则2．概率（1）定义设E是随机试验，S是它的样本空间．对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数满足下列条件：①非负性：对于每一个事件A，有P（A）≥0；②规范性：对于必然事件S，有P（S）＝1；③可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于，i≠j，i，j＝1，2，…，有P（A1∪A2∪…）＝P（A1）＋P（A2）＋…．（2）性质①；②（有限可加性）若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）③设A，B是两个事件，若，则有

P（B－A）＝P（B）－P（A）与P（B）≥P（A）④对于任一事件A，P（A）≤1；⑤（逆事件的概率）对于任一事件A，有；⑥（加法公式）对于任意两事件A，B有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；一般，对于任意n个事件A1，A2，…，An，可以用归纳法证得四、等可能概型（古典概型）1．定义如果一个试验具有以下两个特点：（1）试验的样本空间只包含有限个元素；（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同.则这种试验称为等可能概型，又称古典概型．2．等可能概型的计算公式若事件A包含k个基本事件，即A＝，这里，是1，2，…，n中某k个不同的数，则有五、条件概率1．条件概率（1）定义设A，B是两个事件，且P（A）＞0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．（2）性质①非负性：对于每一事件B，有P（B|A）≥0；②规范性：对于必然事件S，有P（S|A）＝1；③可列可加性：设B1，B2，…是两两互不相容的事件，则有2．乘法定理（1）设P（A）＞0，则有P（AB）＝P（B|A）P（A），又称乘法公式．（2）一般，设A1，A2，…，An为n个事件，n≥2，且，则有3．全概率公式和贝叶斯公式（1）样本空间划分的定义设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件．若①，i≠j，i，j＝l，2，…，n；②B1∪B2∪…∪Bn＝S，则称B1，B2，…，Bn为样本空间S的一个划分．若B1，B2，…，Bn是样本空间的一个划分，则对每次试验，事件B1，B2，…，Bn中必有一个且仅有一个发生．（2）全概率公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且（i＝1，2，…，n），则P（A）＝P（A|B1）P（B1）＋P（A|B2）P（B2）＋…＋P（A|Bn）P（Bn）（3）贝叶斯公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且，（i＝1，2，…，n），则注：在n＝2的情况下，全概率公式和贝叶斯公式分别成为六、独立性1．两个事件独立（1）定义设A，B是两事件，如果满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立．（2）两个定理①设A，B是两事件，且P（A）＞0，若A，B相互独立，则P（B|A）＝P（B）．反之亦然．②若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立A与，与B，与2．三个事件独立设A，B，C是三个事件，如果满足等式则称事件A，B，C相互独立．3.n个事件独立（1）定义设A1，A2，…，An是n（n≥2）个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立．（2）两个推论①若事件A1，A2，…，An（n≥2）相互独立，则其中任意k（2≤k≤n）个事件也是相互独立的．②若n个事件A1，A2，…，An（n≥2）相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立．1.2课后习题详解1．写出下列随机试验的样本空间S：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：（1）以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0，1，2，3，…，100n，试验的样本空间为（2）设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为或写成（3）采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为（4）取一直角坐标系，则有，若取极坐标系，则有2．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B与C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A，B，C中至少有一个发生；（4）A，B，C都发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C中不多于一个发生；（7）A，B，C中不多于两个发生；（8）A，B，C中至少有两个发生．解：以下分别用表示（1），（2），…，（8）中所给出的事件．一个事件不发生即为它的对立事件发生，例如事件A不发生即为发生．（1）A发生，B与C不发生，表示A，，同时发生，故或写成；（2）A与B都发生而C不发生，表示A，B，同时发生，故或写成；（3）①方法1由和事件的含义知，事件即表示A，B，C中至少有一个发生，故；②方法2事件“A，B，C至少有一个发生”是事件“A，B，C都不发生”的对立事件，因此，；③方法3事件“A，B，C中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，又可写成（4）；（5）；（6）“A，B，C中不多于一个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生，因此，；又“A，B，C中不多于一个发生”表示“A，B，C中至少有两个不发生”，亦即，，中至少有一个发生，因此又有；又“A，B，C中不多于一个发生”是事件G＝“A，B，C中至少有两个发生”的对立事件．而事件G可写成，因此又可将写成（7）“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生或A，B，C中恰有两个发生．因此又“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C中至少有一个不发生，亦即中至少有一个发生，即有；又“A，B，C中不多于两个发生”是事件“A，B，C三个都发生”的对立事件，因此又有；（8），也可写成．3．（1）设A，B，C是三个事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝P（BC）＝0，P（AC）＝，求A，B，C至少有一个发生的概率．（2）已知P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（AB）＝，P（AC）＝，P（BC）＝，P（ABC）＝，求，，，，，的概率．（3）已知P（A）＝，（i）若A，B互不相容，求；（ii）若P（AB）＝，求．解：（1）由，已知，故，得，所求概率为．（2）记，由加法公式（3）（i）；（ii）．4．设A、B是两个事件（1）已知，验证A＝B；（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）＋P（B）-2P（AB）．解：（1）假设，故有，则,即AS＝SB，故有A＝B．（2）A，B恰好有一个发生的事件为，其概率为5．10片药片中有5片是安慰剂（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率；（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率．解：（1）p＝1-P（取到的5片药片均不是安慰剂）-P（取到的5片药片中只有1片是安慰剂），即p（2）．6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率．解：在房间里任选3人，记录其佩戴的纪念章的号码，10人中任选3人共有＝种选法，此即为样本点的总数．以A记事件“最小的号码为5”，以B记事件“最大的号码为5”．（1）因选到的最小号码为5，则其中一个号码为5且其余两个号码都大于5，它们可从6～10这5个数中选取，故，从而；（2）同理，，故．7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客．问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：以S表示：在17桶油漆中任取9桶给顾客．以A表示事件“顾客取到4桶白漆、3桶黑漆与2桶红漆”，则有，，故事件A发生的概率为8．在1500件产品中有400件次品、1100件正品．任取200件．（1）求恰有90件次品的概率；（2）求至少有2件次品的概率．解：总数S：从1500件产品中任取200件产品．以A表示事件“恰有90件次品”，以Bi表示事件“恰有i件次品”，i＝0，1，以C表示事件“至少有2件次品”．（1）故；（2），其中，，互不相容，所以因,故，因此有9．从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：总数S：从5双不同的鞋子中任取4只．以A表示事件“所取4只鞋子中至少有两只配成一双鞋子”，则表示事件“所取4只鞋子无配对”．先计算P（）较为简便．以下按N（）的不同求法，列出本题的3种解法，另外还给出一种直接求P（A）的解法．解法一：考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的，从5双（10只）鞋子中任取4只共有10×9×8×7种取法，N（S）＝10×9×8×7．现在来求N（）：第一只可以任意取，共有10种取法，第二只只能在剩下的9只中且除去与已取的第一只配对的8只鞋子中任取一只，共8种取法；同理第三只、第四只各有6种、4种取法，从而N（）＝10×8×6×4．故解法二：从10只鞋子中任取4只，共有种取法，即．为求N（），先从5双鞋子中任取4双共有种取法，再自取出的每双鞋子中各取1只（在一双中取一只共有2种取法），共有种取法，即．故解法三：现在来求N（）．先从5只左脚鞋子中任取k只（k＝0，1，2，3，4），有种取法．而剩下的4-k只鞋子只能从（不能与上述所取的配对的）5-k只右脚鞋子中选取，即对于每个固定的k，有种取法．故，故解法四：以Ai表示事件“所取4只鞋子中恰能配成i双”（i＝1，2），则，，故，因为4只恰能配成2双，它可直接从5双鞋子中成双地取得，故，的算法是：先从5双中取1双，共有种取法，另外两只能从其他8只中取，共有种取法，不过这种取法中将成双的也算在内了，应去掉．从而．N（S）仍为解法二中的种，故10．在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率．解：解法一：总数S：自11个字母中随机地接连抽7个字母并依次排列．将11个字母中的两个b看成是可分辨的，两个i也看成是可分辨的，．以A记事件“排列结果为ability”，则N（A）＝4（因b有两种取法，i也有两种取法），因而解法二：本题也可利用乘法定理来计算．以，，，，，，依次表示取得字母a，b，i，l，i，t，y各事件，则所求概率为11．将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．解：总数S：将3只球随机地放人4个杯子中去，易知共有43种放置法．以Ai表示事件“杯子中球的最大个数为i”，i＝1，2，3．对于A3，只有当3只球放在同一杯子中时才能发生，有4个杯子可以任意选择，于是，故对于事件A1，只有当每个杯子最多放一只球时才能发生．因而，故对于A2，因，，故，从而12．50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太弱．每个部件用3只铆钉．若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱．问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解：将部件自1到10编号，随机试验E：随机地取铆钉，使各部件都装3只铆钉．以Ai表示事件“第i号部件强度太弱”．由题设，仅当3只强度太弱的铆钉同时装在第i号部件上，才能发生，由于从50只铆钉中任取3只装在第i号部件上共有种取法，强度太弱的铆钉仅有3只，它们都装在第i号部件上，只有种取法，故又知，，…，两两互不相容，因此，10个部件中有一个强度太弱的概率为13．一俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生．（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率；（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率．解：（1）共有5＋2＋3＋2＝12名学生，在其中任选4名共有种选法，其中每年级各选1名的选法有种选法，因此，所求概率为；（2）在12名学生中任选5名的选法共有种，在每个年级中有一个年级取2名，而其他3个年级各取1名的取法共有（种）于是所求的概率为．14．（1）已知，求条件概率；（2）已知，试求．解：（1）；由题设得故（2）15．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）．解：随机试验E：掷两颗骰子，观察其出现之点数．以A记事件“两骰子点数之和为7”，以B记事件“两颗骰子中有一颗出现1点”．解法一：按条件概率的定义式：来求条件概率，设想两颗骰子是可分辨的，样本空间为事件A为事件AB为现在，因此解法二：按条件概率的含义来求．样本空间原有36个样本点，现在知道了“A已经发生”这一信息，根据这一信息，不在A中的样本点就不可能出现了，因而试验所有可能结果所成的集合就是A，而A中共有6个可能结果，其中只有两个结果（1，6）和（6，1）有一颗骰子出现1点，因此．16．据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P{孩子得病}＝0.6，P{母亲得病|孩子得病}＝0.5P{父亲得病|母亲及孩子得病}＝0.4求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率．解：以A记事件“孩子得病”，以B记事件“母亲得病”，以C记事件“父亲得病”，按题意需要求，已知．由乘法定理得17．已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样．求下列事件的概率：（1）两件都是正品；（2）两件都是次品；（3）一件是正品，一件是次品；（4）第二次取出的是次品．解：随机实验E：在10件产品中（其中有2件次品）任取两次，每次取1件，作不放回抽样．以Ai（i＝1，2）表示事件“第i次抽出的是正品”．因为是不放回抽样，所以：（1）两件都是正品的概率为（2）两件都是次品的概率为（3）一件是正品，一件是次品的概率为（4）第二次取出的是次品的概率为18．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：解法一：以表示事件“第i次拨号拨通电话”，i＝1，2，3．以A表示事件“拨号不超过3次拨通电话”，则有．事件，，

发生的概率如下所以该人拨号不超过三次而接通所需电话的概率为（2）当已知最后一位数是奇数时，所求概率为．解法二：沿用解法一的记号．（1）该人拨号不超过三次而接通所需电话的概率为：（2）当已知最后一位是奇数时，所求概率为．19．（1）设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球．今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球．先从第一盒中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒中任取一只球，求取到白球的概率．解：解法一：（1）随机实验E：从甲袋任取一球放人乙袋（试验），再从乙袋任取一球观察其颜色（试验）．试验E是由和合成的．以R表示事件“从甲袋取得的是红球”，以W表示事件“从乙袋取得的是白球”，即有而，在计算时，注意在试验中，乙袋球数为N＋M＋1只；在求P（W|R）时，乙袋白球数为N，但在求时，乙袋白球数为N＋1，故从乙袋取到白球的概率为（2）随机实验E：从第一盒中任取2只球放入第二盒（），再从第二盒任取一球观察其颜色（）．以（i＝0，1，2）表示事件“从第一盒中取得的球中有i只是红球”，以W表示事件“从第二盒取得一球是白球”．由于，，两两互不相容，且，故从而而在试验E2中第二盒球的个数为11，故所以解法二：（1）以A表示事件“最后取到的是白球”，以B表示事件“最后取到的是甲袋中的球”，因于是而又有故（2）以A表示事件“最后取到的是白球”，以B表示事件“最后取到的是甲袋中的球”，因故20．某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率．解：以，，，，依次表示事件“脱落M、M”，“脱落A、A”，“脱落M、A”，“脱落X、A”，“脱落X、M”，以G表示事件“放回后仍为MAXAM”，所需求的是P（G）．可知，，，，两两不相容，且．已知而由全概率公式得，放回后仍为“MAXAM”的概率为21．已知男子有5％是色盲患者，女子有0.25％是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少？解：以A表示事件“选出的是男性”，则表示事件“选出的是女性”，以H表示事件“选出的人患色盲”，则表示“选出的人不患色盲”．由题设可知所需求的概率是P（A|H），由贝叶斯公式得22．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率；（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．解：E：一学生接连参加一门课程的两次考试．以Ai表示事件“第i次考试及格”，i＝1，2；以A表示“他能取得某种资格”．（1）按题意，且由已知条件故（2）根据贝叶斯公式可知，在第二次及格的条件下，该人第一次及格的概率为23．将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01．信息A与信息B传送的频繁程度为2：1．若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：以D表示事件“将信息A传递出去”，则表示事件“将信息B传递出去”，以R表示“接收到信息A”，则表示事件“接收到信息B”，按题意需求概率为,已知得由贝叶斯公式得到，在接受到信息A的情况下，原发信息是A的概率为24．有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品．今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样．求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率．解：以H表示事件“从第一箱中取零件”，则表示事件“从第二箱中取零件”．由已知条件知又以Ai表示事件“第i次从箱中（不放回抽样）取得的是一等品”，i＝1，2．（1）由条件，故（2）需要求的是．因，而由条件概率的含义，表示在第一箱中取两次，每次取一只零件，作不放回抽样，且两次都取得一等品的概率．因第一箱共有50只零件，其中有10只一等品，故有；同理．故有25．某人下午5：00下班，他所积累的资料表明：某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，试求他是乘地铁回家的概率．解：以H表示事件“乘地铁回家”，则表示事件“乘汽车回家”．因到家时间为5:47，它属于区间5:45～5:49，以T记“到家时间在5:45～5:49之间”，则需要求的是概率P（H|T）．已知，又因他是由掷硬币决定乘地铁还是乘汽车，因此，．由贝叶斯公式得26．病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8．若浇水则树死去的概率为0.15，有0.9的把握确定邻居会记得浇水．（1）求主人回来树还活着的概率．（2）若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率．解：（1）记A为事件“树还活着”，记W为事件“邻居记得给树浇水”，即有（2）根据贝叶斯公式可得，在树已死的条件下，邻居忘记浇水的概率为27．设本题涉及的事件均有意义，A，B都是事件：（1）已知P（A）＞0，证明；（2）若P（A|B）＝1，证明；（3）若C也是事件，且有P（A|C）≥P（B|C），，证明P（A）≥P（B）．证：（1）若P（A）＞0，要证，该不等式左边等于P（AB）／P（A），右边等于．因为，，故有（2）由，即．所以（3）由假设，即．同样由就有，即，得或

因为，得P（A）≥P（B）．28．有两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立．求（1）这两颗花籽都能发芽的概率；（2）至少有一颗能发芽的概率；（3）恰有一颗能发芽的概率．解：以A，B分别表示事件第一颗、第二颗花籽能发芽，即有P（A）＝0.8，P（B）＝0.9．（1）由A，B相互独立，得两颗花籽都能发芽的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0．8×0．9＝0．72（2）至少有一颗花籽能发芽的概率．即事件的概率为（3）恰有一颗花籽能发芽的概率，即为事件的概率，由第4题（2）得29．根据报导美国人血型的分布近似地为：A型为37％，O型为44％，B型为13％，AB型为6％．夫妻拥有的血型是相互独立的．（1）B型的人只有输入B、O两种血型才安全．若妻为B型，夫为何种血型未知，求夫是妻的安全输血者的概率；（2）随机地取一对夫妇，求妻为B型夫为A型的概率．（3）随机地取一对夫妇，求其中一人为A型，另一人为B型的概率；（4）随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是0型的概率．解：（1）由题意知夫血型应为B、O才为安全输血者．因两种血型互不相容，故所求概率为（2）因夫妻拥有血型相互独立，于是所求概率为（3）所求概率为（4）有三种可能，即夫为O，妻为非O；妻为O，夫为非O；夫妻均为O；所求概率为30．（1）给出事件A、B的例子，使得（i）P（A|B）＜P（A）；（ii）P（A|B）＝P（A）；（iii）P（A|B）＞P（A）．（2）设事件A，B，C相互独立，证明：（i）C与AB相互独立；（ii）C与相互独立．（3）设事件A的概率P（A）＝0，证明对于任意另一事件B，有A，B相互独立．（4）证明事件A，B相互独立的充要条件是．解：（1）举例（i）设试验为将骰子投掷一次，事件A“出现偶数点”，B为“出现奇数点”，则（ii）设试验为将骰子掷一次，A同上，B为“掷出点数≥1”，则P（A|B）＝，而P（A）＝，故P（A|B）＝P（A）（iii）设试验为将骰子掷一次，A同上，B为“掷出点数≥4”，则P（A|B）＝2/3，而P（A）＝，故P（A|B）＞P（A）（2）因A，B，C相互独立，故P（AB）＝P（A）P（B），P（BC）＝P（B）P（C）P（CA）＝P（C）P（A），P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）从而（i）P（C（AB））＝P（CAB）＝P（C）P（A）P（B）＝P（C）P（AB），即C与AB相互独立．（ii）即C与相互独立．（3）因，故若P（A）＝0，则0≤P（AB）≤P（A）．从而按定义，A，B相互独立．（4）必要性：设A，B相互独立，则也相互独立，从而知充分性：设，则，由比例的性质得即即相互独立.31．设事件A，B的概率均大于零，说明以下的叙述（1）必然对；（2）必然错；（3）可能对；并说明理由．（1）若A与B互不相容，则它们相互独立；

（2）若A与B相互独立，则它们互不相容；（3）P（A）＝P（B）＝0.6，且A，B互不相容；（4）P（A）＝P（B）＝0.6，且A，B相互独立．解：（1）必然错．若A，B互不相容，则0＝P（AB）≠P（A）P（B）.（2）必然错．因若A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0；（3）必然错．因若A，B互不相容，则，这是不对的．（4）可能对．32．有一种检验艾滋病毒的方法，其结果有概率0.005报道为假阳性（即不带艾滋病毒者，经此检验法有0.005的概率被认为带艾滋病毒）．今有140名不带艾滋病毒的正常人全部接受此种检验，被报导至少有一人带艾滋病毒的概率为多少？解：在本题中，这140人检查结果是相互独立的，这一假定是合理的，将人编号，第i号人检验结果以表示正常，则表示被报道为带艾滋病毒者，由题意知，从而．于是140人经检验至少有一人被报道呈阳性概率为由，得这说明，即使无人带艾滋病毒，这样的检验法认为140人中至少有一人带艾滋病毒的概率大于0.5．33．盒中有编号为1，2，3，4的4只球，随机地自盒中取一只球，事件A为“取得的是1号或2号球”，事件B为“取得的是1号或3号球”，事件C为“取得的是1号或4号球”，验证但即事件A，B，C两两独立，但A，B，C不是相互独立的．证：以表示取到第i号球，则；故有另外，，故从而有34．试分别求以下两个系统的可靠性：（1）设有4个独立工作的元件1，2，3，4，它们的可靠性分别为，，，，将它们按图1-2-1（1）的方式连接（称为并串联系统）；图1-2-1（2）设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5，它们的可靠性均为p，将它们按图1-2-1（2）的方式连接（称为桥式系统）．解：（1）以Ai表示事件“第i只元件正常工作”，i＝1，2，3，4，以A表示“系统正常工作”，已知各元件是否正常工作相互独立，且有P（Ai）＝pi（i＝1，2，3，4）．由图知由加法公式及各元件工作的独立性得到系统1的可靠性为（2）以Ai表示事件“第i只元件正常工作”，i＝1，2，3，4，5，以A表示“系统正常工作”，已知各元件是否正常工作相互独立，且有P（Ai）＝p（i＝1，2，3，4，5）．解法一：（路径穷举法）根据系统逻辑框图（图1-2-1（2）），将所有能使系统正常工作的路径一一列出，再利用概率的加法定理和乘法定理来计算系统的可靠性P（A）．由图知使桥式系统正常工作的路径有下列4条：12，45，135，432．以Bj记事件第j（j＝1，2，3，4）条路径正常工作，即有于是得系统的可靠性为解法二：（全概率公式法）按元件3处于正常工作与失效两种状态，将原系统简化为典型的并串联和串并联系统，再用全概率公式：来计算原系统的可靠性．图1-2-2当元件3正常工作时，系统简化成如图1-2-2（1）所示，当元件3失效时，系统简化成如图1-2-2（2）所示．因此故又由于同样所以原系统的可靠性为35．如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性．在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出．如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的．解：以Ai表示事件“第i只开关闭合”，已知P（）＝0.96，由此可得两只这样的开关并联而电路闭合的概率为（注意各开关闭合与否是相互独立的）设需要n只这样的开关并联，此时系统可靠性，注意到且由，，…，的独立性推得，，…也相互独立，故要使,即要使，亦即要使，故应有因n为整数，故应有，即至少要用3只开关并联．36．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，，，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：以表示事件“第i人能译出密码”，i＝1，2，3．已知相互独立，且则至少有一人能译出密码的概率为也可以这样做，因，，相互独立，知，，也相互独立，即有37．设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球．独立地分别在两只盒子中各取一只球．（1）求至少有一只蓝球的概率；（2）求有一只蓝球一只白球的概率；（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率．解：以Bi记事件“从第i只盒子中取得一只蓝球”，以Wi记事件“从第i只盒子中取得一只白球”，i＝1，2．由题设在不同盒子中取球是相互独立的．（1）即需求，利用对立事件来求较方便，即有（2）即需求事件的概率，注意到B1，W1是互不相容的，即，因而，故有（3）即需求条件概率，因，故有38．袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一枚，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.问这枚硬币是正品的概率为多少？解：以T记事件“将硬币投掷r次每次都出现国徽”，以A记事件“所取的是正品”，由题设需要求的是概率P（A|T），由贝叶斯公式，所求概率为39．设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2％（这一事件记为A1），损坏10％（事件A2），损坏90％（事件A3），且知P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.15，P（A3）＝0.05．现在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的（这一事件记为B）．试求P（A1|B），P（A2|B），P（A3|B）（这里设物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率）．解：在被运输的物品中，随机取3件，相当于在物品中抽取3次，每次取一件，作不放回抽样.又根据题中说明抽取一件后，不影响后一件是否为好品的概率，已知当A1发生时，一件产品是好品的概率为1-2％＝0.98，从而随机取3件，它们都是好品的概率为，即同样

又知

，且由贝叶斯公式得到40．将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其他一字母的概率都是．今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的）解：以分别表示事件“输入AAAA”、“输入BBBB”、“输入CCCC”，以D表示事件“输出ABCA”．因事件两两互不相容，且有由贝叶斯公式有在输入为AAAA（即事件A1）输出为ABCA（即事件D）时，有两个字母为原字母，另两字母为其他字母，所以，同理，，代入上式并注意到，得到．1.3考研真题详解一、选择题1．若A，B为任意两个随机事件，则（）．[数一、数三2015研]A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】由于，按概率的基本性质，有且，从而，故选C项．2．设事件A，B相互独立，，则（）．[数一、数三2014研]A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【答案】B查看答案【解析】，故，．3．设随机变量和相互独立，则和的概率分布分别为则（）．[数三2013研]A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】由题意知二、填空题设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，P（AB）＝，P（C）＝，则P（AB|）＝__________．[数一、数三2012研]【答案】查看答案【解析】由条件概率的定义知，P（AB︱）＝，其中P（）＝1－P（C）＝1－＝，P（AB）＝P（AB）－P（ABC）＝－P（ABC），由于A，C互不相容，即AC＝Ø，ABCAC，得P（ABC）＝0，代入得P（AB）＝，故P（AB）＝．第2章随机变量及其分布2.1复习笔记一、随机变量设随机试验的样本空间为．是定义在样本空间S上的实值单值函数，称为随机变量．一般以大写的字母如X，Y，Z，W，…表示随机变量，而以小写字母x，y，z，w，…表示实数．二、离散型随机变量及其分布律1．离散型随机变量有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量X的分布律设离散型随机变量X所有可能取的值为，X取各个可能值的概率，即事件的概率，为上式即为离散型随机变量X的分布律，它也可以用表格的形式来表示X

……

……其中满足：（1）；（2）．3．三种重要的离散型随机变量（1）（0-1）分布设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是则称X服从以p为参数的（0-1）分布或两点分布．（2）伯努利试验、二项分布①伯努利试验设试验E只有两个可能结果：及，则称E为伯努利试验．②n重伯努利试验设，此时．将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验．③二项分布以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，则在n次试验中A发生k次的概率为其中q＝1－p．且满足：a．;b．,称随机变量X服从参数为(n，p)的二项分布，并记为X～b（n，p）．特别，当n＝1时二项分布化为，这就是（0-1）分布．（3）泊松分布a．参数为的泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0，1，2，…，而取各个值的概率为其中是常数．则称X服从参数为的泊松分布，记为．b．泊松定理设＞0是一个常数，n是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数k，有三、随机变量的分布函数1．定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数称为X的分布函数.对于任意实数有如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，则分布函数F（x）在x处的函数值就表示X落在区间（－∞，x]上的概率．2．分布函数F（x）的基本性质（1）F（x）是一个不减函数对于任意实数，有．（2）0≤F（x）≤1，且．（3）F（x＋0）＝F（x），即F（x）是右连续的．四、连续型随机变量及其概率密度1．连续型随机变量的定义如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数f（x），使对于任意实数x有（2-1-1）则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的概率密度函数，简称概率密度.2．概率密度f（x）的性质（1）f（x）≥0；（2）；（3）对于任意实数x1，x2（x1≤x2）（4）若f（x）在点x处连续，则有.3．三种重要的连续型随机变量（1）均匀分布①均匀分布定义若连续型随机变量X具有概率密度则称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为X～U（a，b）．易知f（x）≥0，且．注：在区间（a，b）上服从均匀分布的随机变量X，它落在（a，b）的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关.事实上，对于任一长度为的子区间，a≤c＜c＋≤b，有②分布函数由式（2-1-1）得X的分布函数为f（x）及F（x）的图形分别如图2-1-1，图2-1-2所示图2-1-1图2-1-2（2）指数分布①指数分布定义若连续型随机变量X的概率密度为（2-1-2）其中θ＞0为常数，则称X服从参数为θ的指数分布．注：f（x）≥0，且．②分布函数由式（2-1-2）容易得到随机变量X的分布函数为

③无记忆性对于任意s，t＞0，有

（3）正态分布①正态分布定义若连续型随机变量X的概率密度为

其中μ，σ（σ＞0）为常数，则称X服从参数为μ，σ的正态分布或高斯分布，记为X～N（μ，σ2）注：f（x）≥0，且．②正态分布概率密度函数的性质a．曲线关于x＝μ对称，这表明对于任意h＞0有（图2-1-3）b．当x＝μ时取到最大值．c．在x＝μ±σ处曲线有拐点，曲线以x轴为渐近线．图2-1-3③标准正态分布当μ＝0，σ＝1时称随机变量X服从标准正态分布，则a．概率密度．b．分布函数．c．．④引理若

，则．⑤计算若，则对于任意区间（x1，x2]，有

⑥上α分位点设X～N（0，1），若满足条件则称点为标准正态分布的上α分位点（如图2-1-4）．图2-1-4注：．五、随机变量的函数的分布设随机变量X具有概率密度，－∞＜x＜∞，又设函数g（x）处处可导且恒有＞0（或恒有＜0），则是连续型随机变量，其概率密度为

其中，，是的反函数．注：若f（x）在有限区间[a，b]以外等于零，则只需假设在[a，b]上恒有（或恒有），此时．2.2课后习题详解1．考虑一张为期一年的一张保险单，若投保人在投保后一年内因意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需支付任何费用．若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分布律．解：设赔付金额为X（以万元计），由条件知X取值为20，5，0，且由已知得P{X＝20}＝0.0002，P{X＝5}＝0.0010，故P{X＝0}＝1－P{X＝20}－P{X＝5}＝0.9988，则公司赔付金额的分布律为2．（1）一袋中装有5只球，编号为l，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律．（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律．解：（1）从1～5的五个正整数中随机取3个，以X表示3个数中的最大值．X的可能值为3，4，5．在五个数中任取3个共有种取法．{X＝3}表示取出的3个数以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情况，故．{X＝4}表示取出的3个数以4为最大值，其余两个数可在1，2，3中任取2个，共有种取法，故．{X＝5}表示取出的3个数以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取2个，共有种取法，故.也可由得到．X的分布律为（2）解法一：以分别记第一次、第二次投掷时骰子出现的点数，样本空间为，共有6×6＝36个样本点．所有可能取的值为l，2，3，4，5，6这6个数，当且仅当以下三种情况之一发生时事件发生：（共有6-k个点）；（共有6-k个点）；（仅有一个点）．因此事件“X＝k”共包含个样本点，于是x的分布律为或写成表格形式解法二：样本空间共有6×6＝36个样本点，每个样本点发生的概率为1／36，用以下示意图中的黑点表示各样本点，所有可能取的值为1，2，3，4，5，6．P{X＝k）等于图2-2-1中相应折线上各个黑点所对应的概率之和，即有图2-2-1亦即．3．设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样．以X表示取出的次品的只数．（1）求X的分布律．（2）画出分布律的图形．解：（1）由题意知X所有可能取的值为0，1，2，且有则X的分布律为（2）分布律的图形如图2-2-2．图2-2-24．进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为，失败的概率为（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律．（此时称X服从以为参数的几何分布．）（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律．（此时称Y服从以r，为参数的巴斯卡分布或负二项分布．）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45％，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率．解:（1）若需做k次，则前k-1次试验均失败最后一次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为（2）此试验至少做r次，若需做k次，则第k次必为成功，而前k-1次中有r-1次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为（3）先写出X的分布律．它是题（1）中p＝0.45的情形．所求分布律为因，故X取偶数的概率为5．一个房间有3扇同样大小的窗子，只有一扇是打开的；有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去；鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间．假定鸟是没有记忆的，它飞向各扇窗子是随机的．（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律．（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次．以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数．如户主所说是确实的，试求Y的分布律．（3）求试飞次数X小于Y的概率和试飞次数Y小于X的概率．解：（1）鸟为了飞出房间试飞的次数X的分布律为（参见第4题（1））：（2）由题意Y的可能值为1，2，3．{Y＝1}表明鸟儿从3扇窗子中选对了一扇，因对鸟儿而言，3扇窗是等可能被选取的，故．{Y＝2}表明第一次试飞失败（选错了窗子），第一次失败概率为，第二次，鸟儿舍弃已飞过的那扇窗，而从余下的一开一关的两窗选一，成功机会，故对有记忆的鸟儿来说，，故．则Y的分布律为（3）由题意知因为两只鸟儿的行动是相互独立的，所以6．一大楼装有5台同类型的供水设备．设每台设备是否被使用相互独立，调查表明在任一时刻t每台设备被使用的概率为0.1．问在同一时刻，（1）恰有2台设备被使用的概率是多少？（2）至少有3台设备被使用的概率是多少？（3）至多有3台设备被使用的概率是多少？（4）至少有1台设备被使用的概率是多少？解：以X表示同一时刻被使用的设备的个数，则X～b（5，0.1）．（1）恰有2台设备被使用的概率为：（2）至少有3台设备被使用的概率为（3）至多有3台设备被使用的的概率为（4）至少有1台设备被使用的概率为7．设事件A在每次试验发生的概率为0.3，A发生不少于3次时，指示灯发出信号．（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率．解：（1）以X表示在5次试验中事件A发生的次数，则X～b（5，0.3）．则指示灯发出信号这一事件可表示为，故所求的概率为（2）以Y表示在7次试验中事件A发生的次数，则Y～B（7，0.3）.则指示灯发出信号的概率为8．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投3次．求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率．解：以X，Y分别表示甲、乙投中的次数，则X～b（3，0．6），Y～b（3，0.7）．（1）两人投中次数相等的概率为（2）甲比乙投中次数多的概率为9．有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验:从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品．若产品的次品率为10％，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率；（2）需作第二次检验的概率；（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率；（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率；（5）这批产品被接受的概率．解：若以X表示所抽得的l0件产品中所含的次品数，Y表示第二次抽检中出现的次品数，则X～b（10，0.1），Y～b（5，0.1）．（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率为:．（2）需作第二次检验的概率为（3）按第二次检验标准接受这批产品的概率为:．（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率为（5）这批产品被接受的概率为10．有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次．（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒．他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）．解：（1）某人随机去猜，从8杯中挑取4杯共有种取法，将甲种酒全部挑选出来共有1种做法，故若某人随机去猜，试验成功一次的概率是．（2）先假设“某人无区分能力”，由（1）知他猜对一次的概率为，连续试验l0次，则猜对次数．他试验10次成功三次的概率为试验10次，他猜对次数≥3的概率也仅为万分之三，是小概率事件，小概率事件发生了，有理由拒绝原假设，认为他确有区分能力．11．尽管在几何教科书中已经讲过仅用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的，但每一年总是有一些“发明者”撰写关于仅用圆规和直尺将角三等分的文章．设某地区每年撰写此类文章的篇数X服从参数为6的泊松分布，求明年没有此类文章的概率．解：由已知得，因此，明年无此类文章的概率为12．一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布．求（1）某一分钟恰有8次呼唤的概率；（2）某一分钟的呼唤次数大于3的概率．解：以X记电话总机一分钟收到呼唤的次数，则有已知得，则某一分钟恰有k次呼唤的概率为：（1）所求概率为：．（2）所求概率为13．某一公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）．（1）求某一天中午12时至下午3时未收到紧急呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率．解：已知（1）当t＝3时，所求概率为：．（2）当t＝5时，所求概率为：．14．某人家中，在时间间隔t（以小时计）内接到电话的次数X服从参数为2t的泊松分布．（1）若他外出计划用时10分钟，问其间电话铃响一次的概率是多少？（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，问他外出应控制最长时间是多少？解：以X表示此人外出时电话铃响的次数，则，其中t表示外出的总时间，由已知得X的分布律为：．（1）当t＝10/60＝1/6时，，故所求概率为．（2）设外出的最长时间为t（小时），因，则无电话打进的概率为，要使，需满足，即（小时）．所以外出时间应控制在20.79分以内．15．保险公司在一天内承保了5000张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份．在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元．设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立．求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率（利用泊松定理计算）．解：设这批投保人在一年内死亡的人数为X，则，当公司赔付额不超过30万时，死亡人数不超过10人，从而所求概率为若用泊松近似可以认为，于是．16．有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001．在某天的该时间段内有1000辆汽车通过．问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）解：以X表示汽车站某天该时间段内出事故的汽车辆数，由题设X～b（1000，0.0001），因＝l000＞100，且＝0.1＜10，故可利用泊松定理计算有其中，从而．17．设X服从（0-1）分布，其分布律为（1）求X的分布函数，并作出其图形；（2）求第2题（1）中的随机变量的分布函数．解：（1）X服从（0-1）分布，分布律为当x＜0时，；当0≤＜1时，；

当x≥1时，；即有X的分布函数为X的分布函数图如图2-2-3图2-2-3（2）X的分布律为当x＜3时，当3≤x＜4时，；当4≤x＜5时，；当x≥5时，；综上所述得X的分布函数为18．在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标，设这个质点落在[0，a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例．试求X的分布函数．解：若x＜0，则{X≤x}是不可能事件，于是当时，由题意知，k是某一常数，为了确定k的值，取x＝a，有，但为必然事件，所以，故得，于是若x≥a,由题意知{X≤x}是必然事件，于是综上所述，即得X的分布函数为19．以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是求下述概率：（1）P{至多3分钟}；（2）P{至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}；（4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟}．解：（1）由已知得等待时间至多3分钟的概率为（2）由已知得等待时间至少4分钟的概率为因为是指数分布随机变量X的分布函数，X是连续型随机变量，故P{X＝4}＝0，P{X＜4}＝P{X≤4}（3）由已知得等待时间3到4分钟的概率为（4）等待时间至多3分钟至少4分钟的概率为（5）等待时间恰好为2.5分钟的概率为：P{X＝2.5}＝0．20．设随机变量X的分布函数为（1）求P{X＜2}，P{0＜X≤3}，；（2）求概率密度．解：（1）对应任意给定的实数a，只要随机变量X（不管什么类型）的分布函数在点a处连续，则P{X＝a}＝0，故有（2）由于在在连续点处有，即有因在个别点的函数值可以是随意指定的有限值，这里指定21．设随机变量X的概率密度为（1）（2）求X的分布函数，并画出（2）中的及的图形．解：（1）由已知得当x＜1时，；当1≤x≤2时当x＞2时，；故所求分布函数为（2）概率密度在处都等于零，得当x＜0时，；当0≤x＜1时，；当时当x≥2时，；故所求分布函数为、的图形如图2-2-4图2-2-422．（1）分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦分布，其概率密度为其中b＝m/(2kT)，k为玻耳兹曼常数，T为绝对温度，m是分子的质量，试确定常数A．（2）研究了英格兰在1875～1951年期间，在矿山发生导致不少于10人死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的时间T（以日计）服从指数分布，其概率密度为求分布函数，并求概率P{50＜T＜100}．解：（1）因为，所以解得．（2）由已知得当t＜0时，当t＞0时，故所求的分布函数为得．23．某种型号器件的寿命X（以h计）具有概率密度现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：任取一只该种器件，其寿命大于1500h的概率为任取5只这种器件，其中寿命大于1500小时的只数记为X，则X～b（5，2／3），故所求概率为24．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（min）服从指数分布，其概率密度为某顾客在窗口等待服务，若超过10min他就离开．他一个月要到银行5次．以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求．解：顾客在窗口等待服务超过10min的概率为故顾客去银行一次因未等到服务而离开的概率为，从而，则Y的分布律为25．设K在区间（0，5）服从均匀分布，求x的方程有实根的概率．解：x的二次方程有实根的充要条件是它的判别式即

求得K在区间（0，5）上服从均匀分布，所以K的概率密度为

故这个二次方程有实根的概率为26．设X～N(3,22)．（1）求P{2＜X≤5}，P{－4＜X≤10}，P{|X|>2}，P{X>3}；（2）确定c，使得P{X>c}＝P{X≤c}；（3）设d满足P{X>d}≥0.9，问d至多为多少？解：（1）因，故有（2）有，得（3），即因分布函数是一个不减函数，故有因此27．某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mmHg计，1mmHg＝133.3224Pa）服从N（110，122）分布，在该地区任选一个18岁的女青年，测量她的血压X．求（1）P{X≤105}，P{100＜X≤120}；（2）确定最小的x，使P{Xd＞x}≤0.05．解：（1）因为，故有（2）由已知得．要使，需满足．即，解不等式得,故x的最小值为129.74．28．由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数的正态分布．规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率．解：记螺栓的长度为，则．由题意知螺栓不合格的概率为29．一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从参数为，的正态分布，若要求P{120＜X≤200}≥0.80，允许最大为多少？解：由已知得．要使需满足

即，解不等式得所以允许最大为31.20．30．设在一电路中，电阻两端的电压（伏）服从，今独立测量了5次，试确定有2次测定值落在区间[118，122]之外的概率．解：设第次测定值为，，则～N（120，4）．测定值落在区间[118，122]之外的概率为Y表示5次测量中测定值Xi落在[118，120]之外的个数，则Y～b（5，0.3174），故所求概率为：．31．某人上班，自家里去办公楼要经过一交通指示灯，这一指示灯有80％时间亮红灯，此时他在指示灯旁等待直至绿灯亮．等待时间在区间[0，30]（以秒计）服从均匀分布．以X表示他的等待时间，求X的分布函数，画出的图形，并问X是否为连续型随机变量，是否为离散型的？(要说明理由）解：记A为事件“指示灯亮绿灯”．当他到达交通指示灯处时，若是亮绿灯，则等待时间X为零，亮红灯则等待时间X服从均匀分布．由已知得，，．当0≤x≤30时，，；当x＞30时，，

．对于固定的x≥0，由全概率公式得当0≤x＜30时，当x≥30时，综上得X的分布函数为因在x＝0处有不连续点，故随机变量X不是连续型的，又因不存在一个可列的点集，使得在这个点集上X取值的概率为1，故随机变量X也不是离散型的，X是混合型随机变量．的分布图如图2-2-5所示图2-2-532．设、都是概率密度函数，求证也是一个概率密度函数．解：因、都是概率密度函数，故有≥0，≥0，且，由于0≤a≤1，故，，，≥0．又所以是一个概率密度函数．33．设随机变量X的分布律为求的分布律．解：由已知得的所有可能取值为0，1，4，9．故X的分布律为34．设随机变量X在区间（0，1）服从均匀分布．（1）求的概率密度；（2）求的概率密度．解：由已知得X的概率密度为．分别记X，Y的分布函数为，．（1）先来求Y的分布函数，因，故当时，，从而．当时将上式关于y求导，得（2）当X在（0,1）取值时Y＞0，故当y≤0时，，从而．当y＞0时于是35．设X～N（0，1）．（1）求的概率密度；（2）求的概率密度；（3）求的概率密度．解：（1）因为，所以Y不取负值．当，

；当，X～N（0，1），得得当时即的概率密度（2）由已知得当时，

；当时，X～N（0，1），得故时即的概率密度（3）由已知得当y＜0时，＝0；当y≥0时，X～N（0，1），得得当时即的概率密度36．（1）设随机变量X的概率密度为，，的概率密度．（2）设随机变量X的概率密度为，求的概率密度．解：（1）由已知得，所以严格单调增加，求得，且有，则的概率密度为（2）由已知得，，在x＞0时，严格单调增加，具有反函数，且有，则得的概率密度为37．设随机变量X的概率密度为，求的概率密度．解：由已知得的值域为[0，1]．当y＜0或y＞1时，；当0≤y≤1时所以当0＜y＜1时，．综上所述，所求的概率密度为38．设电流I是一个随机变量，它均匀分布在9A～11A之间，若此电流通过电阻为2的电阻，在其上消耗的功率．求W的概率密度．解：由已知得电流I的概率密度为：．又，

，当i＞0，严格单调递增，且有反函数，而，，得的概率密度为即39．某物体的温度是随机变量，且有T～N（98.6，2），已知，试求的概率密度．解：由已知得T的概率密度为：．将的分布函数记为，则有将上式关于Y求导得到的概率密度为2.3考研真题详解一、选择题1．设（x），（x）为两个分布函数，其相应的概率密度（x），（x）是连续函数，则必为概率密度的是（）．[数一、数三2011研]A．（x）（x）B．2（x）（x）C．（x）（x）D．（x）（x）+（x）（x）【答案】D查看答案【解析】对D项，从而易知，四个选项均满足大于等于零的条件，从而D项满足连续分布概率密度的条件，为概率密度（其他选项均无法验证满足实数轴上积分为1的条件）．2．设随机变量X的分布函数为，则P｛X＝1｝＝（）．[数一，数三2010研]A．0B．C．D．【答案】C查看答案【解析】．3．设是标准正态分布的概率密度函数，是[－1，3]上均匀分布的概率密度函数，若为概率密度，则a，b应满足（）．[数一数三2010研]A．2a＋3b＝4B．3a＋2b＝4C．a＋b＝1D．a＋b＝2【答案】A查看答案【解析】由，得为标准正态分布的概率密度函数，其对称中心在处，故为[－1，3]上均匀分布的概率密度函数，即得所以即2a＋3b＝4．二、解答题1．设随机变量的概率密度为，对进行独立重复的观测，直到2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数，（Ⅰ）求的概率分布；（Ⅱ）求．[数一、数三2015研]解：（Ⅰ）记为观测值大于3的概率，则从而（Ⅱ）由已知得记，，则从而2．设随机变量X的分布为，在给定的条件下，随机变量服从均匀分布．（I）求Y的分布函数．（II）求EY．[数一数三2014研]解：（I）分布函数当时，；当时，；当时，；当时，，故分布函数为（II）,得第3章多维随机变量及其分布3.1复习笔记一、二维随机变量1．二维随机变量的定义一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S＝{e}，设X＝X（e）和Y＝Y（e）是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y），称为二维随机向量或二维随机变量．2．二维随机变量（X，Y）的分布函数（1）定义设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数称为二维随机变量（X，Y）的分布函数，又称随机变量X和Y的联合分布函数．（2）性质①是变量X和Y的不减函数，即对于任意固定的y，当x2＞x1时，≥；对于任意固定的x，当y2＞y1时，．②0≤≤1，且对于任意固定的y，；对于任意固定的x，；，．③，，即关于x右连续，关于y也右连续．④对于任意（x1，y1），（x2，y2），x1＜x2，y1＜y2，下述不等式成立3．二维离散型随机变量及其分布律（1）离散型的随机变量如果二维随机变量（X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）是离散型的随机变量．（2）分布律设二维离散型随机变量（X，Y）所有可能取的值为（xi，yj），i，j＝1，2，…，记P{X＝xi，Y＝yj）＝，i，j＝1，2，…，则由概率的定义有，．称，i，j＝1，2，…为二维离散型随机变量（X，Y）的分布律，又称随机变量X和Y的联合分布律.注：也能用表格来表示X和Y的联合分布律．4．连续型的二维随机变量及其分布函数（1）定义对于二维随机变量（X，Y）的分布函数，如果存在非负可积函数使对于任意x，y有则称（X，Y）是连续型的二维随机变量，函数称为二维随机变量（X，Y）的概率密度，又称随机变量X和Y的联合概率密度．（2）概率密度的性质①；②；③设G是xOy平面上的区域，点（X，Y）落在G内的概率为④若在点（X，Y）连续，则有．注：在几何上z＝表示空间的一个曲面，由性质②知，介于它和xOy平面的空间区域的体积为1．由性质③，P{（X，Y）∈G}的值等于以G为底，以曲面z＝f（X，Y）为顶面的柱体体积．5.n维随机变量及其分布函数（1）n维随机变量设E是一个随机试验，它的样本空间是S＝{e}，设X1＝X1（e），X2＝X2（e），…，Xn＝Xn（e）是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量（X1，X2，…，Xn）称为n维随机向量或n维随机变量．（2）分布函数对于任意n个实数x1，x2，…，xn，n元函数称为n维随机变量（X1，X2，…，Xn）的分布函数或随机变量X1，X2，…，Xn的联合分布函数，它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质．二、边缘分布1．边缘分布函数二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数F（x，y）.而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为，，依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.2．离散型随机变量（X，Y）的边缘分布律（1）（X，Y）关于X的边缘分布律（2）（X，Y）关于Y的边缘分布律3．连续型随机变量（X，Y）的边缘概率密度（1）（X，Y）关于X的边缘概率密度（2）（X，Y）关于Y的边缘概率密度4．二维正态分布设二维随机变量（X，Y）的概率密度为其中都是常数，且．称（X，Y）为服从参数为的二维正态分布，记为注：如果，则（1）；（2）X与Y相互独立的充分必要条件是；（3）．三、条件分布1．条件分布律设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y＝}＞0，则称为在Y＝条件下随机变量X的条件分布律．对于固定的，若P{X＝}＞0，则称为在X＝条件下随机变量Y的条件分布律．2．条件概率密度和条件分布函数设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y），（X，Y）关于Y的边缘概率密度为．若对于固定的y，＞0，则（1）在Y＝y的条件下X的条件概率密度（2）在Y＝y的条件下X的条件分布函数记为或，即（3）在X＝x条件下Y的条件概率密度（4）在X＝x条件下Y的条件分布函数3．均匀分布设G是平面上的有界区域，其面积为A．若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布．四、相互独立的随机变量1．二维随机变量相互独立设及，分别是二维随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x，y有即则称随机变量X和Y是相互独立的．2.n维随机变量（1）分布函数n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分布函数定义为其中为任意实数．（2）概率密度函数若存在非负可积函数，使对于任意实数有则称为(X1，X2，…，Xn)的概率密度函数．（3）边缘分布函数

①(X1，X2，…，Xn)关于X1的边缘分布函数

②(X1，X2，…，Xn)关于(X1，X2)的边缘分布函数（4）边缘概率密度①(X1，X2，…，Xn)关于X1的边缘概率密度②(X1，X2，…，Xn)关于(X1，X2)的边缘概率密度（5）相互独立①若对于所有的有则称X1，X2，…，Xn是相互独立的.②若对于所有的有其中F1，F2，F依次为随机变