云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析）

云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025-2026学年高一年级上学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟；满分150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−2x>0}，B={1，2，3，4}A.{1，2}

B.{2，3}

C.{1，2，3}

D.{1，2，3，4}2.已知a>0，b>0，直线l1：x+(a−4)y+1=0，l2：2bx+y−2=0，且l1A.2

B.4

C.23

D.3.关于x的不等式(a−1)x2−ax+a+1⩾0的解集为RA.a>1

B.a⩾233

C.−233⩽a⩽4.设集合M={x|(x−a)(x−3)=0}，N={x|(x−4)(x−1)=0}，则下列说法一定正确的是（）A.若M∪N={1，3，4}，则M∩N=∅B.若M∪N={1，3，4}，则M∩N≠∅C.若M∩N=∅，则M∪N有4个元素D.若M∩N≠∅，则M∪N={1，3，4}5.已知x,y都是正数,且2x+1A.6

B.42 C.3+22

D6.已知著名的狄利克雷函数D(x)=1，x为有理数，0，x为无理数，则D(D(xA.0

B.1C.1，x为无理数，0，x为有理数

D.7.已知一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为[1，2]，则cx2+bx+a≤0的解集为（）A.[12，1]

B.[1，2]

C.[-2，-1]

8.已知函数y＝f(x)对任意实数x，y都满足2f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，且f(1)＝－1，f(0)≠0，则函数f(x)是()A.奇函数 B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。A.若a＞b＞0，则1B.若a>b，则aC.“a>1”是“1aD.命题“∀x>1，2x−1>0”的否定为“∀10.已知4a+b=ab(a>0，b>0)，则下列结论正确的是（）A.ab的最小值为16

B.a+b的最小值为9

C.2a+1b的最大值为2

D11.已知函数f(x)=|x|+2x2−4A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)在(2，+∞)上单调递减

C.f(x)的值域为R D.当x∈(-2，2)时，f(x)有最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为__________.13.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型m=3−2x+1．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入14.已知函数f(x)为定义在[1－a，2]上的偶函数，在[0，2]上单调递增，并且f(－m2－a3)>f(－m2＋2m－2)，则m的取值范围是________四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知全集U=R，集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，（1）若a=3，求(（2）若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围．16.已知，且．（1）证明：；（2）求的最小值．17.已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，则有f(a)+f(b)a+b>0（1）判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明；（2）解不等式：f(x+12)<18.已知二次函数（1）若的解集为，解关于的不等式；（2）若且，求的最小值；（3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．19.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x⩾0时，有f(x)=4x（1）求函数f(x)在(−∞（2）用定义证明f(x)在(−∞，0)上的单调性，并求函数（3）解关于x的不等式f(2x−1)>f(1−x)．一、单选题1.【答案】A【解析】解不等式x2−2x>0得则∁R又B={1，2，3，4}，所以(∁R故选：A.2.【答案】D【解析】因为l1⊥l2，所以由于a>0，b>0，则a+1>0，2b>0.1a+1当且仅当2ba+1=a+12b，即所以1a+1+12b的最小值为3.【答案】B【解析】当a=1时，原不等式变为−x+2⩾0，不满足解集为R.当a≠1时，不等式(a−1)x2−ax+a+1⩾0为一元二次不等式，要使其解集为R，则需满足二次项系数大于0，且判别式即a−1>0a解a2−4(a−1)(a+1)⩽0，得即3a结合a−1>0，解得a⩾2故答案为：B.4.【答案】D【解析】由(x−a)(x−3)=0得x=a或x=3，所以M={3,a}（a=3时M={3}）；由(x−4)(x−1)=0得x=4或x=1，所以N={1,4}.当a=3时，M={3}，M∪N={1,3,4}，M∩N=∅.当a=1时，M={1,3}，M∪N={1,3,4}，M∩N={1}≠∅.当a=4时，M={3,4}，M∪N={1,3,4}，M∩N={4}≠∅.当a≠1,3,4时，M={3,a}，M∪N={1,3,4,a}，M∩N=∅.综上，若M∩N≠∅，则M∪N={1,3,4}，D正确.5.【答案】C【解析】已知x,y为正数，且2x利用乘1法，(x+y)(2由基本不等式可得2yx故选：C.6.【答案】B【解析】∵D(x)∈{0，1}，∴D(x)为有理数.∴D(D(x))=1.7.【答案】A【解析】因为ax2所以a>0，且x=1，x=2是方程ax由韦达定理得−ba=1+2=3，代入cx2因为a>0，则2x因式分解得(x−1)(2x−1)⩽0，解得12所以cx2+bx+a⩽0故选：A.8.【答案】B【解析】在2f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)中，令x＝y＝0，则2[f(0)]2＝f(0)＋f(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1，令x＝0，得2f(0)f(y)＝f(y)＋f(－y)，所以f(y)＝f(－y)，所以f(x)是偶函数．故选B.二、多选题9.【答案】ABC【解析】A选项：因为a>b>0，则1ab两边同乘1ab得a⋅1ab>b⋅1B选项：当c=0时，ac当c≠0时，c2>0，由a>b可得ac2>bC选项：若a>1，则a⋅1a>1⋅反之，当1a<1时，取a=−1不满足所以“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，D选项：全称命题“∀x>1，2x−1>0”的否定是特称命题“∃x>1，综上，答案选ABC.10.【答案】ABD【解析】已知4a+b=ab，a>0，b>0.选项A：由4a+b=ab⩾24ab=4令t=ab(t>0)，则t所以ab⩾16，当且仅当4a=b4a+b=ab即a=2b=8时取等号，选项B：由4a+b=ab得4当且仅当4b+1a=1选项C：由4a+b=ab得a=因为b>0，2−7b<2，选项D：1a2则原式=20t2−8t+1=20(t−15)综上，答案选ABD.11.【答案】ABD【解析】对于A，函数f(x)的定义域为(-∞，-2)∪(-2，2)∪(2，+∞)，关于原点对称，f(-x)=|−x|+2(−x)2−4=|x|+2x2−4=f(x)，即函数f对于B，当x∈(2，+∞)时，f(x)=|x|+2x2−4=x+2x2−4=1x−2，所以函数f(x对于C，当x∈(2，+∞)时，f(x)∈(0，+∞)，当x∈[0，2)时，f(x)∈(−∞，−12]，结合偶函数图象的对称性知f(x)的值域为(−∞，−12]∪(对于D，由C知，当x∈(-2，2)时，f(x)有最大值-12，故D正确故选ABD.三、填空题12.【答案】【解析】已知全集U=R，集合A={x|x≤a−1}，B={x|x>a+2}可得A∪B={x|x>a+2或∁U又因为集合C={x|x<0或x≥4}，且这意味着∁U(A∪B)中的元素都在所以a+2<0或a−1≥4.解不等式a+2<0，得a<−2；解不等式a−1≥4，得a≥5.所以实数a的取值范围是(−∞13.【答案】3【解析】设利润为f(x)万元，已知每售出一件A商品获利8元，售出A商品的件数m=3−2x+1（则f(x)=8m−x=8(3−2根据基本不等式a+b⩾2ab（a,b>0，当且仅当a=b对于16x+1和x+1（x⩾0时x+1>0），有16所以f(x)=25−(16当且仅当16x+1=x+1（解方程x+1=16x+1，因为x⩾0，所以x+1=4，解得x=3.即广告费用x应投入3万元时，促销活动获利最多.14.【答案】(【解析】由函数f(x)为定义在[1－a，2]上的偶函数，可得(1－a)＋2＝0，解得a＝3.所以函数f(x)为定义在[－2，2]上的偶函数，在[0，2]上单调递增．因为f(－m2－a3)>f(－m2＋2m－2即f(－m2－1)>f(－m2＋2m－2)，所以−2⩽−m2−1⩽2，−2⩽−m2+2m−2⩽2，即m的取值范围是(1四、解答题15.【答案】解：（1）当a=3时，在集合P={x|a+1≤x≤2a+1}中，a+1=3+1=4，2a+1=2×3+1=7，所以P={x|4≤x≤7}.因为全集U=R，所以∁UP={x|x<4又因为Q={x|−2≤x≤5}，所以(∁（2）因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，所以P⫋Q.当P=∅时，满足P⫋Q，此时a+1>2a+1，得2a−a<1−1，即a<0.当P≠∅时，要使P⫋Q，则有a+1≥−22a+1≤5解得0≤a≤2，同时要保证P是Q的真子集，即a+1≠−2且2a+1≠5.综上，取两种情况的并集，实数a的取值范围是a≤2.16.【答案】（1）证明：已知a>0，b>0，且2a+b=4ab.根据基本不等式得2a+b≥22ab因为2a+b=4ab，所以4ab≥22ab设ab=t（t>0则不等式变为4t2≥2所以ab=t2≥联立2a+b=4ab，即2a+2a=4a×a，解得a=12，（2）解：因为a>0，b>0，且2a+b=4ab，等式两边同时除以4ab可得12b则a+2b=(a+2b)(1再根据基本不等式a2b+b所以a+2b=5当且仅当a2b=b2a，联立17.【答案】解：（1）f(x)在[－1，1]上单调递增．证明如下：∀x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2，则－x2∈[－1，1]．∵f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)+f(−x2)x由已知得f(x1)+f(−x2)x1+(−x2∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)在[－1，1]上单调递增．（2）∵f(x)在[－1，1]上单调递增，∴x+12<1x−1故原不等式的解集为{x|−318.【答案】解：（1）已知ax2+2x+c>0所以a<0，且−2，3是方程ax根据韦达定理，−2+3=−2a，(−2)×3=ca，解得则不等式x2+2ax−c<0化为即(x−6)(x+2)<0，解得−2<x<6.所以不等式x2+2ax−c<0的解集为（2）因为ac=1，所以a2由于a>c，则a−c>0，(a−c)+2当且仅当a−c=2，ac=1即a=6+2所以a2+c（3）因为对任意x∈R，不等式a所以a>0，且Δ=4−4ac≤0，即ac≥1.a+4c+42−a令t=2a−1则2a所以a+4c+42−a当且仅当2a=3，ac=1，即a=2所以a+4c+42−a的最小值为819.【答案】解：