天津市重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月过程性诊断（2）试卷（含答案）

第第页天津市重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月过程性诊断（2）试卷一、单选题（每小题5分，共45分）1．向量a=(2，−1，2A．9 B．3 C．1 D．32．已知直线3x+4y−5=0与圆x2+y2=4交于MA．3 B．2 C．23 D．3．已知抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为2，则点A．2 B．3 C．4 D．54．已知直线l1：kx+y+1=0与l2：kx+(A．5 B．0或5 C．0 D．0或15．已知等比数列{an}中，a1=1A．31 B．32 C．63 D．646．在四面体O−ABC中，OP=2PA，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若OA=a，OB=A．14a+C．12a+7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5A．40 B．70 C．90 D．1008．在数列{an}中，a1=12，aA．1 B．12 C．−1 9．设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、FA．3+22 B．5−22 C．1+22二、填空题（每小5分，共30分）10．已知a∈R，若直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+(11．已知圆x2+y2+2x−4y-5=0与x2+y212．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S13．抛物线y2=4x的焦点为F，点P(x，y)14．已知直线y=−x+1与椭圆x2a2+y2b215．若直线y=2x+b与曲线y=3−4x−x2有公共点，则b三、解答题16．已知圆C经过A(3，0)（1）求圆C的方程；（2）从点(3，217．在各项均为正数的等比数列{an}中，a（1）求等比数列{an}的通项公式a（2）若数列{bn}满足bn=11−2log（3）求数列{｜bn｜18．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=4，PD=AD=2，点E在线段AB上，且AE=3（1）求证：CE⊥平面PBD；（2）求直线PA与平面PCE所成角的正弦值；（3）求平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值.19．已知正项数列{an}的前n项和为S（1）求数列{a（2）求数列{3n-1（3）若bn=an+1S2n−1⋅S20．已知椭圆C：x2a2（1）求椭圆方程；（2）过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线x=3交于点C，△ABC为等边三角形，求直线l

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因为向量a=(2，−1，2)，b=(−4，2，x故答案为：A.

【分析】根据向量a→2．【答案】C【解析】【解答】解：易知圆心为0，0，半径r=2，圆心到直线的距离为d=-532故答案为：C.

【分析】易得圆心和半径，先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理求线段MN的长度即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：易知抛物线x2=4y的焦点为0，1，准线方程为y=-1，则点A到准线得距离为3，根据抛物线的定义可得点A到抛物线焦点的距离为故答案为：B.

【分析】易知抛物线的准线方程，求得点A到准线得距离，再根据抛物线的定义即可得点A到抛物线焦点的距离.4．【答案】C【解析】【解答】解：因为直线l1，l2平行，所以k4-k--k=0，解得故答案为：C.

【分析】由题意可得k4-k5．【答案】A【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q，因为a1=1，a4+a5+a8故答案为：A.

【分析】设等比数列的公比为q，根据已知条件结合等比数列的通项公式求得公比q，再根据等比数列的求和公式求值即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：因为OP=2PA，所以OP→=23OA→，又因为Q为BC的中点，故答案为：D.

【分析】根据条件求得OP→=23OA7．【答案】D【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，因为S5=10，S10=30，所以S5=5a1+5×4故答案为：D.

【分析】设等差数列的公差为d，首项为a1，根据已知条件列式求得首项和公差，代入求和公式即可得S8．【答案】B【解析】【解答】解：因为a1=12，an=1−1an−1，

所以a2=1−故答案为：B.

【分析】利用数列{an}9．【答案】B【解析】【解答】解：设AF2=x，由双曲线的定义可得：AF1=x+2a，所以BF2=2a，BF1故答案为：B.

【分析】设AF2=x，根据双曲线的定义求得AF1=x+2a，BF10．【答案】1【解析】【解答】解：因为直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+(a−1)故答案为：12

【分析】根据直线垂直得重要条件列方程求解即可.11．【答案】y+1=0【解析】【解答】解：两圆方程作差可得：x2+y2+2x−4y-5-x2+故答案为：y+1=0.【分析】根据两圆相交与公共弦的关系，两相交圆方程作差即可得公共弦所在直线方程求解即可.12．【答案】15【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由a1>0，S8=S22，则8a1+28d=22a1+231d，即203d=-14a1，因为a1>0，

所以d<0，即等差数列{an故答案为：15.

【分析】根据题意可得等差数列{an}是首项为正得递减数列，再由S8=S2213．【答案】3【解析】【解答】解：易知抛物线得焦点F1，0，准线为x=-1，如图所示：

过点P作抛物线准线得垂线，垂足为B，由抛物线的定义可得PB=PF，所以PA+PF=PA+PB，当且仅当故答案为：3.【分析】过点P作抛物线准线得垂线，垂足为B，根据抛物线的定义可得PB=PF，推出PA+PF=14．【答案】32【解析】【解答】解：联立y=-x+1x-4y=0解得x=45y=15，

可得AB的中点坐标为45，15，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x12a2+y12b2=1故答案为：32

【分析】联立直线方程求得AB的中点坐标，再设A、B的坐标，利用点差法求出b215．【答案】-25【解析】【解答】解：曲线y=3−4x−x2，变形两边平方可得x-22+y-32=41≤y≤3，0≤x≤4，即曲线表示以A2，3为圆心，2为半径的半个圆，

直线y=2x+b与曲线有公共点，则满足条件得直线斜率为2，在过0，2和圆得切线之间得一族平行线，b为直线在y轴上的截距，当直线y=2x+b平移到过点0，3时，方程为y=2x+3，此时b=3，当直线平移与曲线相切时，圆心到直线的距离等于半径2，d=2×2-3+b22+故答案为：-25

【分析】曲线变形得x-22+y-32=416．【答案】（1）解：由题可知kAB=1−0又因为AB的中点为(5所以线段AB的中垂线的直线方程为y−1即x−y−2=0，联立2x+y−4=0x−y−2=0，解得x=2又因为半径等于|AC|=1，所以圆C（2）解：设圆C的半径为r，则r=1，若直线的斜率不存在，因为直线过点(3所以直线方程为x=3，此时圆心C(2，0)若直线的斜率存在，设斜率为k，则切线方程为y−2=k(x−3)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d=|解得k=3所以切线方程为34x−y+2−9所以切线方程为x=3或3x−4y−1=0【解析】【分析】（1）由题意可得线段AB的中点以及中垂线得斜率，从而求得线段AB的中垂线的直线方程，联立方程粗即可求得圆心，再由|AC|=1，即可求得圆的方程；

（2）设圆C的半径为r17．【答案】（1）解：设数列{an}的公比为因为2a所以2a即2a所以2q解得q=2或q=−1又a1=2，所以数列{S（2）解：由题意得，bn则b1=9，且故数列{bn}所以Bn所以当n=5时，Bn（3）解：当n≤5时，｜bn当n≥6时，∴【解析】【分析】（1）设数列{an}的公比为q，an>0，根据2a4，a6，3a5成等差数列列式借款求得公比，再根据等比数列得通项公式以及求和公式求解即可；

18．【答案】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，∴PD⊥CE，∵AB=4，∴AE=3，BE=1，∴ABAD=BCBE=2，∴所以∠ECB+∠DBC=90°，∴BD⊥CE，∴BD⊥CE，PD⊥CE，PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，∴CE⊥（2）解：∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴PD⊥AD，PD⊥CD，∵ABCD为矩形，AD⊥CD∴AD，CD，PD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz则D(0，0，0)，A(2PA=(2，0设平面PCE的法向量为n=(x，y，z设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为4214（3）解：平面BCE的一个法向量为m=设平面BCE与平面PCE的夹角为θ，则cosθ所以平面BCE与平面PCE的夹角的余弦值为421【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得PD⊥CE，利用相似三角形得判定与性质可得BD⊥CE，结合线面垂直的盘点定理即可证明CE⊥平面PBD；

（2）根据题意和线面垂直得性质可知AD，CD，PD两两垂直，建立空间直角坐标系，设平面PCE的法向量为n=(x，y，z)求出各点坐标以及平面的法向量，利用空间向量求直线PA与平面PCE19．【答案】（1）解：当n=1时，由an2+2an由an2+2an+12−a因为数列{an}各项均为正数，所以a所以数列{an}是以1因此，an=1+2(n−1)（2）解：B3B两式相减得-2=-B（3）解：由（1）知an=2n−1所以bn所以Tn==令f(n)所以f(n)所以Tn≥T1=2【解析】【分析】（1）当n=1时求得a1=1，再由an2+2an=4Sn−1(n∈N*)，可得an+12+2an+1=4Sn+1−1两式相减化简整理得an+1−an=2，推出数列20．【答案】（1）解：由题意可得e=ca=63由b2=a则椭圆C的方程为x2（2）解：当直线AB为x轴时，易得线段AB的垂直平分线与直线x=3没有交点，故不满足题意；当AB所在直线的斜率存在且不为x轴时，设该直线方程为y=k(x−2)(k≠0y=k(x−2)x2所以x1+xy1设AB的中点为D，则D(设C(由△ABC为等边三角形，|AB