2025年数列基础知识总结

2025年数列基础知识总结数列的基本概念数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列一般形式可以写成\(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots\)，简记为\(\{a_n\}\)，其中\(a_n\)是数列的第\(n\)项。例如：\(1,2,3,4,5,\cdots\)是一个数列，\(a_1=1\)，\(a_2=2\)等。数列的分类1.按项数分类-有穷数列：项数有限的数列。例如数列\(2,4,6,8,10\)，它一共有\(5\)项，是有穷数列。-无穷数列：项数无限的数列。比如自然数数列\(1,2,3,\cdots,n,\cdots\)，项数是无限的，为无穷数列。2.按项的变化趋势分类-递增数列：从第\(2\)项起，每一项都大于它的前一项的数列，即\(a_{n+1}>a_n(n\inN^+)\)。例如数列\(1,3,5,7,\cdots\)，\(a_{n+1}-a_n=2>0\)，所以是递增数列。-递减数列：从第\(2\)项起，每一项都小于它的前一项的数列，即\(a_{n+1}<a_n(n\inN^+)\)。如数列\(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots\)，\(a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{(n+1)(n+2)}<0\)，是递减数列。-常数列：各项都相等的数列，即\(a_{n+1}=a_n(n\inN^+)\)。例如数列\(3,3,3,3,\cdots\)。-摆动数列：从第\(2\)项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。比如数列\(1,-1,1,-1,\cdots\)。数列的通项公式如果数列\(\{a_n\}\)的第\(n\)项\(a_n\)与\(n\)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。例如，数列\(2,4,6,8,\cdots\)的通项公式为\(a_n=2n(n\inN^+)\)。通过通项公式可以方便地求出数列的任意一项。求通项公式的常见方法：1.观察法根据数列的前几项，观察其规律，写出通项公式。例：写出数列\(1,3,5,7,\cdots\)的通项公式。观察可得：每一项都比项数的\(2\)倍少\(1\)，所以\(a_n=2n-1(n\inN^+)\)。2.累加法若\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)，则\(a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_2-a_1)+a_1\)。例：已知\(a_1=1\)，\(a_{n+1}-a_n=n\)，求\(a_n\)。\(a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_2-a_1)+a_1\)\(=(n-1)+(n-2)+\cdots+1+1\)由等差数列求和公式\(S=\frac{(首项+末项)\times项数}{2}\)可得\((n-1)+(n-2)+\cdots+1=\frac{(n-1)n}{2}\)，所以\(a_n=\frac{n(n-1)}{2}+1=\frac{n^2-n+2}{2}(n\inN^+)\)。3.累乘法若\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)，则\(a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots\frac{a_2}{a_1}\cdota_1\)。例：已知\(a_1=2\)，\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=n\)，求\(a_n\)。\(a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots\frac{a_2}{a_1}\cdota_1\)\(=(n-1)\cdot(n-2)\cdots1\times2=2\cdot(n-1)!(n\inN^+)\)。数列的递推公式如果已知数列\(\{a_n\}\)的第\(1\)项（或前几项），且任一项\(a_n\)与它的前一项\(a_{n-1}\)（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。例如，已知\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，这就是一个递推公式。通过递推公式可以依次求出数列的各项。等差数列等差数列的定义如果一个数列从第\(2\)项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母\(d\)表示，即\(a_{n+1}-a_n=d(n\inN^+)\)。例如数列\(2,5,8,11,\cdots\)，\(a_{n+1}-a_n=3\)，所以它是公差\(d=3\)的等差数列。等差数列的通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(a_1\)为首项，\(d\)为公差。推导过程：\(a_2=a_1+d\)\(a_3=a_2+d=(a_1+d)+d=a_1+2d\)\(\cdots\)\(a_n=a_1+(n-1)d\)例：已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(d=2\)，求\(a_{10}\)。将\(a_1=3\)，\(d=2\)，\(n=10\)代入\(a_n=a_1+(n-1)d\)，得\(a_{10}=3+(10-1)\times2=3+18=21\)。等差数列的性质1.若\(m,n,p,q\inN^+\)，且\(m+n=p+q\)，则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。例：在等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_3+a_7=10\)，求\(a_4+a_6\)。因为\(3+7=4+6\)，所以\(a_4+a_6=a_3+a_7=10\)。2.若\(\{a_n\}\)是等差数列，\(S_n\)为其前\(n\)项和，则\(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},\cdots\)仍成等差数列。例：已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(S_3=6\)，\(S_6=15\)，求\(S_9\)。因为\(S_3,S_6-S_3,S_9-S_6\)成等差数列，\(S_3=6\)，\(S_6-S_3=15-6=9\)，设\(S_9=x\)，则\(2\times9=6+(x-15)\)，解得\(x=27\)，即\(S_9=27\)。等差数列的前\(n\)项和公式1.\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)推导：\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)，\(S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1\)，两式相加得\(2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots+(a_n+a_1)\)，因为\(a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\cdots\)，一共有\(n\)组，所以\(2S_n=n(a_1+a_n)\)，即\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。2.\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)将\(a_n=a_1+(n-1)d\)代入\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)可得\(S_n=\frac{n(a_1+a_1+(n-1)d)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。例：已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，求\(S_{10}\)。方法一：先求\(a_{10}=a_1+(10-1)d=1+9\times2=19\)，再用\(S_{10}=\frac{10\times(a_1+a_{10})}{2}=\frac{10\times(1+19)}{2}=100\)。方法二：直接用\(S_{10}=10\times1+\frac{10\times(10-1)}{2}\times2=10+90=100\)。等比数列等比数列的定义如果一个数列从第\(2\)项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母\(q\)表示\((q\neq0)\)，即\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q(n\inN^+)\)。例如数列\(2,4,8,16,\cdots\)，\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\)，所以它是公比\(q=2\)的等比数列。等比数列的通项公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，其中\(a_1\)为首项，\(q\)为公比。推导过程：\(a_2=a_1q\)\(a_3=a_2q=(a_1q)q=a_1q^2\)\(\cdots\)\(a_n=a_1q^{n-1}\)例：已知等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(q=3\)，求\(a_5\)。将\(a_1=2\)，\(q=3\)，\(n=5\)代入\(a_n=a_1q^{n-1}\)，得\(a_5=2\times3^{5-1}=2\times81=162\)。等比数列的性质1.若\(m,n,p,q\inN^+\)，且\(m+n=p+q\)，则\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)。例：在等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_3\cdota_7=16\)，求\(a_4\cdota_6\)。因为\(3+7=4+6\)，所以\(a_4\cdota_6=a_3\cdota_7=16\)。2.若\(\{a_n\}\)是等比数列，\(S_n\)为其前\(n\)项和，则\(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},\cdots\)（\(S_n\neq0\)）仍成等比数列。例：已知等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(S_3=3\)，\(S_6=9\)，求\(S_9\)。因为\(S_3,S_6-S_3,S_9-S_6\)成等比数列，\(S_3=3\)，\(S_6-S_3=9-3=6\)，设\(S_9=x\)，则\(6^2=3\times(x-9)\)，解得\(x=21\)，即\(S_9=21\)。等比数列的前\(n\)项和公式当\(q=1\)时，\(S_n=na_1\)；当\(q\neq1\)时，\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}\)。推导：\(S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}\)①\(qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}+a_1q^n\)②①-②得：\((1-q)S_n=a_1-a_1q^n\)，所以当\(q\neq1\)时，\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)。例：已知等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(q=2\)，求\(S_5\)。因为\(q=2\neq1\)，将\(a_1=1\)，\(q=2\)，\(n=5\)代入\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，得\(S_5=\frac{1\times(1-2^5)}{1-2}=\frac{1-32}{-1}=31\)。数列综合题型等差数列与等比数列的综合例：已知\(\{a_n\}\)是等差数列，\(\{b_n\}\)是等比数列，且\(b_2=3\)，\(b_3=9\)，\(a_1=b_1\)，\(a_{14}=b_4\)。（1）求\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(c_n=a_n+b_n\)，求数列\(\{c_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)。解：（1）先求等比数列\(\{b_n\}\)的公比\(q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{9}{3}=3\)，\(b_1=\frac{b_2}{q}=1\)，所以\(b_n=b_1q^{n-1}=3^{n-1}\)，\(b_4=3^3=27\)。因为\(a_1=b_1=1\)，\(a_{14}=b_4=27\)，等差数列\(\{a_n\}\)的公差\(d=\frac{a_{14}-a_1}{14-1}=\frac{27-1}{13}=2\)，则\(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1\)。（2）\(c_n=a_n+b_n=(2n-1)+3^{n-1}\)。\(S_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)+(b_1+b_2+\cdots+b_n)\)等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(A_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2\)。等比数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(B_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1\times(1-3^n)}{1-3}=\frac{3^n-1}{2}\)。所以\(S_n=n^2+\frac{3^n-1}{2}\)。数列与函数的综合例：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式\(a_n=n^2-5n+4\)。（1）数列中有多少项是负数？（2）\(n\)为何值时，\(a_n\)有最小值？并求出最小值。解：（1）令\(a_n=n^2-5n+4<0\)，即\((n-1)(n-4)<0\)，解得\(1<n<4\)，又因为\(n\inN^+\)，所以\(n=2\)或\(n=3\)，即数列中有\(2\)项是负数。（2）\(a_n=n^2-5n+4=(n-\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4}\)，因为\(n\inN^+\)，当\(n=2\)或\(n=3\)时，\(a_n\)可以取得最小值，\(a_2=2^2-5\times2+4=-2\)，\(a_3=3^2-5\times3+4=-2\)，所以最小值为\(-2\)。数列的实际应用例：某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案：一次性贷款\(10\)万元，第一年便可获利\(1\)万元，以后每年比前一年增加\(30\%\)的利润；乙方案：每年贷款\(1\)万元，第一年可获利\(1\)万元，以后每年比前一年增加\(5000\)元。两种方案的使用期都是\(10\)年，到期一次性归还本息。若银行两种形式的贷款都按年息\(5\%\)的复利计算，试比较两种方案中哪种获利更多？（参考数据：\(1.05^{10}\approx1.629\)，\(1.3^{10}\approx13.786\)，\(1.5^{10}\approx57.665\)）解：甲方案：1.计算\(10\)年共获利：这是一个首项\(a_1