2025年高中概率统计随机变量概率分布深度解析

第二章随机变量及其分布

内容提纲：

一、随机变量的定义

设£是一种随机试验，其样本空间为S,若时每一种样本点。w6,均有唯一-确定的实数

犬小)与之对应，则称S上的实值函数是一种随机变量(简记为X)。

二、分布函数的概念和性质

I.分布函数的定义

设X是随机变量，称定义在(一8,十网上的实值函数股)=氐万华

为随机变量X的分布函数，

2.分布函数的性质

⑵单调不减性：尸(町).X]0町，

hmF(x)=0,hmF(x)=1,

(3)7+8I-MW

(4)右持续性：F(x+0)=F(x)o

注：上述4个性质是函数F5)是某一随机变量X的分布函数的充要条件。在不一样的教科

书上，分布函数的定义也许有所不一样，例如欧:RX5,其性质也会有所不一样。

(5)Pla<X<d)=F(b)-F(a)

NX>a)=1-P[Xa)=1-F(a)

F(X=a)=F(a)-/7(a-0)

注：该性质是分布函数尸(X)对随机变量X的记录规律的描述。

三、离散型随机变量

I.离散型随机变量的定义

若随机变量X的所有也许的取值至多有可列个，则称随机变量X是离散型随机变量。

2.离散型随机变量的分布律

(1)定义：离散型随机变量X的所有也许的取值0n2•…,以及取每个值时的概率值，称

为离散型随机变量X的分布律，表达为

KX=%)=必・】=12…，

或用表格表达：

XX|X2…Xn

pkP|p2...pn

或记为

=1

AZA

(2)性质：，

注：该性质是(「J是某一离散型随机变量X的分布律的充耍条件。

Ka<X<b)^P^

其中为=尸(7=“),。0取交。

注：常用分布律描述离散型随机变量X的记录规律。

3.离散型随机变量的分布函数

“、口vsZF(X=x*)=2>*・°

?W=/U<X)=kk它是右持续的阶梯状函数。

4.常见的离散型分布

(1)两点分布(0—1分布)：其分布律为

F(X=k)=p*(l-py",k=0,1(0<p<1).

X01

P1-pp

(2)二项分布

(i)二项分布的来源一〃重伯努利试验：设£是一种随机试险，只有两个也许的成果为

及火，尸(4)=p,尸(彳)二】一「，将£独立反复地进行万次，则称这一串反复的独立试验

为力重伯努利试验。

(ii)二项分布的定义

设X表达在"重伯努利试峻中事件总发生的次数，则随机变量X的分布律为

P(X=2)=dpr\上=0,12…

称随机变量X服从参数为乩p的二项分布，记作X~b(n,p),

注：川1.尸)即为两点分布。

(3)泊松分布：若随机变量X的分布律为

…方,—＞。，

则称随机变量X服从参数为4的泊松分布，记作丫~爪义)(或尸(④).

P(X=*)=^TyM=123,…,〃

io、已知y=2x为离散型随机变量，y的取值为1,2,3,…,io,则x的取值为

11、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球,

被取出的球的.最大号码数X也许取值为

三、解答题：

12、某都市出租汽车的起步价为10元，行驶旅程不超过4km,则按10元的原则收租车费诺

行驶旅程超过4km,则按每超过1km加收2元计费(超过局限性1km的部分按1km计).从

这个都市的民航机场到某宾馆的旅程为15km.某司机•常驾车在机场与此宾馆之间接送旅

客，由于行车路线的不一样以及途中停车时向要转换成行车旅程(这个都市规定，每停车

5分钟按1km旅程计费)，这个司机一次接送旅客的行车旅程&是一种随机变量，他收旅

客的租车费可也是一种随机变量.

(1)求租车费n有关行车旅程I的关系式；

(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车

合计最多几分钟？

13、一盒中放有大小相似的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，

黄球个数是绿球个数的二分之一.现从该盒中随机取出一种球，若取出红球得1分，取出

黄球得。分，取出绿球得一1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列.

分析：欲写出f的分布列，要先求出《的所有取值，以及《取每一值时的概率.

14、一种类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，

而随机终止.设分裂〃次终止的概率是」-(〃=1,2,3,…).记X为原物体在分裂终止后

2n

所生成的子块数目,求P(XW10).

高中数学系列2—3练习题(2.1)参照答案

一、选择题：

1、D2、D3、C4、B5、A6、C7、JD8、C

二、填空题:

9、

11305.7.9.

1()、二，1，二，，，二，，二，4,二，)

22222

11、

三、解答题：

12、解:(1)依题意得n=2(g-4)+10,即n=2&+2・

(2)由38=2,+2,得&=18,5X(18-15)=15.

因此，出租车在途中因故停车合计最多15分钟.

13、解：设黄球的个数为〃，由题意知

绿球个数为2〃，红球个数为4〃，盒中的总数为7”.

S**°2°)与4"f课'

因此从该盒中随机取出球所得分数X的分布列为

X10-1

412

p——

777

14、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X的分布列为

X24816♦♦•2"・・・

\_11

P