20级第2学期线性代数题库

线性代数题库

一、填空

<21、

<312>

1、若矩阵4=,B=34,则4?=,BA=

103,

27

12-412-1

2、行列式。=-221=_。行列式。=-221=

-34-204-2

abbb

05-7

habh

行列式-501行列式

bbab

7-10

bbba

3、已知四阶行列式力的第1行元素分别为1、2、0、-4.第3行元素对应的余子式分别是6、X、19、2.

则X=o

4、设力=g(B+/),则当且仅当时，A2=A.

(1一n

5、(1)设/'(X)=/一2%+3,.4=,则/(4)=______。

33，

(10、

(2)ia/(x)=x2-3x+2,且力=[_]3)，求/(")

6、设力为四阶方阵，|⑷=；,求|(3力尸-24卜—o

7、若囚,心,。3都是齐次线性方程组4t=。的解，则力(3%-5%+2%)=

8、设/为〃阶矩阵，若行列式卜3/-4|=0,则力必有一特任值为

‘1-112、

9、设矩阵力=2332,则，＜力)=。

J12"

10、设力二，则(2力尸=o

01

(1-2)X|-2X2+4.=0

11、当々取.，时,方程Q2X1+(3-2)X2+X3=0有非零解。

%1+x2+(1-4)&=0

12、设向量Q=(0,1,2,1),尸=£2,3,4),/=(-1,2,0,3),且满足3(以一x)+2(£+x)=37,则向量

X=O

13、已知向量组囚=(1,1,2),%=(3")，%=(0，2,T)线性相关,则/二

14.己知方阵/的|闻工0,且满足才+34=0,则(/一2//=

15.%民7为三维列向量，若眼—a24=40,则|a/3y\=

16,设矩阵力为4x3满秩矩阵，B为3阶可逆方阵，贝h(48)=

(\-15、

17.己知4=0是矩阵力=024的特征值，则犬=

、01X)

’100、’1203、

18.已知尸=010PA=0-136,且"4)=2,贝lja=

、021J

、00a-20,

任、3'

19.若向量囚=线性相关,则％=

2,ay-2,ct^—3

⑼

<01、(\b、

20.设矩阵"=，Q=,则尸I°ZQ2=

100d)

21.设3阶方阵4的行列式为2,求4/=—,\2A^\=—,3*

(力")=,|3/11-2A=o

22.矩阵可逆的充要条件是。

二、单项选择题

%_]2

1、工。的充分必要条件是()。

2k-\

(A)女工一1且〃工3；(B)女工一1或女工3；(C)女工一1；(D)女工3。

2、设力、B、C为〃阶方阵，若力笈=844。=。，贝()o

(A)BCA；(B)CBAx(C)ACB,(D)CABa

3、设力、"为同阶对称矩阵，则45是()。

(A)对称矩阵：(B)非对称矩阵：(C)反对称矩阵：(D)不一定是对称矩阵。

」00、

P2=010,则有()o

J0b

(A)P,P2A=B；(B)AP\P?=B；(C)P]4P1=B(D)P?AP、=B.

5、设/是线性方程组力x=力的系数矩阵，8是增广矩阵，〃是未知量个数，下列结论正确的是()。

(A)若«)=«3)<〃，则方程组有无穷多解;

(B)若«N)=«5)<〃z,则方程组有无穷多解;

(C)若«/)<〃，则方程组有无穷多解:

(D)若“力)<〃？，则方程组有无穷多解。

」12、

6、矩阵力=132是()。

、225,

(A)正定的；(B)负定的；(C)半正定；(D)半负定

7、设〃阶方阵力满足力2=o,则必有()。

(A)4+/可逆；(B)力一/不可逆；(C)力可逆；(D)A=Oo

r-21P

8、设4=020，则力的特征值为()。

「413,

(A)-1,2,2；(B)1,1,2；(C)—1,1,2；(D)~1,1,1o

9、设〃阶矩阵力的秩为广，则在力中()<,

(A)必有一个行(列)向量线性无关；(B)任意尸个行(列)向量都线性无关;

(C)任意/个行(列)向量都构成极大无关组；(D)任意〃-1阶子式都为零。

10、若为非齐次线性方程组/X=ASwO)的两个解，则()

为齐次线性方程组AX=0的解。

(A)a}-a2(B)+a2(C)2ai-a2(D)2,+%

11、〃阶矩阵力可以对角化的充分必要条件是()。

(A)力有〃个线性无关的特征向量;(B)力有〃个不全相同的特征值；

(C)4有〃个不相同的特征向量；(D)有〃个不全相同的特征值。

2

12、二次型J\xl,x2,xi)=xl-X2-2后一61吊+20工3的矩阵为().

」0-3、’31-3、

(A)0-11(B)101；

、-31-2,、-31-2,

」2-2、’32-P

(C)2-1-1(D)21-1

「2-1-2>、一1-12,

13、设4为n阶矩阵，下列说法中正确的有()o

(A)若/2=%且|/卜0,则力=/；(B)(AB)7=ArBr；

(C)若AB=O,则有力=。或8=。；(D)左为常数

12-340510

23-47-1003

三、计算行列式(1)0=;(2)D=

—1—25—80120

13-510200-2

13122012

22651235

(3)D=;(4)D=

28322632

31291219

r

四、1.求向量组/a2=(0,2,1,5,-l),%=(2,0,3,-1,3),,a4=(1,1,0,4,-7的的

秩及一个极大无关组，并用此极大无关组表示向量组中的其他向量。

rr

2.求％=(1,2,3,1)7,a2=(1,1,2,-l),a.=(-2,-6,-8,-6),a4=(3,4,7,-if

的秩及一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

23)(30P

五、1.设矩阵/二221,^=110,求矩阵

、34VI。13

」23、’00-2>

2.设矩阵力=221,B=-161，求矩阵4T

(343；102—2,

110、-2、

3.解矩阵方程2X=AX+B,其中力=-121,B=-30

-100><03,

六、解方程组

+x2-3xy-x4=1

1.311-x2-3xy+4X4=4

Xj+5X2-9X3-际=0

X1+x2+x3+x4+x5=a

2.已知线性方程组:+产+?+产=3。判断常数”为何值时，方程组无解、唯一

4Xj+5X2+3X3+2X4+3X5=2

%1+5+2X5=1

解和无穷多解，并在无穷多解时用基础解系表示其通解

七、求特征值与特征向量:

」20〉‘210、」22、

(1)A=240；(2)A=031；(3)A=212

<001,N0i>32i;

部分参考答案:

727

1111、

1.AB=,BA二133182.-14;-8;0;(〃-/?)3(〃+36)

57)

518

-2001

3.7；4.I5.6.—7.0；

、44八-2)27

8.—39.3；10.16；11.0、2、3；12.(5,1,12,2)；13.-2,5

-

14.—(/4+5Z)'；15.-516.3；17.2；18.2；19.2；

10

ab

20.A=22.矩阵的行列式不等于0.

c"

二、l.A：2.A；3.D：4.A：5.A：6.A：7.A；8.A：9.A：10.A：ll.A：12.A；13.A：

I2-3412-3412-34

23-470-12-10-12-1

三、(1)D==-10

-1-25-8002-4002-4

13-51001-260005

0510-1003-1003-1003

-1003：）51005100120

(2)D=

0120012001200510

200-2200-200040004

-1003

0120

36

00-90

0004

3

13121121312131

22650-441021-2()21

(3)D=

283201-20-44006

31290-8-130-8-13o03

3

i312112

021-2001-2

=42

003-5003-5

006-30007

2012201212351235

123513520I20

(4)D=

2632062006200620

1219004004004

512351235

0-4-50-4-5

11=-=-184

00——-1200-11-2400-1200-12

24

200-11-24000-46

70211(1021、<1021

120102-2001-10

四、(1)解：A=2a3a4)=2130->01-1-2->01-1-2

25-1405-5205-52

J-13-UI。-11-2；<0-11-2

q021、<1021、<1020、

01-1001-1001-10

T000-200010001

000200000000

W0010000;<000

r(A)=3

r(aia2a3a4)=avar%为一个极大无关组,。3=2。广。2

11-23、'11-23、Q1-23、

21-640-1-2-20-1-2-2

(2)解：A=(%a2a3a4)

32-870-1-2-20000

<0-2-4-40000,

1-1-6-L>k

<11-23、q1-23、<10-41、<10-4r

0-1-2-20-1-2-20-1-2-20122

0000000000000000

<0000,<0000,<000N00

r(A)="a］。2a3a4)=2,ava2为一个极大无关组，a3=-4at+2a2,a4=ccI+2a2

23100、23100、23100

五、1、解：(AI)=221010->0-2-5-210T0-210

<34300L1°-2-6-30b、00-11

3•2

第

革

E

2

XA

HIIJ

'1IIz、

X322广、oo

A一1

+22II2|3

A4ob2

1

U3—3—>■3

(2|3-L1oO

2oo।*

;—L3L2|53

o»-Ao、________zJ-33

』

)3

X__ooL2|5

H___/K.____zL63

BJ1

2

U/一■、&(q

OoL

XC,13X__­/

HJ

(心32■O

2OO

、o

74&3

—IIobo

z*-

』、

L3^―•1

)uoo

—2|7

A一

oo3»—^

LJ3

oo

X,______'63

J2|5k

3

、/

Oo_^z

J

o2广、

oo

L23o1o

oo

L3

1

xOi2|31

3

、_o_O_z

L2I5b

Xs._________/

-10100>rl-10100、100010

(2/~A)=100010010-110->010-110

1020010020-11八…八

\Z\/0010—11—

[227

010

(21-力尸=-110

0

2L

010'-2、-30

X=(2I-AYlB=-10-30—-42

]_33

0,1、。3,

22;<22>

“11Mp1-3-1P

六、1.解：(Ab)=3-1-41->0-4671

-J100

J54000;

1

-3-11

371,371

->010

~2~4~41~2"4-4

0000000000

vr(A)=r(Ah)=2<4,方程组有无穷多解

(5、

4

原方程组化为令七=乙=得到原方程组的一个特解

0,4

0

33

X1=5'3

分别令£取

对应的齐次线性方程组为

37

r33

335-

24

2447

3-

37+勺-

得到齐次线性方程组的一个基础解系，则原方程组的通解为_124

244

10

100

(尢、与不同时为0)

(11111*/100121、(100121

102323102323002202

2.解：(Ab)=->->

453232453232053々44

J0012LJ111167.,<0110-If

’100121、<100121、Q00121、

0011010110-1a-\010-1-1a-2

T->->

00-2-203-5a001101001101

wii0-167-1；<000005-5町,000005(1-a).

。工1时，•.・，•(?!)=3。«46)=4,.•.方程组无解。

a=1时,r(J)=r(JZ?)=3<5,方程组有无穷多解,此时

(\0012

X1=1-x-2X

010-1-1-145

(他一,原方程组化为《x=-l+x+x

001101245

<000000,

'1、

-1

令七=毛=0,得到原方程如一个特解1

0

X]=-X4-2X5

「1、‘0、

对应的齐次线性方程组为X2=+X4+X5，分别令取

~X4

「2、12

11-11

得到齐次线性方程组的一个基础解系-i0,则原方程组的通解为x二1+占-1+k、0

i0010

OJ,J

（勺、内不同时为0）

Z—1-20

七、1.解：由|2/-4|=-2A-40=2(2-l)(Z-5)=0

00A,—1

得特征值4=。，&=1，4=5

r-1-2o、*o

把4=0代入(4/-N)X=0,得方程组-2-4o40

<00-L当O

20

玉=-2X

对系数矩阵施行初等行变换可得001将当作为自由未知量移到等号右边得，2

X.=0x

,0002

，-2、

取々=1得基础解系1所以属于4=0的力的全部特征向量是81«w0

I。,

,0,

00王

把4=1代入（4/-4）X=0,得方程组一2-30%0

100°人*3,4

00、

X,=0工3

对系数矩阵施行初等行变换可得010将看作为自由未知量移到等号右边得•

工2=0工3

00;

00

取毛=1得基础解系o，所以属于4=1的/的全部特征向量是ao，的

‘4-20丫演、

把4=5代入（/1/-4）丫=0,得方程组一210x2=o

<004A^J⑼

「2-1°】

々=2%

对系数矩阵施行初等行变换可得001,》各司作为自由未知量移到等号右边得・

,&=O.r,

W0

“1

取引=1得基础解系2,所以属于4=5的力的全部特征向量是勺2，勺工0

A-2—10

、2.解:由卬-4=02-3-1=(A-l)(Z-2)(Z-3)=0

00A,—1

得特征值4=1,4=2,4=3

把4=1代入(4/-4)X=0,得方程组0

、0

；110、

x=-x

对系数矩阵施行初等行变换可得021，将看作为自由未知量移到等号右边得2

x3=-2X