2025高考假期提升专项练习数学解密之双曲线含答案及解析

2025年高考数学解密之双曲线

一,选择题（共10小题）

I.（2024•安徽二模）己知6,F,是双曲线二-二=1（々>0,〃>0）的左、右焦点，若双曲线上存在点尸满

a'b'

足P鸟•尸石=-2/,则双曲线离心率的最小值为（）

A.卡B.石C.GD.V2

22

2.（2024•昆明一模）双曲线?-5=1的渐近线方程是（）

3294

A.y=±—xB.y=±—xC.y=±—xD.y=±—x

2349

3.（2024•四川模拟）已知双曲线」:--£=1的渐近线方程为），=±△，则〃=（）

a+23

A.-1B.1C.-3D.3

4.（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系•中，己知双曲线C：E-£=l（a>08>0）的左、右焦

a~h~

点分别为片，F）,A为双曲线右支上一点，连接从与交y轴于点8.若△人8乃为等边三角形，则双曲线C

的离心率为（）

A.2GB.-C.>/3D.—

22

5.（2024•浙江模拟）双曲线C:±}=l（a>0,〃>0）的左、右焦点为小F2,直线/过点6且平行于。

的一条渐近线，/交。于点P,若巴〉26=0,则C的离心率为（）

A.GB.2C.>/5D.3

22

6.（2024•江西一模）已知双曲线的左、右焦点分别为小R,点M为巴关于

ab~

渐近线的对称点.若也让=2,且的面积为8,则C的方程为（）

\MF.\

A.x2-^-=lB.-=1C.—-^-=1D.—-^-=1

4428416

7.（2024•回忆版）已知双曲线的两个焦点分别为月（0,4）,5（1）,-4）,点（-6,4）在该双曲线上，则该双曲

线为离心率为（）

A.4B.3C.2D.V2

8.（2024•汉中一模）已知双曲线用/+9=］的一条渐近线的斜率为2,则/〃=（）

A.-4B.4C.-1D.-

44

9.（2024•天津）双曲线*•-方=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为片、F2.2是双曲线右支上一点，且

直线”的斜率为2,是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）

.厂V-1x~y~,八x~y~卜x~y~,

A.---------=1Bn.----------=1C.---------=1tD.----------=1

82482884

，2

10.（2024•阜阳模拟）已知双曲线三-二=1的焦距为4,则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（

3nr

）

ABGcnD且^

333

二,多选题（共5小题）

2

11.（2024•安徽模拟）已知双曲线/一二二1,过原点的直线八C,⑺分别交双曲线于A,C和4,。四

3

点（A,8,C,。四点逆时针排列），且两直线斜率之积为-4，则下列结论正确的是（）

31

A.四边形A8CD一定是平行四边形

B.四边形A8CD可能为菱形

C.的中点可能为（2,2）

D.tanNAOB的值可能为华

12.（2024•长沙模拟）已知双曲线C:二->，2=1的右焦点为产，动点M,N在直线/:x=?上，且QW_LEV,

3•2

线段内W,FN分别交。于P,Q两点，过。作/的垂线，垂足为R.设"AW的面积为号，AFPQ的面

积为$2，贝【J（）

1

・・•B.叽虫

12\PF\2

c黑胎恒为定值D.1的最小值为2后

S.

13.（2024•河北模拟）已知双曲线C:»l（a>0/>0）的左顶点为A,右焦点为人过点A且倾斜

角为三的直线/顺次交两条渐近线和C的右支于M、N、Bi且IAMRMNI，则卜列结论正确的是（

6

)

A.离心率为GB.ABA.OMC.S=SD.S.=3a2

.VZrliWC.ziJiV

14.（2024•乌鲁木齐模拟）已知双曲线V-£=1的右焦点为尸，过原点O作斜率为左的直线交双曲线于A,

3两点，且E4/B<0,则“的可能取值是（）

A.--B.-C.x/2D.百

25

22

15.（2024•保定三模）己知双曲线。:=一二=1（“>0力>0）的左、右焦点分别为K，居，过点片的直线

a"IT

与C的左支相交于P,。两点，若尸QJL尸鸟，且4|尸Q|=3|尸鸟|,则（）

A.\PQ\=2aB.。£=-2。£

C.C的离心率为半D.直线PQ的斜率为±4

三.填空题（共5小题）

22

16.（2024•回忆版）设双曲线C:十方=1（〃>0,方>0）的左、右焦点分别为居，过F?作平行于），轴

的直线交C于A,8两点，若14Al=13,|人m=10,则C的离心率为.

22

17.（2024•浙江模拟）已知双曲线/=1（〃力>0）,耳,巴为双曲线的左右焦点，过6作斜率为正的直线

交双曲线左支于4%,尤），B（X2,M）（X</）两点，若IAKI=2a,=9（）。，则双曲线的离心率是

22

18.（2024・吴忠模拟）若双曲线。1-与=1（〃>0/>0）的一条渐近线方程是），=2一则。的离心率为____

才lr

2

19.（2024•闵行区二模）双曲线「：Y—2L=1的左右焦点分别为尸、£,过坐标原点的直线与「相交于A、

612

B两点，若|片闭=2|耳川，则八人64=.

22

20.（2024•辽宁模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为R-c,0）,E（c,0）,过点

K作斜率为@的直线与C的右支交丁点尸，且点“满足2KM=K产十£耳，且居尸，则C的离心

b

率是.

四.解答题（共5小题）

2

21.（2024•盐湖区一模）已知£、£是双曲线/-二=1的左、右焦点，直线/经过双曲线的左焦点6，

3

与双曲线左、右两支分别相交于A、B两点.

（I）求直线/斜率的取值范围；

（2）若=求A4O5的面积.

22.（2024•江西模拟）已知双曲线4=1（〃>0力>0）的离心率为2,顶点到渐近线的距离为逅.

a~b~2

（I）求C的方程；

（2）若直线/:y=爪+2交C于A,B两点,O为坐标原点，且A4O8的面积为2后，求k的值.

2025年高考数学解密之双曲线

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

I.（2024•安徽二模）已知"，6是双曲线*■-1的左、右焦点，若双曲线上存在点?满

足2八・尸”=-2片，则双曲线离心率的最小值为（）

A."B.6C.6D.V2

【考点】KC：双曲线的性质

【专题】35：转化思想；49：综合法；50：圆锥曲线的定义、性质与方程；65：数学运算

【分析】设尸的坐标，代入双曲线的方程，求出数量积•艺=，-。2_尻%一°2一/=孑，再

由椭圆可得。，〃的关系，进而求出离心率的最小值.

22

【解答】解：设则|工|..a,所以】一与=1（。＞0力＞0）,

a~h~

由题意可得£（—c,0），B（c,0），

222

所以PF.•PF,=（x+c,y）（x-c,＞）=x2-c2+y2=x2-c2+（^--l）Z＞2=:寸-c2一护..二后-c2-b2=-h2,

a~a~a~

所以—2/.._〃2,即2抗,从，所以离心率e='=J哼”.6,

故选：C.

【点评】本题考查双曲线的性质及数量积的运算，属于中档题.

2.（2024•昆明一模）双曲线二-亡=1的渐近线方程是（）

49

3294

A.y=±—xB.y=±—xC.y=±—xD.y=±—x

2349

【答案】A

【考点】双曲线的几何特征

【专题】数学运算；综合法；转化思想；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.

【释答】解：双曲线工-亡=1的渐近线方程是：＞'=±-x.

492

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题.

22

3.（2024•四川模拟）已知双曲线—二―-二=1的渐近线方程为丁=±6］，则〃=（）

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】A

【考点】双曲线的几何特征

【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】根据双曲线方程确定渐近线方程为），=±出!］，结合已知条件得到方程后］=6,解出〃即

可.

【解答】解：该双曲线的渐近线方程为y=士、口二X•且〃+2>0,

Xa+2

则=6可解得。=一1>-2,满足.

V4+2

故选：A.

【点评】本题主要考杳双曲线的性质，考杳运算求解能力，属于基础题.

4.（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系xOv中，已知今曲线与=1（。>0⑦>0）的左、右焦

a~b~

点分别为F2,八为双曲线右支上一点，连接八々交），轴于点3.若△八8行为等边三角形，则双曲线C

的离心率为（）

A.2GB.-C.y/3D.—

22

【答案】C

【考点】双曲线的几何特征

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解

【分析】利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率e.

【解答】解.：由题意，因为△A6/1为等边三角形,

所以|AF21=1BF2MZJ\BF2=4BAF?==60°，

因为二△死30,

-2

所以耳月=30。,NA马耳=90。,即A玛，耳鸟,故点A（c,土）,

a

因为lan/A££=lan300=2=U^^=",

2c2ac3

则《一1=拽，解得e=6.

e3

故选：C.

【点评】本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，

属于中档题.

5.（2024•浙江模拟）双曲线C:4-£=l（a>0/>0）的左、右焦点为巴，F2,直线/过点F2且平行于C

的一条渐近线，/交。于点P,若为「P用=0,则C的离心率为（）

A.6B.2C.x/5D.3

【答案】C

【考点】双曲线与平面向量

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算

【分析】先求出直线/的方程，联江直线与曲线方程，结合向量数量积的性质即可求解.

【解答】解：由题意得，£（-c,0）,凡（c,0）,直线/的方程为）=&（x-c）,

a

a2+c2

22X=

联立y=—（x-c）与C:「-5=l可得，<»

aa~b-b（c2-a2）

y=--------

r2c

若P£P6=0,则尸£_1,。6，

所以|OP|=|Og|=|O£|二c,

所以（立C）2+[㈣二dlf=C2,

2c2c

化渝得，c=4^a，

所以6=石.

故选：C.

【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系及双曲线性质的应用，属于中档题.

22

6.（2024•江西一模）已知双曲线C:=-匚=1（。>08>0）的左、右焦点分别为石、工，点M为写关于

a"b"

渐近线的对称点.若股1=2,且的面积为8,则C的方程为()

\MF2\

A.9_£=]B.^-/=1C.£—£=1D.£—£=1

44-28416

【答案】C

【考点】双曲线的几何特征

【专题】转化思想：转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程：数学运算

【分析】根据双曲线的性质可知|加周|=2〃，10A|=。，由条件得|“巴|=h,根据三角形中位线，可得b=2a,

再结合SAFO=，5广,近=2,即可求解.

【解答】解：因为£关于。的一条渐近线的对称点为M,

令渐近线为y=-^x.即Z?x+qy=O,£(-c,0),

a

则F｛到bx+0=()的距离为|月A|=-]===b,

J/+//

所以|/"的|=2)，又|。々卜。.

所以|。4|二。，

因为|M片|=2|M6|,所以|年|=。=2〃，

又因为AMG5的面积为8,

因为。V/M乃，且|Q4|二；|g|,

所以S"Q=；S"巧=2,

所以,〃力=2,即,心=4,又b=2a,

2

所以/=2,Z?2=8,

所以双曲线方程为£-£=i.

28

故选：C.

【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题.

7.（2024•回忆版）已知双曲线的两个焦点分别为『0,4）,6（0,-4）,点（-6,4）在该双曲线上，则该双曲

线的离心率为（）

A.4B.3C.2D.V2

【答案】C

【考点】求双曲线的离心率

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算

【分析】由已知结合双曲线的定义及性质即可求解.

【解答】解：因为片（。,4）,「（0,Y）,点P（-6,4）在该双曲线上,

所以|£6|=8,|尸？|=j36+(4+4)2印0,|=6,

所以”会尚骨

=2.

故选：C.

【点评】本题主要考查了双曲线的定义及性质的应用，属于基础题.

8.（2024•汉中一模）已知双曲线/*?+/=］的一条渐近线的斜率为2.则6=（）

A.-4B.4C.--D.-

44

【答案】A

【考点】双曲线的几何特征

【专•题】数学运算；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法

【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出〃，的值.

【解答】解：根据〃犹2+）；=1,得到y2—」［

m

则焦点在y轴，故渐近线为），=±，有x,

则yj-m=2,故"?=-4.

故选：A.

【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题.

9.（2024•天津）双曲线二-4=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为《、居.，是双曲线右支上一点，且

直线P6的斜率为2,鸟是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）

【答案】C

【考点】双曲线的几何特征

【专题】整体思想：综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解

【分析】设I可bm,|好鸟|=〃,则m-n=勿，由△尸尸石是面积为8的直角三角形，可得m2+n2=（2c）2,

—nui=8,由直线巴^的斜率为2,可得tan/EKP='=2,即切=2〃，从而求出〃？，〃的值，进而求出a,

2〃n

人的值，得到双曲线的方程.

【解答】解：根据题意，画出图形，如下图：

则m—n=2at

因为△PF、F?是面积为8的直角三角形,

所以nr+ii2=(2c)2=4c0-mn=8,

2

因为直.线PA的斜率为2,所以tan/月£P=%=2,

n

所以”?=2n»

m=2n

m=4夜

联立1，解得

—inn=8〃=2加

12

所以2a=m-n=2-J1,即4=&,

所以4c2=nr+n2=40,即以二10,

所以从=/-/=10-2=8,

所以双曲线的方程为三-t=1.

28

故选：C.

【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，考杳了双曲线的性质，属于中档题.

10.（2024•阜阳模拟）已知双曲线工-二=1的焦距为4,则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（

3nr

）

B6c瓜D后

A・、/JD.V-U.

333

【答案】B

【考点】双曲线的几何特征

【专题】方程思想；数学运算；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】由双曲线的焦距可得3+加2=4,求得双曲线的方程和所求渐近线的斜率.

【解答】解：因为双曲线三-二=1的焦距为4,

3m~

所以3+加=22,

解得m'=I,

2

可得双曲线的方程为±），2=1,

所以该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为£=¥.

故选：B.

【.点评】本题考查双曲线的方程知性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

二.多选题（共5小题）

II.（2024•安徽模拟）已知双曲线=1,过原点的直线AC,8。分别交双曲线于A,C和8,。四

3

点（A,B,C,。四点逆时针排列），且两直线斜率之积为-士，则下列结论正确的是（）

A.四边形AAC/）一定是平行四边形

B.四边形AAC。可能为菱形

C.45的中点可能为（2,2）

tanZAOB的值可能为拽

D.

3

【答案】AD

【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数

【专题】数学运算；综合法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】运用双曲线的方程和性质，结合直线的斜率公式、点差法和对勾函数的性质，对选项分析可得结

论,

【解答】解:由双曲线的中心对称性可知，A,"分别关于原点与C,。对称,

故Q4=OC,OB=OD,所以四边形ABC。•定是平行四边形,

而直线4C,加＞斜率之积为-,，则AC与80不垂直,

3

所以四边形A5c。不可能为菱形，A正确，4错;

22

设A（X，x）,B{X2,y2）,则x：一互=1,x；--=1,

33

两式作差得a-赴）（再+/）-g（y-）'2）（y+%）=°，

将％+毛=4,y+为=4代入，

求得3（%-马）-（凹-），2）=0,故AA的方程为y=3x-4,将其与双曲线联立,

解得书=当y%=一2,此时"T故C错误;

O2

当点A位于第四象限，点8位于第一象限,

由直线的夹角公式和对勾函数的单调性，可得tan/AOB的取值范围为［百,孚），

当点A位于第一象限，点8位于第二象限，设直线04的斜率为4,则直线08的斜率为-

3k

由攵W（O,G）e（-x/3.0）可周&e（二,G）,

3k9

~—~kq

又因为tan/A0/3=3k=—一/+—），

1+（」）2'3k

3

A

可得tan/AOA的取值范围为（—旬s

综上tan/AQA的取值范围为（-手,-。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于

中档题.

V-2-I

12.（2024•长沙模拟）已知双曲线C:——），2=|的右焦点为尸，动点也，N在直线/:x=±上，且QW_LQV,

32

线段尸M,/W分别交C于尸，Q两点,过户作/的垂线，垂足为R.设"7WN的面积为5，APPQ的面

积为S2,则（）

R\PR\_6

A.5....-

12\PF\2

\MP\-\NF\D.'的最小值为2G

C.恒为定值

\MN\-\PF\S,

【答案】BC

【考点】双曲线的几何特征

【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】对A,取MN的中点石，则|MN|=2|FE|,以MN为底，高为L当臼最小时鸟最小，对8,

2

设P（x。,稣），求出IPRI，If用代入运算可得;对C，由相似三角形结合B的结论可得;对D，设乙FMN=a,

结合8选项的结论分别将|FM|,|F7V|,1fpi,|尸Q|用a表示代入运算可得.

【解答】解：如图,取用*的中点E,过点Q作直线/的垂线.垂足为

因为/«M_LKV,E是的中点，所以|MN|=2|庄|,

即£=g|五E|,乂|尸E|.g,故A错误；

对于3,设P（x。，先），则|"?|=七一■|，|PF|=7（An-2）2+X,

又守一)W=1，IP尸1=-2)2+£-1=-"|)2=-g)，

二党孝故B正确;

对于C,由题易得AMPR~AMNF,则色妇=沙!

\MN\|N/|

翳蜀普瑞《故山

对于O,设/FMN=a,ae(0,-),贝l」NNQO=a,

2

由选项8,同理可得也=正,

\QF\2

设|P"=〃？，|FQ|=〃，可得|PA|=*m,|QO|=等〃，

2

又I尸M|二

sina2sina

1—〃?)xsina=g—/〃sina,

则|P/?HPAf|xsina=(|FM\-\PF|)xsina=(

2sina

1

--msina=—in,解得tn=,同理可得〃

22

2(sina+2(cosa+

/.6、,

sinacosa+*(sina+cosa)+]、3

.&_|FM冈"N|⑸na+N)(cosa+—6(si.n<z+cosa)4--

1+^----------------

S2\FP\y-\FQ\sinacosasinacosasinacoscr

令，=sina+cosa=J5sin(a+工)，ae(0,—),

42

(sina+cosa)2-Ir-1

则sinorcosa=

22

疯+3G"+

.•卜+-^=1+—

r-1

(/+-瓜t+)-

2■z

令p=i+今,则pe(l+4,&+q6

,则、=1+5)T=I+

S,P——!——>/5

P1-5)-

44P

易知),=〃—」-在〃€(1+正，应+立］上单调递增,

4〃22

所以吕•.」+-----=―B-------------=-+V6>2>/6.故O错误.

色氏3__L__^2

24(a+日

故选：BC.

【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，考查运算求解能力，属于难题.

13.（2024•河北模拟）己知双曲线C：W-£=l（〃>0力>0）的左顶点为A,右焦点为尸，过点A且倾斜

a'b~

角为工的直线/顺次交两条渐近线和C的右支于M、N、B,且14Ml=|MN|,则下列结论正确的是（

6

）

A.离心率为GB.ABYOMC.SOAM=SGD.S痴=3M

【答案】BC

【考点】双曲线的其他性质

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程：方程思想；综合法：数学运算

【分析】对于A项，联立直线方程与直线OM方程、直线QN方程可求得点M、点N坐标，由

\AM|=|M/V|,可知用为4V中点，结合中点坐标公式可得3的值，进而可求得离心率，对于8项，计算

砥小心”的值即可，对于C项，联立直线方程与双曲线方程可求得点3坐标，由点M、点N、点8纵

坐标可知M、N为线段AB的三等分点，结合三角形面积公式判断即可，对于。项，由S忖=5A/H・||

求解即可.

由题意知，&-d0）,直线OM方程为），=-2「直线QN方程为,，=2i,

aa

设直线4?方程为），=等（x+a）,

•>

__a_

“一回-。，即^）,

cib3b-a13b-a

2

-a'

x=------l2

,即

aba+d3ba+C3b

尸FS

对于A项，因为|AMHMN|,所以M为4V中点,

所以——扃-。二一；,整理得2=6,

2〃+yj3ba

所以离心率e=

对于8项，由A项知，直线OM方程为y=-Gx,即4加=-#,

又因为k=tan-=,所以嗫xk=-l,

AB63OM

所以至_LOW,故6项正确；

对于。项，过M作ME_LA/垂足为E,过N作NGLAf1垂足为G,过8作5"_LA尸垂足为H,如图所

示,

由A项知，b=&a,所以双曲线方程为£-工=1,M(-二翅)，N(J

联立双曲线的方程与直线方程y=^(x+a),可得8(*4,还a),

344

所以|例初=匝，\NG\=—,\BH|=^i,

424

所以|ME|:|7VG|:|BH|=1:2:3,

所以何、N为线段/W的三等分点，即|AM|=jMN|=|8N|,

设O到直线45距离为〃，则So.S°BN=；\BN\h,

所以SOAM=SO8N，故。项正确；

对于。项，如图所示，

由A项知，c=2a,所以5八"=；|川斗|4"|=(*(4+0”土佚=当二，故。项错误.

故选：BC.

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理

能力，属于中档题.

2

14.（2024•乌鲁木齐模拟）已知双曲线V-二=1的右焦点为F,过原点O作斜率为女的直线交双曲线于A,

3

两点，且尸4•尸8<0,则A的可能取值是（）

A.--B.-C.>/2D.百

25

【答案】BC

【考点】双曲线与平面向量

【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解

【分析】由题意，设出直线/的方程和A,3两点的坐标，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理

以及向量的坐标运算求出直线/斜率的取值范围，再对选项进行逐一分析即可求解.

【解答】解：不妨设直线/的方程为），=依，4K，y）,B（X2»_y2）,

y=kx

联立、y2,消去,，并整理得(3-公)/—3=0,

厂--=1

3

此时恒成立，

由韦达定理得玉+/=。，玉玉=..-T

3_k

因为A,8两点关于原点对称，

一3

所以xx=一4；=——<0,

（2O—K

解得一6<女<6,

又C=67T=2,

则双曲线的右焦点尸(2,0),

所以E4=(E-2，M),FB=(x2-2,y2)f

2

贝ljFAFB=(Xj-2)(X2-2)+y^y2=(k+1)xtx2-2(x1+x,)+4<0.

解得-近<k〈亚

77

因为

所以及的取值范围为（-G,-2）D（地，5,

77

因为该双曲线的渐近线方程为），=±3，故选项O错误；

易知好之1.118,-=1.2,夜=1.414,6t1.732,—«1.134.

257

所以-迫<-好，迈<9<&<6，故选项A错误.

7275

故选：BC.

【点评】本题考杳了抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

15.（2024•保定三模）己知双曲线。:，-方=1（〃>0力>0）的左、右焦点分别为斗F2,过点片的直线

与C的左支相交于尸，Q两点，若尸QJ_尸鸟，且4|PQ|=3|P^|,则（）

A.\PQ\=2aB.PF.=-2QF]

C.C的离心率为半D.直线〃。的斜率为_L4

【答案】ACD

【考点】双曲线的几何特征

【专•题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算

【分析】设|P£|=x,|Q£|=y,结合双曲线的定义与勾股定理可以求得x,），的值，即可判断出A,B选

项；再结合勾股定理可以求得“，c的关系，再求出离心率即可判断C选项；求直线的斜率，在直角三角

形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率，即可判断。选项.

【解答】解:如图，由4|PQ|=3|"|,可设|PQ|=3m,|”|=4/〃，

设|2月|=1,|QF1|=y,则4〃?一工=2〃，5〃z-y=2a,x+y=3ni,

解得〃?=网，则x=2,y=丝，

333

所以|PQ|=2〃，故A选项正确;

QF\=2F、P,故4选项错误；

在△。耳6中，由|P£『+|PK|2=|£E|2,得?+喋=4d,则?=弓，

从而。的离心率为晅，故C选项正确；

3

又tanNP£E=禽]=4,所以直线PQ的斜率为±4,故。选项正确.

-I历I

故选：ACD.

【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题.

三,填空题（共5小题）

22

16.（2024•回忆版）设双曲线C:=-1=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为不F2,过鸟作平行于y轴

crb"

的直线交C于4,B两点,若16Al=13,|A8|=10,则C的离心率为

【答案】

2

【考点】双曲线的几何特征

【7题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解

【分析】由题意求出1KAi,|04|,利用双曲线的定义求出a和52、j即可求出双曲线。的离心率.

【解答】解：由题意知，|片川=13,IKA|=g|A3|=5,

所以|64|-|6川=2〃=8,解得〃=4；

又x=c时，y=—,即1KAi=S=5,

a-a

所以从=5a=20,

所以C2=/+〃=]6+20=36,所以C=6,

所以双曲线C的离心率为。=£=」.

a2

故答案为：

2

yA

【点评】本题考查了双曲线的定义与应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题.

22

17.（2024•浙江模拟）己知双曲线„=1（4,。＞0）,耳,鸟为双曲线的左右焦点，过£作斜率为正的直线

交双曲线左支于4%,）［）,仅公，为）（凹〈必）两点，若|A4l=2a,乙4叫二9（）。，则双曲线的离心率是

,5-2应

［答案］』5-2&.

【考点】双曲线的几何特征

【专题】方程思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法

【分析】根据双曲线的几何性质及勾股定理即可求解•.

【解答】解:设，.|4甲=2a,ZABF2=90°,

」AF21=|AFX|+2a=4。，又|A31=|BFx\+\AF^t+2a,

22222

|BF21=|AF21-\AB\=\6a-(/+2a),又15名|=2z+f,

16«2-(/+2a)2=(2a+1)2,

7.16/72=2(/+2")2,：.4〃=x/2(r-2〃),t=15n—?//,

|=142a-2a,|8鸟|=2a+r=2缶，

又IK片|=2c,ZABF2=90°,

.•.i跖F+I叫

二(2亿-2a)2+8/=4c・2,

/.r=（5-2>/2）a2,

=5-272,又e>l,

.、=15-2四.

故答案为：55-2庭.

【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题.

22

18.（2024•吴忠模拟）若双曲线C:二-二=1（〃>02>0）的一条渐近线方程是y=2x,则