2025高考假期提升专项练习数学压轴训练24含答案及解析

2025年高考数学压轴训练24

一.选择题（共9小题）

1.（2024•阜阳模拟）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）

2x

A.常数项为"B.各项的系数和为64

4

C.第3项的二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32

2.（2024•博白县模拟）文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节FI有2个，如果教师的节目不排在第

一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为（）

A.720B.1440C.2400D.2880

3.（2024•南京模拟）有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每

个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）

A.300B.360C.390D.420

4.（2024•石家庄模拟）现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学

校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）

A.216B.432C.864D.1080

5.（2024•西安二模）老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至

少分得一本，则不同的分法有（）

A.248种B.168种C.360种D.210种

6.（2024•安徽模拟）将I到50这50个正整数平均分成4、3两组，每组各25个数，使得4组的中位数

比3组的中位数小1,则共有（）种分法.

A.匿B.以

C.D.（3>

7.（2024•贵州模拟）在（工一步）6的展开式中，下列说法错误的是（）

A.二项式系数之和为64

B.各项系数之和为工

64

c.二项式系数最大的项为°a

2

D.常数项为空

16

8.（2024•莆田模拟）用数字0,1,2,3,5组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列得

到一个数列｛%｝，则a25-（）

A.32150B.25310C.32510D.25130

9.（2024•凉山州模拟）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门匚五名同学排

成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（）

A.12和1B.24种C.48种D.96种

二.多选题（共6小题）

10.（2024•长沙三模）瑞士数学家Betikndli于17世纪提出如下不等式：Vx>-1>有

（l+x）r>l+n:,r>l,请运用以卜知识解决如下问题：若〃，则以下不等式正

（l+x）r<l+rr,（）</-<]

确的是（）

A.aa+bh>\B.ab^ba>1C."'+//'>，+/D.aa+bh<ah+b（,

11.（2024•曲靖模拟）下列命题正确的是（）

A.展开式中f的系数为1

X

B.展开式的常数项等于20

x

C.（x+,）6展开式的二项式系数之和为64

x

D.a-!）,展开式的系数之和为64

x

12.（2024•九江三模）已知二项式;严，贝I"）

A.展开式中亡尸的系数为45

B.展开式中二项式系数最大的项是第5项

C.展开式中各项系数之和为1

D.展开式中系数最大的项是第5项或第7项

13.（2024•河南模拟）关于（夕7尸的展开式，下列判断正确的是（）

A.展开式共有7项

B.展开式的各二项式系数的和为128

C.展开式中含父的项的系数为-49

D.展开式的常数项为1

14.（2024•福建模拟）已知正整数x,〃，其中x的因数不包含3,若（x+3）"的展开式中有且只有6项能

被9整除，则〃的取值可以是（）

A.6B.7C.8D.9

15.(2023•云南模拟)已知(1一2%严3=4)+4\+。2/+-+%02/26，贝U()

A.展开式中所有项的系数和为-1

B.展开式中二项系数最大项为第1012项

C.5+与+乌+...+缥=7

D.4+2a2+3a3+...+2023a=2023

三,填空题（共6小题）

16.（2024•黄浦区校级三模）用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数

的奇数共有个.

17.（2024•南开区模拟）在（X-的展开式中,户的系数为

18.（2024•越秀区校级一模）若（66-3）60>0）的展开式中含x的项的系数为60,则片+人的最小值

为

19.（2024•绍兴模拟）。-2月5展开式中工4）,的系数为.

20.（2024•陕西模拟）（2孙？+乂6的展开式中，不含字母y的项为.

21.（2024•阳江模拟）（。+#（17产"展开式中—24的系数为-2023,则。的值为一.

四,解答题（共4小题）

22.（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错（或不答）得。分.赛后

某参赛代表队获团体总分161分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没有三

名选手都答对两道相同的题目.试问该队选手至少有多少人？

23.（2024♦顺庆区校级模拟）已知数列［a,,｝的首项为1,记

nnn2ny

F(x,n)=(I-x)+a2C\x(\-x)~'+a3Cy(1-x)~+.•.+anC^x-(1-x)'+〃£了”.

(I)若数列｛《J是公比为3的等比数列，求产(-1,2020)的值：

(2)若数列｛q｝是公差为2的等差数列，

①求证：kC：=心；

②求证：/2020）是关于x的一次多项式.

24.（2024•黔南州二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元〃

次多项式方程在复数域上至少有一根（〃.」）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基

础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：〃次复系数多项式方程在复数域内有且只有〃个根（重根按

…，％，若方

重数计算).对于〃次复系数多项式/(X)=X"+4T£“+-+〃/+%，其中4”，'n-2

程/。)=0有〃个复根七，修....乙，则有如下的高阶韦达定理:

!>，=，*，

1-1

E与弓=《-2，

速kJn

n

Ex//=-4e

\&<j<kn

%占…X”=(-1)”《)・

(1)在复数域内解方程V+4=0；

(2)若三次方程F+如2+Z?x+c=O的三个根分别是玉=1-i,x2=1+/,刍=2(，为虚数单位)，求a,b»

c的值；

(3)在“..4的多项式J(t)=x"+…+%x+/中，已知a,i=-1,a{=-n'a,/=a,a为非零实

数，且方程/(x)=0的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根(用含〃的式子表示).

25.(2024•鼓楼区校级模拟)设［2x+l)8的第〃项系数为q.

(I)求知的最大值.

4

X“2i+1

(2)若⑶表示x的整数部分，S3—,求STS］的值.

2

2025年高考数学压轴训练24

参考答案与试题解析

一.选择题（共9小题）

1.（2024•阜阳模拟）在二项式（6--1）6的展开式中，下列说法正确的是（）

2x

A.常数项为"B.各项的系数和为64

4

C.第3项的二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32

【答案】A

【考点】二项式定理

【专题】转化思想；二项式定理；逻辑推理；数学运算；计算题；综合法

【分析】直接利用二项式的展开式，赋值法和组合数以及二项式系数的和判断A、8、C、。的结论.

1163r

【蟀答】解：根据（6一一）6的展开式通项为却|=。1（一一）「7^,（/=0,I,2,3,4,5,6）,

2x2

当〃=2时，常数项为优（；尸=：，选项入正确；

令x=l,得各项的系数和为（1—2）6=-5■，选项8错误；

264

展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；

16

依题意奇数项二项式系数和为C：+c：+C；+C：=，2以=32,选项O错误.

2i=o

故选：A.

【点评】木题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，赋值法.主要考查学生的运算能力，属于中档题.

2.（2024•博白县模拟）文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第

一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为（）

A.720B.1440C.2400D.2880

【答案】B

【考点】部分元素不相邻的排列问题

【专题】定义法；对应思想；数学运算；排列组合

【分析】先将学生节目进行全排列，再根据题意将教师节目插入除首尾以为的4个空中，从而可解.

【辞答】解：根据题意，先将学生节目进行全排列共有&=120种排法，

又教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻,

则将教师的2个节目插入到中间4个空中，

则共120x4：=1440种方法.

故选：B.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

3.（2024•南京模拟）有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每

个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）

A.300B.360C.390D.420

【答案】C

【考点】排列组合的综合应用

【专题】数学运算：综合法；整体思想：排列组合

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及平均分组问题求解.

【蟀答】解：当5个人中有3个人被录用，

则不同的录用情况种数是=60；

当5个人中有4个人被录用，

则不同的录用情况种数是《里■大=180；

当5个人中全部被录用，

则不同的录用情况种数是斗W+与=150,

则不同的录用情况种数共有60+180+150=390.

故选；C.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及平均分组问题，属中档

题.

4.（2024•石家庄模拟）现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学

校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）

A.216B.432C.864D.1080

【答案】B

【考点】排列组合的综合应用

【7题】定义法；对应思想；数学运算；排列组合

【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合分组分配列式计算得解.

【解答】解：求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有A；种方法，

再把4名语文教师按2:1:（1分）成3组，并分配到三所学校，有C；A；种方法,

最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有封种方法，

由分步乘法计数原理得不同的安排种数为A：&=432.

故选：B.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

5.（2024•西安二模）老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至

少分得一本，则不同的分法有（）

A.248种B.168种C.360种D.210种

【答案】D

【考点】人员及物品分配问题

【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解•.

【解答】解：老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一

本，

当甲分2本，乙分I本，丙分3本时，

不同的分法有C：C：=60种；

当甲分2本，乙分2本，丙分2本时，

不同的分法有=90种；

当甲分2木，乙分3木，闪分I木时，

则不同的分法有=60种，

即不同的分法共有60+90+60=210种.

故选：D.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及分步乘法计数原理，属

中档题.

6.（2024•安徽模拟）将1到50这50个正整数平均分成4、A两组，每组各25个数，使得力组的中位数

比3组的中位数小1,则共有（）种分法.

A.B.

c.盘CD.（Gif

【答案】D

【考点】简单组合问题；排列组合的综合应用

【专题】计算题：排列组合；数学运算；综合法；方程思想

【分析】根据题意，由中位数的定义分析可得甲组的中位数为25,而此时乙组的中位数是26,

【解答】解：根据题意，将1,2,3,…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数,

使得甲组的中位数比乙组的中位数小I,

由中位数的定义，甲组的中位数为25,而此时乙组的中位数是26,

在小于25的24个数中选12个，分到A组，剩下12个分到8组，

在大于25的24个数中选12个，分到4组，剩下12个分到4组，

共有（C/2种分组方法.

故选：D.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及中位数的定义，属于中档题.

7.（2024•贵州模拟）在（工一今成的展开式中，下列说法错误的是（）

A.二项式系数之和为64

B.各项系数之和为

c.二项式系数最大的项为2S*-

D.常数项为"

【答案】C

【考点】二项式定理

【专题】综合法；二项式定理；数学运算：转化思想；计算题

【分析】由题意先求出〃的值，利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否

正施，从而得出结论.

【解答】解：（x——!尸）6的展开式中，二项式系数之和为2°=可,故A正确：

令x=l,

根据二项式系数的性质，可得当r=3时，展开式中二项式系数最大，

即展开式的第4项的二项式系数最大，故。错误；

根据通项公式为鸳=《•尸.（一古厂—乂-权/二令6-3=0,求得r=4,

可得展开式中常数项为7；=亡故。正确.

216

故选：c.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.

8.（2024•莆田模拟）用数字0,I,2,3,5组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列得

到一个数列{%},则叼5=（）

A.32150B.25310C.32510D.25130

【答案】C

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题

【专题】综合法；排列组合；数学运算；转化思想；计算题

【分析】由分类加法计数原理及排列数公式求解即可.

【蟀答】解：数字1在万位的偶数（0,2为个位）有用个=12个；

数字2在万位的偶数（0为个位）有A；=6个；

数字3在万位，0在千位的偶数（2为个位）有&=2个：

此时共12+6+2=20个偶数，

随后5个偶数从小到大为3052,31502,31520,32150,32510,所以第25个数是32510,

即知=32510.

故选：C.

【点评】本题主要考查简单的计数问题，考查运算求解能力，属于中档题.

9.（2024•凉山州模拟）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门「五名同学排

成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（）

A.12和1B.24种C.48种D.96种

【答案】B

【考点】部分元素不相邻的排列问题

【专题】对应思想；综合法；排列组合；数学运算

【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的一人共“2人”

排列，再插空排丙和丁.

【蟀答】解：甲和乙相邻，捆绑在一起有A；=2和、

再与丙和丁外的1人排列有8=2种，

再排丙和丁有&=6种,

故共有6•用•A；=2x2x6=24种排法.

故选：B.

【.点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题.

二,多选题（共6小题）

10.（2024♦长沙三模）瑞士数学家为而防Bem。山i于17世纪提出如下不等式：Vx>-1,有

(l+x)r>1+rv,r>l

请运用以上知识解决如卜.问题：若0<〃<10<Z?<1»a=b,则以卜不等式正

(1+x)r<1+rr,0<r<1

确的是（）

A.a（,+bh>1B.ah+ba>\C.af,+bh>+haD.aa+bh<ah+b"

【答案】ABC

【考点】二项式定理

【专题】转化思想；构造法；定义法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算

【分析】选项人中，根据题意得出/>1,所>1,求和即可；

22

选项8中，根据题意得出/>—仁，,根据同向不等式相加，求解即可；

a-bb+a

选项C、D,不等式废+从〉d+口,可化为-父>/-优，构造函数〃（x）=f-x"，利用导数判断函

数的单调性，求解即可.

【释答】解：对于A,因为后一工>一加2,所以废>,，则才+/>_1+4=1；

e222

对于8,因为非=/2———,同理〃则〃+少>，二+/_=］；

（1/1+心_］）"a+bb+aa+bb+a

aaa

对于C,要证明a“+户>"+",也即证明廿一（>要-地，只要证明3％<1时,h（x）=xb-犬在区间出,

1）上单调递减.

求导数，得/7'（l）=加1-办“7=欣"（2--），由2一尸=0，得X=（2）R,且a/T>0,

aaa

结合辱函数y=4”的性质得:当xN昌士时，心）,0,心）在区间心）次内）上单调递减，即x=（2启

aaci

时，函数以x）取得最大值，从而只需证明此（与片，变换得：纥/尸o4（_L严，因为

aabb

az,

（l）^=（|+l-l）-<14-（l-l）（o-Z?）=2+/?-a<2,故得证；

综上，若0<8<avl,不等式a"+W'>W"成立，选项C正确，。错误.

故选：ABC.

【点评】本题考杳了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题.

11.（2024•曲靖模拟）下列命题正确的是（）

A.（x-L）6展开式中f的系数为1

x

B.（x+L），展开式的常数项等于20

C.（x+3“展开式的二项式系数之和为64

x

D.*-』）6展开式的系数之和为64

x

【答案】ABC

【考点】二项式定理

【专题】数学运算；计算题；综合法；转化思想；二项式定理：逻辑推理

【分析】根据给定二项式，利用展开式的通项公式计算可判断选项A,B；根据二项式系数之和为2”可判

断选项C;令x=l,可得所有项系数之和进而判断选项。.

【解答】解：对于选项A：由（x-L）6展开式的通项为&产C：产'（一3'=（-1）'禺产，（==0,1,2广.,6）,

xx

令6-2r=6,解得，=0,所以含f的项为工=（-1）。或/=16,此时系数为1,故A正确；

对于选项8：由（x+’F展开式的通项为7；+i=C；e'dy=Qe2'G=0,l,2L.,6）,

XX

令6-2〃=0,解得r=3,所以常数项为q=C%°=20,故8正确：

对于选项C：由“+'）6可知〃=6,所以二项式系数之和为于=64,故C正确；

x

对于选项。：令X=l,可得所有项系数之和为（1-1）6=0,故。错误.

故选：ABC.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

12.（2024•九江三模）已知二项式尸，则（）

y

A.展开式中fy-2的系数为45

B.展开式中二项式系数最大的项是第5项

C.展开式中各项系数之和为1

D.展开式中系数最大的项是第5项或第7项

【答案】AD

【考点】二项式定理

【专题】综合法；数学运算；二项式定理；整体思想

【分析】由已知结合二项展开式式系数及系数的性质检验各选项即可判断.

【解答】解：因为心=4”，(二)'=(一1八品，。-，二，

y

A：令10-尸=8,即厂=2,展开式中丁尸的系数为4=45,正确；

B：展开式共II项，故二项式系数最大的项为第6项，错误；

C：令x=y=l,则展开式各项系数和为0,错误；

D：当，•为奇数时，系数为负，当，•为偶数时，系数为正，

故展开式中，r=4或r=6系数最大项为第5或第7项，正确.

故选：AD.

【点评】本题主要考查了二项展开式系数及展开式系数的性质的应用，属『中档题.

13.(2024•河南模拟)关于(⑺-4的展开式，下列判断正确的是()

A.展开式共有7项

B.展开式的各二项式系数的和为128

C.展开式中含V的项的系数为-49

7

D.展开式的常数项为例

【答案】BD

【考点】二项式定理

【专题】数学运算；二项式定理；逻辑推理；转化思想；计算题；综合法

【分析】根据二项式展开式的性质判断4,二项式系数和为判断8,写出展开式的通项，即可判断C,令

x-O,可得展开式中常数项，即可判断。.

【解答】解：对于A,因为〃=7,故展开式共有7+1=8项，故A错误；

对于B,展开式的各二项式系数的和为2?=128,故〃正确；

7rrr7r

对于C,展开式的通项公式为：rr^=C；(y/7)-(-x)=C；(-l)(y/7)-x\(^

故含3的项的系数为C(-1)5(J7尸=747,故C错误；

对于。，令；v-O,展开式的常数项为(b-0)7=7:故。正确.

故选：BD.

【点评】本题考兖的知识点：二项式的展开式，赋值法，组合数,主要考查学生的运算能力，属于中档题.

14.(2024•福建模拟)已知正整数x,〃，其中x的因数不包含3,若(x+3)"的展开式中有且只有6项能

被9整除，则〃的取值可以是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】AB

【考点】二项式定理

【专题】数学运算；二项式定理；计算题；转化思想；逻辑推理；综合法

【分析】利用二项式定理及其通项公式分类讨论计算即可.

【解答】解：易知（X+3）"的展开式的第4+1项为C""3（鼠，。，

即当〃..2时必能被9整除，即至少有〃-1项可被9整除，

故转为研究当k=0,1时是否满足题意，

当〃=0时，该项为。：％"=父，由于尤的因数不含3,故无法被9整除；

当2=1时，该项为。：产1乂3=3，广1

若〃为3的倍数，则该项可被9整除；

若&=1时该项可被9整除，则共有〃项可被9整除，

此时〃=6,为3的倍数，成立，

若4=I时该项不可被9整除，则共有〃-1项可被9整除，

此时〃=7,符合题意.

综上，〃可以为6或7.

故选：AB.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，整除问题的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

15.（2023•云南模拟）已知（1-2产"”印+即入+小产,则（）

A.展开式中所有项的系数和为-1

B.展开式中二项系数最大项为第1012项

「4+生+%,%023_1

。y25-2^•*2^T__

D.4+2a2+36+…+2023a2023=2023

【答案】AC

【考点】二项式定理

【专题】函数思想；转化法；二项式定理；数学运算

【分析】A.令x=l进行求解..

B.展开式中二次系数最大值的预有两项.

C.令1=0或4=」进行求解.

2

。.先对等式两边对x求导数，然后令x=l进行计算即可.

【解答】解：令x=l,得所有项系数和为(1-2)的=-1,故A正确，

・.・〃=2023,.•.展开式中有2024项，则展开式中二项系数最大项为第1012项或1013项，故8错误，

令.丫=0得，4=1,令人旧得(]_2xg严=%+?+?+…+黑=0,

••・安杂…+舞=/=一，故。正确，

20222022

等式两边对x求导数得一2x2023(1-2A)=%+2a2x+36/+…+2023a2o2_,x,

令丫=1得q+2/+3勾+…+20234g=-4046•故。错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用二项式系数的性质，利用赋值法以及求导数法进行计算是

解决本题的关键，是中档题.

三,填空题(共6小题)

16.(2024•黄浦区校级三模)用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数

的奇数共的84()个.

【考点】数字问题

【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解.

【解答】解：用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数可分为2

类：

①当数位上数字为奇数且个数为2时，

则有用=720个；

②当数位上数字为奇数且个数为4时，

则有8=120个，

则各个数位上数字和为偶数的奇数共有720+120=840个.

故答案为：840.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属

中档题.

17.(2024•南开区模拟)在(x-±)s的展开式中，『的系数为—竺

2.v2

【答案】—.

2

【考点】二项式定理

【专题】综合法：数学运算；计算题：转化思想；二项式定理：逻辑推理

【分析】直接利用二项式的展开;弋和组合数的应用求出结果.

【解答】解：根据二项式的展开式&=(7；•(一/产(r=0,1,2,3,4,5),

当r=2时,/的系数为C；.(-手号.

故答案为：

2

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

18.(2024•越秀区校级一模)若3&-?)6s>0)的展开式中含x的项的系数为60,则/+〃的最小值为

2粒

【答案】2丘.

【考点】二项式定理

【专题】数学运算：转化思想；二项式定理；转化法

【分析】求出通项公式，利用项的系数得到方程，求出/A=2,进而由基本不等式求出最小值.

【解答】解：二项展开式的通项为7；+i=(-l)'C"”x*=(-iyC；a6-,yx3-7r=0,L2,---,6),

令3-「=1得r=2,

24242

/.T3=(-l)C-abx=15abx,依题意得，15a/=60(/?>0),

a2b=2>

2炳=2&,当且仅当/=/,,即〃=±啦2=&时，等号成立.

.•./+〃的最小值为2&.

故答案为：2夜.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查转化能力，属于中档题.

19.(2024•绍兴模拟)(x-2y)5展开式中;6,的系数为_-式_.

【答案】-10.

【考点】二项式定理

【专题】综合法；转化思想；计算题；二项式定理；数学运算：逻辑推理

【分析】根据二项式定理计算即可.

【解答】解：设的通项为却=。；尸(-2)，),n&=G・(-2)，产了，

当,.=1时，7；=C；-（-2）'x4y=-10.r4y.

故答案为：-10.

【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

20.（2024•陕西模拟）（2，4+与的展开式中，不含字母），的项为_60/_.

【答案】60x2.

【考点】二项式定理

【专题】函数思想；综合法；数学运算；二项式定理

【分析-】利用二项式定理，可得⑵9尸+_1）6的展开式中，不含字母）,的项.

【辞答】解：（2不，2+工）6的展开式中，不含字母）,的项为0：（3*2冷，2）2=15*4/=60工2.

故答案为：60/.

【点评】本题考查二项式定理，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于中档题.

21.（2024•阳江模拟）（4+工）（1-幻2024展开式中/024的系数为_2023,则a的值为1.

【答案】1.

【考点】二项式定理

【专•题】数学运算；转化思想；二项式定理；转化法

【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解.

【解答】解：（1-刈2侬展开式的通项公式为（7=44（-1）”,，

（a+x）（l-X）2024展开式中―24的系数为-2023,

则嚣+LC嚣（一仆=一2023,即a-2024=-2023,解得a=l.

故答案为：1.

【点评】本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题.

四,解答题（共4小题）

22.（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错（或不答）得0分.赛后

某参赛代表队获团体总分161分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没有三

名选手都答对两道相同的题目.试问该队选手至少有多少人？

【答案】7.

【考点】排列组合的综合应用

【专•题】逻辑推理；排列组合；转化法；转化思想

【分析】利用图表列举所有情况，结合排列组合公式计算求解即可.

【解答】解：设该队有〃名选手，分别记为4，记6道题的编号依次为1,2,…，6,以编

号为行、选手为列作一个6.172的方格表，

如果选手q(i=l,2,〃)答对第J(/=l,2,6)题，就将方格表中第/行第i列的小方格(川)的中心染成红

点，

,11,

我们的问题就是在6x〃的方格表中，不存在“横”6点矩形；和“纵”6点矩形L--；的情况，且

至少有23个红点时，求〃的最小值.

如第1列有6个红点，那么，后面各列至多有2个红点，

因为C：=15>9,于是，取第2至10列，其中第2至9列每列有2个红点，第1。列I个红点(如图)满

足题设，这说明〃的最小值不大于10.

1nZai0506%08%J」

•••

•••・

•••••

•••••

••••

••

我们发现，可通过将第1列中某点移到此点所在行的其他列中来减少图6的列数，

如作移动(6,1)->(6,2),可同时作移动(4,10)-(6,3),(3,9)-(6,4),(5,9)->(6,7),这

样便得到有23个红点的图甲,

图甲图乙

下而证明：〃的最小值大于6.

对于一个恰有6列的力格表，由抽屉原理知至少有一列红点数不少于4,不妨设第1歹U,且第1列的前4

行的小方格的中心是红点，

如果某列有2个红点，则称其为某列上的一个红点“行对”，这样在前4行中，除第1列外的5列中每列

只能有一个行对.于是，前4行中总共有C：+5=ll个行对.

考虑最后两行：若第1列还有红点，那么，有红点的这一行不能再有其他的红点，如第1列还有2个红点，

这时能增加9个行对，6x6方格表中共有11+9=2,个行对；

如第1列还有I个红点，不妨设第1列第5行的小方格有红点，

这时即使第6行除第1列外的其他小方格都有红点，那么，可增加C：+5x2=14个行对,6乂6方格表中共

有11+14=25个行对；

如第1列没有其他的红点，那么，在最后两行中最多还有两个行对，这两个行对占去了两列，在余下的三

列中，每列最多有1个红点，

于是，可增力口行对2x5+3x2=16个，这时，6x6方格表中最多有11+16=27个行对.这说明27是可能

的行对总数的最大值，

设第i列的红点数为毛（，=1.2,…，6）,且£>：=女，则所有行对的总数汽C；427,

r-li-l'

即之心口2K54,

r=1r=l

由柯西不等式有£菁2之毛）=1公,

1=16j=i6

所以勺Wk+54,

6

解得3历0ZK3+3历，

由左为正整数知匕21,这说明6x6方格表中红点个数最多为21个，

又当〃,,5时，方格表中红点总数不大于4r5=2。个，这说明〃的最小值不小于7.

综上，该代表队至少有7名选手.

【点评】本题考查排列组合的应用，属于难题.

23.（2024•顺庆区校级模拟）已知数列｛凡｝的首项为1,记

尸x）"+生£、（1一％尸+a,C>2（l-xr2+…+.

（I）若数列｛q｝是公比为3的等比数列，求产（-1,2020）的值；

（2）若数列｛《｝是公差为2的等差数列，

①求证：kC：="端；

②求证：尸（x,2020）是关于x的一次多项式.

【考点】二项式定理

【专题】数学运算；计算题；转化思想：二项式定理；逻辑推理；证明题

【分析】(I)等比数列结合二项式定理可解决该问题；

(2)①利用组合数公式解决；

②利用二项式定理和①结论解决.

【解•答】解：(1)由题意=3""，广(X

ri)=(1-x)n+(3x)(1-x)n-l+C^(3.r)2(l-x)n~2+...+C；(3x)n=(1+2x)n,

F(-l,2020)=(l-2)202°=l：

n\〃(〃一力

(2)①证明：kC：=k

kl(n-ky.(k-1)!(〃一&)!

②证明：•.•数列｛%｝是公差为2的等差数列，.•・q=2〃-I.则

n

F(x,〃)=4c：(1一x)"+a2cM1-+…+aW•(D+an+lC：x

=C：(l-x)"+(1+2)C：X(1-x)n-l+(1+4C>2(1-x)n-2+…+(1+2/?)C；；Z

二C(1-x)"+C>(1-x)n-'+C；x2(1-x)"-2+...+c；父1+[2C>(1-+2x2(1-x)n~2+...+C；：xn]

由二项式定理知，C；；(l-x)w+C：x(l-x尸+(17广+…+C；；xn=l(l-x)+xY=1.

又=〃Gt；，，C：X(l7严+C*2(17厂2+…+〃

=初小】岚17严+炉a7)”“十…十y二国

=阂。3(1尸+c^xd-xr2+…+c*]

=nx[(l-x)+x]n~]=nx,

所以F(x,n)=1+2ztr,/.F(x,2020)=I+4040x是关于x的一次多项式.

【点评】本题考查二项式定理、等差等比数列、组合数公式、一次函数、转化思想，考查数学运算能力及

推理能力，属于难题.

24.(2024•黔南州二模)1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元〃

次多项式方程在复数域上至少有一根(几』).此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个教学中起着基

础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：〃次复系数多项式方程在复数域内有且只有〃个根(重根按

重数计算).对于〃次复系数多项式f(x)=x"+4"_]-+…+4工+g,其中凡〃"_2，…，4)cC，若方

程/。)=0有〃个复根内，%....工，则有如下的高阶韦达定理:

E七弓=q-2，

|§）<7/I

<

l»J<j<kn

入工2…七=（一）"%•

（1）在复数域内解方程f+4=（）：

（2）若三次方程V+G?+〃x+c=O的三个根分别是内=1-i,x2=1+/,凡=2（，为虚数单位），求a,b,

c的值；

（3）在〃..4的多项式/（x）=x"+…+4%+41中，已知/_]=T，q=/=〃，”为非零实

数，且方程/。）=0的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含〃的式子表示）.

【答案】（1）x=±27；

（2）a=4,b=6»c=T；

⑶—.

【考点】类比推理；二项式定理；复数的运算

【专题】综合法；逻辑推理；数学运算；二项式定理；数系的扩充和复数；转化思想；计算题

【分析】（I）根据题意直接解方程即可；

（2）根据题意结合韦达定理分析运算求解；

（3）根据题意结合韦达定理可得玉+…+七,=1，结合不等式可得'+'+…+’..〃2,由

,砧…k+*…+•••+%七…匕=（T严（-〃七）可得_L+_L+…+_L=〃2,结合不等式成立条件分析

"2…Z=（T）Z百々4

求解.

【解答】解：（1）由f+4=0,可得f=_4,解得x=±2i.

x1+x2+x5=-a

（2）由题意可知：-xtx2+x2xy+xrv3=b,

XyX2X3=-C

4=-a

将5=1—,x2=1+/,占=2代入可得,6=。，

4=-c

所以a=4,b=6,c=-4.

(3)设。=(4，〃2「、可)，〃=S也，…也)，

49a、9...cin9b、,b],・・・，b,>0,

因为ia$l”I训5|,当且仅当及/序时,等号成立，

可得|a}b]+a2b2+…+cinbn\,,Qa；+a：+…+a；•Qb；+b?+…+b：,

即afy+a/+…+。也,荷+a；+…+a；•Jb；+片+…+8,当且仅当乌"二生二…二色"时，等号成立,

~'瓦b2btl

因为方程/(x)=x"+q+…+〃/+《)=()的根恰好全是正实数，

2

设这〃个正根分别为芭，x2,...»x“且a”_[=-l,a]=-na,/=a，

X1+x2+••-+=1

由题意可知：-XjX2•.•XH+X)...XH_,Xn4-...+X2Xy...xn=(-1)1(一〃%),

、%占…X”=(T)"a

因为X[+占+…+X"=1，且X，X2»...»儿均为正数，

皿111/、/1।、

则—++•••H----=(X|+X2+,•，+-%)(-----H+•••+)

玉占X1t玉X2X.

当且仅当工='=…=L=L时，等号成立,

王SX”〃

又因为内“2••”10-1+内-+…+=2*3…X”_[]।।]_(~~1)(