2025高考假期提升专项练习数学压轴训练14含答案及解析

2025年高考数学压轴训练14

一.选择题（共16小题）

I.（2023•东城区校级模拟〉在空间宜角坐标系。-八a中.正四面体的顶点A,8分别在x轴，y

轴上移动.若该正四面体的棱长是2,则|OP|的取值范围是（）

A.[百一1,6+1]B.[1,3]C.fx/3-l,2]D.[1,G+1]

2.（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为3,点M,N是它内切球球面上的两点，P为正四面体表

面上的动点，当线段MN最长时，的最大值为（）

95

A.2B.-C.3D.-

42

3.（2024•金安区校级模拟）正四面体/WC。棱长为6,AP=xAB+yAC+zAD,且x+y+z=l,以A为

球心且半径为1的球面上有两点M,N,MA=AN,则+的最小值为（）

A.24B.25C.48D.50

4.（2024•浦东新区校级模拟）设A,4.........4是空间中给定的〃个不同的点，则使之（丽;）=0成立

;=|

的点”的个数为（）

A.1B.n

C.无穷多个D.前面的说法都有可能

5.（2024•皇姑区校级模拟）三核锥尸-A8C所有楼长都等于2,动点M在三棱锥尸-A6C的外接球上，

旦4力-6而=0,|尸团的最人值为$,最小值为/,则s:/=（）

A.2B.y/2C.x/3D.3

6.（2024•赣州模拟）已知球O内切于正四棱锥P-ABC。，PA=AB=2,“'是球O的一条直径，点Q为

正四棱锥表面上的点，则QE・Q尸的取值范围为（）

A.[0,2]B.[4-26,2]C.[0,4-aD.[0,4-2>/3]

7.（2024•重庆模拟）已知空间三点4（），2,3）,B（-2,I,6）,C（1,-1,5）,则以AB、AC为邻边

的平行四边形的面积为（）

A.7B.7x/3C.V14D.—

2

8.（2024•南充模拟）已知正方形八46的边长为1,则|A*+BC-CA1=（）

A.0B.&C.2D.272

9.（2023•江西模拟）已知点?在棱长为2的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则

刀的最小值为（）

A.—2B.—3C.—1D.0

10.（2023•德阳模拟）已知7,7,/表示共面的三个单位向量，Z1J,那么（『+E）-（j+q的取值范围

是（）

A.[-3,3]B.[-2,2]C.[V2-1,也+1]D.[1-V2,1+&]

11.（2024•朝阳区一模）在棱长为1的正方体ABC。-A4G。中，E,F,G分别为棱AA,,BC,CC,

的卡点，动点”在平面EFG内，且。"=1.则下列说法正确的是（）

A.存在点〃，使得直线OH与直线FG相交

B.存在点H,使得直线D〃_L平面£PG

C.直线耳”与平面曰P所成角的大小为（

D.平面aG被正方体所截得的截面面积为短

2

12.（2024•安庆二模）如图，在长方体ABCO-ABCR中，AB=2AD=2AA1,点E是棱4?上任意一点

（端点除外），贝M）

B.空间中与三条直线AR，EC,8修都相交的直线有且只有I条

C.过点石与平面RAE和平面D4EC所成角都等于工的直线有且只有1条

8

D.过点E与三条棱AB,AD,你所成的角都相等的直线有且只有4条

13.（2024•金东区校级模拟）已知矩形ABC£＞，AB=\,BC=6沿对角线AC将△ABC折起，若二面

角5—AC—。的余弦值为-，，则Z?与。之间距离为（）

3

A.IB.x/2C.GD.—

2

14.（2024•东西湖区校级模拟）如图所示是一个以为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4,F为线

段AS的中点，其中C,D,E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该

半国围成一个以S为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（）

B.SA_L平面CE/

C.SD//平面CEFD.点。到平面CEF的距离为2G

15.（2024•衡阳县校级模拟）已知在平行四边形AVBC中，V4=VB=2且NAVB=60°,把三角形沿

对角线旗折叠，使得代=|,得到三棱锥V-ABC，如图所示，则卜.列说法中正确是（I

B.直线与直线VC不垂直

C.直线VC与平面ABC所成角的正弦值等于史

6

D.二棱锥V-ABC外接球的表面枳为色）

II

16.（2024•建邺区校级模拟）在长方体/WC£）-A4GQ中，A4,=3,/W=4）=4,则异面直线AB与

的距离为（）

A.-B.—C.&D.2夜

55

二,多选题（共3小题）

17.（2024•朝阳区校级模拟）已知正方体ABCD—ABCR边长为2,动点M满足

AM=xAB+yAD+zA\（x..0,y..0,z..0）,则下列说法正确的是（）

A.当x=y=I,z=g时，则直线AM_L平面耳8。

B.当工=工,2=0,），£［0』］时，SM+MO的最小值为

4

C.当x+），=l,Z€［O,1］时，AM的取值范围为［&,2夜］

D.当x+>，+z=l,且4例=4叵时，则点”的轨迹长度为逋万

“33

18.（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是（）

A.对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若O户=xa4+），OA+zOC.,其中X,y,zwR且

x-），+z=l,则P,A,B,C四点共面

B.已知4=（1,-1）,b=（d,\）,不与。•的夹角为钝角，则d的取值范围是d<l

c.若cE共线，Wa\-\b\=ia+b\

D.若/；共线，则一定存在实数％使得方=而

19.（2023•蕉城区校级模拟）已知空间单位向量而，PB,PC两两夹角均为60。，PA=2PE,BC=2BF,

则下列说法中正确的是（）

A.P、A、B、C四点可以共面B.PA（BC+AC）=--

2

C.\EF\=^-D.cos<AF,CP>=^

三,填空题（共4小题）

20.（2024•海珠区校级模拟）在空间直角坐标系中，定义点4占，y,zj和点仇巧，力，z?）两点之间

的"直角距离"d（A,B）■再-电I+1）1-）‘21+1ZI-z?I.若A和3两点之间的距离是下>,则A和B两点之

间的“直角距离”的取值范围是—.

21,（2024•广州模拟）已知A,M,N是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则而•丽的取值范围

是—.

22.（2024•中山市校级模拟）已知正四面体人-AC。的棱长为2,若球。与正四面体的每一条棱都相切，

点尸为球面上的动点，且点尸在正四面体面A8的外部（含正四面体面AC。表面）运动，则从•尸月的

取值范围为

23.（2024•拉萨一模）已知x,ywR,空间向量力=（21,x）,5=（4,y,-1）.若〃//5，则2x+j=.

四.解答题（共2小题）

24.（2024•安徽模拟）一般地，〃元有序实数对（q,%,…，4）称为〃维向量.对于两个〃维向量&=（q,

a2...,an）,b=（/?（,b?,…b"）,定义两向量的数量积为d=£〃也，向量力的模Id|=Ja…片,

/=1

且|@-而I取最小值时，/称为a在日上的投影向量.

（1）求证：.在。上的投影向量为《4f%,+…+*1；；

么+么+…+年

（2）某公司招聘时对应聘者的语言表达能力（四）、逻辑推理能力（⑸）、动手操作能力（四）进行测评，每

门总分均为io分，测评结果记为一个三维向量£=（片，人，四）而不同岗位对于各个能力需求的比重各

不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量”日=（4,6）（4—0,〃工0）将A在日上

的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”.其中四个岗位的“能力需求向量”如下：

岗位能力需求向量

会计

a}=(1,2>2)

技工a=(1,2,3)

推销员切=(4,2.0)

售后维修员&=(2,193)

（I）应聘者小明的测评结果为,8=（6,7,8）,试分析小明最适合哪个岗位.

（II）已知小红在会计、技工和某岗位A的适合度分别为团w3（/zz.>0,z=l,2,3）.若能根据

这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位A的“能力需求向量”能作为空间中的一组

基底.

25.（2022•湖北模拟）如图所示，在四棱锥--AbC。中，底面A3CD为正方形，Q4_L底面A3C。，PA=AB,

E,〃分别为线段相，4c上的动点.

（I）若石为线段距的中点，证明：平面板J_平面PAC；

（2）若BE=6BF，且平面AEF与平面PAC所成角的余弦值为立，试确定点”的位置.

14

2025年高考数学压轴训练14

参考答案与试题解析

一.选择题（共16小题）

I.（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系中.正四面体P-ABC的顶点A,8分别在x轴，y

轴上移动.若该正四面体的棱长是2,则IO尸|的取值范围是（）

A.[75-1,6+1]B.[1,3]C.[6-1,21D.[1,G+1]

【答案】A

【考点】空间中的点的坐标

【专•题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离

【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体P-A4C的位置，则原点O在以A8为直径的球面

上运动，

原点。到点P的最近距离等于PM减去球的半径，最大距离是PM加上球的半径.

【解答】解：

如经所示，若固定正四面体2-他。的位置，则原点O在以为直径的球面上运动，

设人4的中点为M,则QM=j2二一产二石:

所以原点O到点尸的最近距离等于减去球M的半径，

最大距离是PM加上球M的半径；

所以G-1领I|OP|石+1,

即|OP|的取值范围是[6-1,6+1].

【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题,

是淙合题.

2.（2024•南湖区校级一模）正匹面体的棱长为3,点V,/V是它内切球球面上的两点，〃为正四面体表

面上的动点，当线段MN最长时，的最大值为()

95

A.2B.-C.3D.-

42

【答案】C

【考点】空间向量的数量积运算

【专题】计算题；转化思想；数学运算：综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；球

【分析】设四面体的内切球球心为O,G为ABCZ)的中心，石为CD的中点，连接AG,BE,则O

在AG上，连接笈。，根据题意求出内切球的半径，当MN为内切球的直径时，MN最长，再化他

产点.PN=(PO+OM)(PO+ON)可求得其最大值.

【蟀答】解：设正四面体A8CD的内切球球心为O,G为ABCO的中心，石为CZ)的中点，连接AG,BE,

则O在AG上，连接80,则AO=3O.

因为正四面体的棱长为3,所以BG=2B石=2x3x3=75,

332

所以AG={AB'-BG'=5^=屈,设内切球的半径为/•,

则(4G-r)2=/+8G2,(V6-r)2=r2+V32,解得厂=巫，

4

当MN为内切球的直径时MN最长，此时OA/+OM=0,OMON=-(^-)2=~-,

PMPN=(PO+OM)[P6+ON)

7)3

=PO+PO(OM+ON)+OMON=PO-

因为P为正四面体表面上的动点，所以当P为正四体的顶点时，I的I最长，I附I的最大值为

瓜_旦=巫,所以和/.而的最大值为(娅)2一3=3.

4448

故选：C.

【点评】本题考查的知识要点：锥体和球体的关系，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中

档题.

3.(2024•金安区校级模拟)正匹面体/WC/)棱长为6,AP=xAB+yAC+zAD,1=1.x+31+z=1,以A为

球心且半径为1的球面上有两点M,N,MA=AN,则尸A/QP//的最小值为（）

A.24B.25C.48D.50

【答案】D

【考点】空间向量及其线性运算；点、线、面间的距离计算

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑挂理；数学运算

【分析】先由==力=36,再由MAMA",推出|4A/|=|4M=1,PM=PA+AM,

PN=PA+AZ,再由向量的数量积的计算公式得到PA/+丽2=74-72（.q+”+xz）,结合基本不等式,

即可求解结果.

【解答】解：法一：因为正四面体ABCZ）的校长为6,

所以前•/=|丽||前jcos60o=36,

同理可得ABAD=\AB||AD|cos600=36,AC-AD=|AC||-401^60°=36,

又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M,N,MA=AN,

所以I人力|二|府|=1,

由AP=xAB+yAC+zAD,

则PM2+PN=(PA+AM)2+(PA+/W)2,

=PA+2PAAM+AM'+PA'+2PA-AN+AN',

=2(xAB+yAC+zAD)1+2,

=2(x2AB+VAC+z2AD+2vMB.AC+2yzADAC+IxzAB-AD)+2,

=2(36x2+36)3+36z2+36孙+36yz+36xz)+2,

=74-12{xy+yz+xz),

因为x+y+z=1,所以1=d+＞；+z?+2xy+2yz+2xz..3cxy+A+xz),

当且仅当x=y=z=2取等号,

3

此时xy+yz+xz,,

所以nV?+尸&2.74-24=50.

故PM，+PN*的最小值为50.

法二：由于x+），+z=l,所以点尸在平面BCD内，

所以0面：+PM?=（PA+AM）2+（PA+AN）2=2PA+2PA-（4V/+AN）+AM1+W，

由于M4=AN,所以4M+AN=6,

由于A=l,所以|AA/|=|4"|=1,

当点〃为点A在平面BCD内的射影时，|即|最小，

由于棱长为6,

所以BP=2X立X6=2N/5,A8=6,

32

AP2=AB2-BP2=36-12=24,

所以尸面’+*..2x24+2=50.

故选：O.

【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能

力，属于中档题.

4.（2024•浦东新区校级模拟）设A-A2........4是空间中给定的〃个不同的点，则使之（，丽）=0成立

;=|

的点M的个数为（）

A.1B.n

C.无穷多个D.前面的说法都有可能

【答案】A

【考点】空间向量及其线性运算

【专题】综合法；平面向量及应用；对应思想；数学运算

【分析】设出点的坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点"的坐标，得到答案.

【解答】解：设4（而，y,4），M（x,y,z）,

由力（iMA；）=0得力—x,-y,zj-z）=6,

1=1/=1

所以力出而-x）=0,汽i（y,-y）=0,£i（z「z）=0,

r=li=li=i

to;力之

所以x=±l—,y=臼一,z=3一,

nnn

所以满足条件的点用的个数为1个.

故选：A.

【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于中档题.

5.（2024•皇姑区校级模拟）三楂锥尸-45C所有楼长都等于2,动点M在三棱锥Q-/WC的外接球上,

且人忆8府=0,|「庙|的最大值为S,最小值为/,则s：”（）

A.2B.V2C.GD.3

【答案】C

【考点】空间向量的数量积运算

【专题】空间向量及应用；转化思想；计算题；数学运算；综合法

【分析】根据题意确定M点的轨迹，结合余弦定理求|史财|的取值范围.

【解答】解：如图：

过尸作?"J_平面A8C于”，则正四面体的外接球球心（也是内切球球心）在线段?”上，没为O,

设内切球半径为，，外接球半径为A.则A”=2.2.sin60。=2，

____33

PH=R=哈而呼一叫苧』「

所以R=Q4=OP=逅，

2

r=OH=—.因为M在尸-ABC的外接球上，且4M，BA/=0,

6

所以M在以AB为直径的球面上，

取中点为E,则M在圆E上，圆石所在的平面与。石垂直.

在"OE中,0尸二逅，

2

OE=y/OA2-AE2

PE=M,

过。作OGJ.PE于G,则G为正M43的中心，且OG=OH=r,

旦

所以在RtAOEG中，NOGE=90。，所以5皿/尸£：。=变=车=立.

OE丘3

T

设NPEM=c（,则当点尸，O,E,"共面时，a取得最值，即NPO磁hTT-ZPOE,

所以-且融osa近，

33

在“而中，由余弦定理：PM2=EP-+EM2-2EP-EM-coscr=4-2x/3cosa.

所以2领PM?6,

所以s=>/6,/=叵,

S:z=V3.

故选：C.

【点评】本题主要考查空间直线与平面位置关系的判断及其应用等知识，属于中档题.

6.（2024•赣州模拟）已知球O内切于正四棱锥P-ABCZ）,PA=AB=2,EF是球O的一条直径，点Q为

正四棱锥表面上的点，则。后,Q/7'的取值范围为（）

A.10,21B.[4-2>/3,2]C.[0,4-x/3]D.[0,4-2@

【答案】A

【考点】空间向量的数量积运算

【专题】数学运尊；综合法；空间位置关系与距离；转化思想；计算题；逻辑推理；平面向量及应用

【分析】根据给定条件，利用体枳法求出球O半径，再利用向量数量积的运算律计算即得.

【解答】解：令”是正四楂锥P-/WCO底面正方形中心，则物，平面A8CQ,而AH=6,

则尸"=」抬2-4"2=&,正四棱锥夕一A4C/)的体积V=1X22X&=±2,

33

正四棱锥P-ABCD的表面积S=4x@x2?+2?,

4

显然球O的球心O在线段尸〃上，设球半径为，则即「里=瓜-叵,

3S2

在APQ4中，Z/>4O<45°=ZAPO,于是O4>OP,又所是球O的一条直径，

因比Q^Q尸=Q3-O//,

222

显然O”领DOAO,则(。巨QQ.=0，(QE-QF)tnax=AO-OH=AH=2f

所以QEQ户的取值范围为[0,2].

故选:A.

【点评】本题考查的知以点：正四棱锥的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

7.(2024•重庆模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以AB、AC为邻边

的平行四边形的面积为()

A.7B.7x/3C.Vl4D.—

2

【答案】B

【考点】空间向量的共线与共面

【专题】转化思想；逻辑推理；计算题；数学运算；解三角形；三角函数的求值；综合法

【分析】利用向量求出两向量夹角的余弦值，确定夹角的度数，利用正弦定理求出SMM，即可求出平行四

边形面积为2SM8一

【解答】解：因为40,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5),

所以4月=(-2,—1,3),AC=(l,-3.2),

所以|而|=9，|AC|=V14,

ABAC-2xl+(-l)x(-3)+2x31

所以cos/8AC=

\~AB\\AC\X/T4-V142

所以Nfi4C=60°,

平行四边形面积为2sA咏，在A48C中由正弦定理有：S^HC=-\AB\\AC\^n^BAC,设平行四边形的

面积为S,

所以S=45・疝160。=76.

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，三角形的面积公式，主要考查学生的

理解能力和计算能力，属于中档题.

8.（2024•南充模拟）已知正方形A3CD的边长为1,则|/VUBC-CA|=（）

A.0B.x/2C.2D.2x/2

【答案】D

【考点】空间向量的数量积运算

【专题】综合法；平面向量及应用：计算题；转化思想；逻辑推理；数学运算

【分析】直接利用向量的线性运尊和向量的模求出结果.

【解答】解：正方形ABCD的边长为1,所以正方形的对角线长为3，

AB+BC-CA=AC-CA=2AC,

故|A8+BC-G4|=2|A€j=2>/2.

故选：D.

【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于

中档题.

9.（2023•江西模拟）已知点?在棱长为2的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则

雨•丽的最小值为（）

A.-2B.-3C.-1D.0

【答案】A

【考点】空间向量的数量积运算

【专•题】综合法；逻辑推理；数学运算；计算题；转化思想；空间向量及应用；球

【分析】首先利用球和正方体的关系求出正方体的外接球的直径，进一步利用向量的线性运算和数量积运

算求出结果.

【解答】解：由题意知：正方体的外接球的球心为O，

正方体的外接球的直径AB=6+22+22=,

则O为■的中点，

所以。印=-。后，

且I1=|g=6

^PAPB=(0A-0P)(0B-0P)=0A0B-(0A+0B)0P+0P=0P-3,

_2

由于|O户=1,

所以方.PB的最小值1-3=-2.

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：正方体和球的关系，向量的线性运算，向量的数量积，主要考查学生的理

解能力和计算能力，属于中档题却易错题.

10.(2023•德阳模拟)已知：，J,2表示共面的三个单位向量，那么G+E)・(j+E)的取值范围

是()

A.[-3,3]B.[-2,2]C.[V2-1,&+1]D.[1-42,1+72]

【答案】。

【考点】空间向量单位正交基底及其表示空间向量

【专题】计算题；平面向量及应用

【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0,及向量模的公式，和向量数量积的定义，结合余弦函数的值

域，即可计算得到.

【解答】解：由f_L/，则7•了=0,

又7，j为单位向量,则i7+，i=Jr2+v+2r.了=3.

则(7+2)-(j+E)=:j+(，+/)/+^

=(7+/)•R+1=|f+j|cos<f+j,k>+1=>/2cos<f+/,^>+1,

由一1领上os<f+/,1>1,

则(7+E)-(7+E)的取值范围是[1-3,1+&].

故选：D.

【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量及直的条件，考杳余弦函数的值域，考查运

算能力，属于中档题.

II.(2024•朝阳区一模)在棱长为1的正方体ABC。-ABCA中，E,F,G分别为棱BC,CC1

的中点，动点”在平面EAG内，且。，=1.则下列说法正确的是()

A.存在点〃，使得直线。，与直线尸G相交

B.存在点“，使得直线O〃_L平面EFG

C.直线用“与平面石FG所成角的大小为巴

D.平面EFG被正方体所截得的截面面积为主叵

2

【答案】C

【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角

【专题】立体几何；综合法；数学运算；整体思想

【分析】取尸G的3点连接ZW,可求得|。仞|=逑＞1,可知不存在点H,使得直线与直绞尸G

4

相交，进而可判断A,以。为坐标原点，分别以A4,DC,DD.所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间

直角坐标系，利用空间向量知识可判断C。，根据正方体的结构特征可判断。.

【解答】解：连接OF,DG,所以|。r|=|OG|=走,|FG|=立，取FG的中点连接。M,

22

2/?

所以点。到线段尸G的最短距离大于1,所以不存在点H，使得直线。，与直线FG相

4

交，

故A不正确；

以。为坐标原点，分别以八4,DC,DD、所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则E(l,0,)，F(-,L0),G(0,l,-),0(0,0,0),

222

所以而=(」」,」，EG=(T1,0),海=(1,0」),

222

设平面EFG的法向量为"=(x,)，，z),

所以巴"=。,即卜*y-%°,

,九=。［r+)，=0

令x=l,贝ijy=l,z=l»所以"=(1,1,1),

所以点O到平面E"G的距离为匹史=3=立＜1,而。"=1,所以不存在点”，使得直线O〃_L平

I乃I2V32

面EAG,故“不正确；

因为。耳=(1,1,1),所以。耳_L平面加'G,连接。4交EG于点0,所以O为。耳的中点，DO=BQ=§,

所以NB1H0为直线与平面日七所成角，

因为。"=1,在RtAODH中，sinZDHO=—=—,

DH2

所以NQ〃0=工，因为&Z\OB内与RtAODH全等，所以NB】HO=NDHO=%,故C正确；

33

延长GF交的延长线于N,连接EN交AB于P,连接PF，取Dg的中点K,RA的中点J,连接KG,

EJ,KJ,

则KG//EP,EJ//GF,KJ//PF,平面E/G被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为立，

2

所以截面面积为6xL也x"=迫，故。不正确.

2244

【点评】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，以及求直线与平面所成的角，考查了正力体的结构

特征，属于中档题.

12.（2024•安庆二模）如图，在长方体ABCO-AgGR中，AB=2AD=2AA,,点石是棱至上任意一点

（端点除外卜则（）

B.空间中与三条直线A。，EC，4%都相交的直线有且只有1条

C.过点E与平面QAE和平面D4EC所成角都等于（的直线有且只有1条

D.过点E与三条棱A3,AD,朋所成的角都相等的直线有且只有4条

【答案】D

【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角

【专题】逻辑推理：数形结合；综合法；立体几何

【分析】当后为的中点时判断人；作图判断4；利用角平分面的特征判断C：建立空间直角坐标系,

分析判断。.

【解答】解：对于4,当E为的中点时，连接Z）E,则==即有EC_LD£,

而。RJL平面A8CD,ECu平面A8CD,则ECJ.DR,

又。耳［。。=。，DE,ORu平面。RE,因此EC_L平面。而REU平面。RE,则ECJLRE,

故A错误；

对于8,连接8。，BR,BBJiCCJIDD\,平面BORe与直线EC交于K,点K在线段80上，不含端

点，

则直线RK与直线网相交，同理直线4〃与直线网相交,因此直线D、K、4E分别与三条直线4,0,,EC,

都相交，故8错误；

对于C,/^_1_平面丹。24，而4〃u平面AORA，则43_LAO|,又A«_LAD,于是ND4q是二面角

。一月£一。的平面角，且NZ）A4=匹，

显然ZDAD,的平分线与平面.AE和平面/M反?所成角都等于-,过点E与此直线平行的直线符合要求,

这样的直线只有1条；

半平面。①后与半平面/M£C的反向延长面所成二面角的角平分面与平面。m后和平面DAEC所成角都等

工34

于一，

8

在比角平分面内过点E与平面RAE和平面DAEC所成角都等于工的直线有2条,

8

因出过点花与平面和平而OAW所成角都等干工的直线有3条，故C错误：

18

对于。，建立如图所示的空间直角坐标系，

直线AB,AD,例的方向向量分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),

设过点E•的直线/方向向量为g=(x,y,z),由直线/分别与直线回，AD,44,所成角都相等，

得/川:/川=,口，于是|x|=|y|=|z|,

+y-+z'W+y~+z~y]x~+y+z~

不妨令|x|二l，有。=(1，1,1)或〃=(—l,1,1)或〃=(1,-1,1)或〃=(1,1,-1),

显然使得|x|=ly|=|z|=l成立的向量。有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，

所以过点七与三条棱AB,AD,A4,所成的角都相等的直线有且只有4条，故。正确.

故选：。.

【点评】本题考查空间中点、直线、平面的位置关系，直线与平面所成角，属于中档题.

13.（2024•金东区校级模拟）已知矩形ABC。，AB=\,BC=6沿对角线AC将△ABC折起，若二面

角4-AC—。的余弦值为-'，则〃与。之间距离为（）

3

A.1B.V2C.y/3D.—

2

【答案】C

【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角

【专题】转化思想：向量法；转化法；空间位置关系与距离；数学运算

【分析】过力和。分别作AE_L人C，。产J_AC，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即

可.

【解答】解：过8和。分别作BEJ.AC,。尸JLAC,

•.2=1,BC=6

：.AC=2,

•••-ABBC=-ACBE,

22

...BE=DF=—，

2

则4E=C尸=1,EPEF=2-\=\,

2

•.•二面角A-AC-/）的余弦值为-』，

3

/.cos<EB,FD>=--,

3

,/BD=BE+EF+FD,

BD=（I3E+EF+FD）2=B^+EF2+FD+2BEEF+2FDHE+2EFFD=-+\+--2\EB\\Fb\con<EB，

44

初＞/_2x旦旦（」）占上3

222322

则方|=J5,

即“与。之间距离为由,

故选：C.

【点评】本题主要考查空间两点间距离的计算，利用向量数量积与长度之间的关系进行转化求解是解决本

题的关键，是中档题.

14.（2024•东西湖区校级模拟）如图所示是一个以/W为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4,F为线

段AS的中点，具中C,。，石是半圆圆周上的二个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该

半圆围成一个以S为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（）

B.SA上平面CEF

C.S。//平面CMD.点。到平面C£E的距离为

【答案】C

【考点】点、线、面间的距离计算；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积

【专题】数学运算；转化思想；综合法；立体几何

【分析】对于A，作出图形，结合已知数据容易判断；对于3,假设SA_L平面CE/L推出矛盾即可判断；

对于C,由线面平行的判定可以判断；对于。，点。到直线R）的距离即为。到平面。律的距离，由此

容易判断选项.

【解答】解：选项A,该半圆围成的圆锥，如图所示，

s

设圆锥底面半径为r,则2犷二4产，

.,.r=2»

,-.CE=4,

・・,/为4s的中点，O为AS的中点，

.\FO//SD,RFO=2=-CE,

2

二.NC庄=90。，△（?律为等腰直角三角形，选项A错误；

选项3,若SXJ■平面。砂，则NAAO=90。，直角ACE/中，AO=OF=AF=2,

.•.乙4回0=60。，选项5错误；

选项C,\FOHSD,EOu平面C£7"S。仁平面CM,

;.SD//平面CEF,选项C正确；

选项。，\'CE-LAD,CELSO,

.•.CE_L平面SA。，

平面C£『_L平面SAO,

D到直线尸。的距离即为D到平面CEF的距离，

又•：F。/ISD，

二.D到宜线和的距离等于O到直线SO的距离，为百，选项0错误.

故选：C.

【点评】本题考查线面垂直，线面平行以及点到平面的距离计算，考查空间想象能力以及运算求解能力，

属于中档题.

15.（2024•衡阳县校级模拟）已知在平行四边形AVSC中，g=VB=2且NAVB=60°,把三角形必18沿

对角线折叠，使得VC=I,得到三棱锥V-ABC，如图所示，则下列说法中正确是（।

V

A.点V到平面ABC的距离为遮

3

B.直线AB与直线VC不垂直

C.直线MC与平面ABC所成角的正弦值等于£

D.三棱锥V-ABC外接球的表面积为竺万

H

【答案】。

【考点】直线与平面所成的角

【专题】综合法；数学运算；转化思想；空间位置关系与距离；直观想象；空间角

【分析】利用空间向量的数量积判断A的正误；利用面积法判断A的正误；通过数量积的求夹角，判断C

的正误；求解球的半径，然后求解表面积，判断。的正误.

【解答】解：由题意知四边形川方。为菱形，△%小△C44为正三角形，如图所示，

取的中点连接CM,则CMJ_A8①，过M点做也fe平面A8C,

建立如图所示的空间直角坐标系，连接VM,则从(-1,0,0),4(1,0,0),C(0,V3,0),

MH=ylVM2-VH2=.I3--=—

在直角△中,

V366

则4月=(2,0,0),VC=ABVC=0,则4分_1_/，BPABA.VC,故“错:

•.•必=VB=2,.•.VMJ.A6②，由勾股定理得CA/=M”=J5,

则A(-l,0,0),8(1,0,0),C(0,5/3,0),

在平面VCM内，过V点做U"_LMC,由①②知AB_L平面VOW,:.VH±AB,

又4咐。知=加，则17/_L平面人AC,即切为点V到平面ABC的距离，取VC的中点石，连接ME,

•・•△KVQ为等腰三角形，ME=y/MC2-CE2=

则VH=VCME=—,故A错;

22MC6

,”=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，设直线VC与平面48c所成角为

后

KOsin=|cos<//,VC>|=|,6|=—,故C错;

336

36

•/.4(-1,0,0),8(1,0,0),C(0,石,0),V(0,—,—),

设三棱锥外接球的球心为0(尤，y,Z),则|Q4|=|OB|,

由空间两点间距离公式可得

7(.r+l)2+(y-O)2+(z-O)2=7(^-l)2+(y-O)2+(z-O)2,整理得V+2x+l—2x+