★命题域聚焦　结构递归探究规律

第一部分

知识梳理课程重构

第一章数与式本章知识导图★命题域聚焦结构递归，探究规律

规律探究类试题是根据题干中提供的特例，通过观察类比、归纳猜测、验证推理等思维过程，来解决具有规律性的一类数学探究题.这类试题主要有两大类，一类是数式规律型问题，另一类是图形规律型问题.解决规律探究类试题对应的基本策略一般有列举归纳法、观察归纳法和数形结合分析法.

多年来，各地中考都非常重视对这种题型的考查，安徽中考数学更是如此，几乎每年都有这类试题，如2025年的第14题和第21题、2024年第18题、2023年第18题、2022年第18题、2021年第18题等，分析近几年这类试题的变化规律，可以发现数式规律类考查难度较小，图形规律类考查难度较大，因此要掌握相应的做题方法.

解答此类问题的一般步骤是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论.

(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n(n为正

整数，n＞1)表示的等式：

；

数式规律探究问题是给定一些代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律.解答此类问题，关键要抓住两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出等式中的“变”的每一个数与序数n之间的关系.针对训练

(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明.

3.[2025·合肥包河区一模]观察下列等式：第1个等式：(1×2)2－1×3×(1－1)＝2×1×2；第2个等式：(2×3)2－2×4×(4－1)＝2×2×3；第3个等式：(3×4)2－3×5×(9－1)＝2×3×4；第4个等式：(4×5)2－4×6×(16－1)＝2×4×5；……根据上面等式的规律，回答下列问题：(1)写出第6个等式：

；

(6×7)2－6×8×(36－1)＝2×6×7(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明.解：(2)第n个等式为[n(n＋1)]2－n(n＋2)(n2－1)＝2n(n＋1).证明：左边＝[n(n＋1)]2－n(n＋2)(n2－1)＝n2(n＋1)2－n(n＋2)(n＋1)(n－1)＝(n＋1)[n2(n＋1)－n(n＋2)(n－1)]＝(n＋1)(n3＋n2－n3－n2＋2n)＝2n(n＋1)＝右边，∴等式成立.4.在数学活动课中，某兴趣小组研究一种完全平方式，写出了下列几组等式.第1个等式：12＋12×22＋22＝(1×2＋1)2；第2个等式：22＋22×32＋32＝(2×3＋1)2；第3个等式：32＋32×42＋42＝(3×4＋1)2；……(1)根据上述等式规律，(ⅰ)第4个等式：42＋42×52＋52＝(

×

＋1)2；

(ⅱ)第n个等式：

；(用含n的代数式表示)

n2＋n2(n＋1)2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2

5

4

(2)小组成员小明和小华进一步探索上述规律：

小明同学猜想a2＋a2b2＋b2＝(ab＋b－a)2，其中a，b为正整数.小华同学提出反对意见，并通过如下计算进行了证明：(ab＋b－a)2＝a2＋a2b2＋b2－2ab(

)，

∴a2＋a2b2＋b2不一定等于(ab＋b－a)2.请你补全①中所缺内容，并写出当小明同学猜想成立时，a，b需要满足的数量关系.解：(2)1＋a－b.当小明同学猜想成立时，a，b需要满足a－b＝－1.①

类型2

图形规律例2

[2025·合肥瑶海区校级二模]如图，每个正方形由边长为1的小正方形组成.(1)观察图形，请填写下列表格：

正方形边长1357…n(奇数)黑色小正方形个数…正方形边长2468…n(偶数)黑色小正方形个数…159132n－14812162n(2)在边长为n(n≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2＝5P1?若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】(2)由(1)可知n为偶数时P1＝2n，白色与黑色的总数为n2，∴P2＝n2－2n，根据题意假设存在，则n2－2n＝5×2n，解得n＝12，n＝0(不符合题意，舍去).答：存在偶数n＝12，使得P2＝5P1.

图形类规律探究题通常以探索物体的个数和确定图形数量为主要内容出现.解答这类问题的关键是利用数形结合的方法，通过观察图形的组成、图形的排列方式，分析得到图形的组成特征和图形的变换规律，进而用相应的算式描述其中的规律来解决问题.1.[2024·四川攀枝花]如图，这是由棱长为1的小正方体堆积成的图形.若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放

块小正方体.针对训练

36

2.[2024·四川凉山州]阅读下面材料，并解决相关问题：如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为

，前15行的点数之和为

，那么，前n行的点数之和为

；

36120

(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和

(填“能”或“不能”)为500；

(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，……，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排?解：(3)由题知前n排盆景的总数可表示为n(n＋1).令n(n＋1)＝420，解得n1＝－21(舍去)，n2＝20，∴一共能摆放20排.不能3.[2025·合肥瑶海区三模]小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：

(2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数.

4.[2025·合肥庐阳区模拟]观察下列图形与等式的关系：

根据图形及等式的关系，解决下列问题：(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是

，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：

；

(2)用含n