命题域聚焦　通晓图形变换精解全等相似

第一部分知识梳理课程重构

命题域聚焦本章知识导图通晓图形变换，精解全等相似类型1

中点相关的线段问题

1.利用中点构造倍长中线、类倍长中线例1

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E是线段CA延长线上的一个动点，连接DE.过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF.求证：AE2＋BF2＝EF2.

∴AE＝BM，∠AED＝∠BMD，∴AE∥BM，∴∠FBM＝∠ACB＝90°.∵DF⊥DE，DE＝DM，易得EF＝MF.在Rt△BMF中，BM2＋BF2＝MF2，∴AE2＋BF2＝EF2.归纳总结

描述图示结论在△ABC中，D是BC的中点，连接AD，则AD是△ABC的中线.方法1：延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE.方法2：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E.

△ABD≌△ECD描述图示结论在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上的一点.方法1：延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF.方法2：过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F.

△EBD≌△FCD

归纳总结

描述图示结论在△ABC中，D是AB的中点.方法：取AC的中点E，连接DE，则DE是△ABC的中位线.

DE∥BC；DE＝BC；△ADE∽△ABC在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.方法：连接DE，则DE是△ABC的中位线.

3.在等腰三角形中构造“三线合一”例3

如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N.求MN的长.

归纳总结

描述图示结论在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点.方法：连接AD.

AD⊥BC；AD平分∠BAC4.在直角三角形中构造斜边上的中线

归纳总结

描述图示结论在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点.方法：连接CD.

CD＝AB；AD＝BD＝CD；点C在以点D为圆心，AB为直径的圆上1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F.若AB＝9，CD＝4，则AD的长为(

)A.11B.12C.13D.14C第1题图

针对训练

2.5

第2题图

解：延长BC，AF交于点M.在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD，BE＝EC＝CF＝DF，AD∥BC，∠D＝∠FCM，∠B＝∠D，

4.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以AC为斜边作Rt△APC，连接PD.

(2)当点P在△ABC的外部时，如图2、图3，线段AP，CP，DP之间又有怎样的数量关系?请直接写出猜想，不需要证明.

解：(1)连接CD，交AP于点F，过点D作DE⊥PD交AP于点E.∵△ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，∴CD⊥AB，AD＝CD.∵∠APC＝90°，∴∠FCP＋∠CFP＝90°.又∵∠CFP＝∠AFD，∠AFD＋∠DAF＝90°，

(2)当点P在△ABC的外部时，如图2、图3，线段AP，CP，DP之间又有怎样的数量关系?请直接写出猜想，不需要证明.

类型2

角平分线相关的问题1.构造轴对称图形例5

如图，在四边形ABCD中，AB＝14，CD＝8，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，求BC的长.【参考答案】过点D作DE⊥AB于点E.易证△BCD≌△BED(AAS)，∴DE＝CD＝8，BC＝BE.∵∠BAD＝45°，DE⊥AB，∴AE＝DE＝8，∴BE＝AB－AE＝6，∴BC＝BE＝6.归纳总结

描述图示结论已知射线OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA于点C.方法：过点P作PD⊥OB于点D.

△OCP≌△ODP；PC＝PD；OC＝OD描述图示结论已知射线OP是∠AOB的平分线，CP⊥OP于点P.方法：延长CP交OB于点D.

△OCP≌△ODP；PC＝PD，OC＝OD；∠OCD＝∠ODC描述图示结论已知射线OP是∠AOB的平分线，C是OA上一点，连接CP.方法：在OB上取一点D，使OD＝OC，连接PD.

△OCP≌△ODP；PC＝PD；∠OCP＝∠ODP；∠OPC＝∠OPD2.利用“角平分线、平行线、等腰三角形”知二得一

例6

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H.(1)求证：△APF是等腰三角形；(2)猜想AB与PC的大小有什么关系?证明你的猜想.【参考答案】(1)如图，∵EF∥AD，∴∠1＝∠4，∠2＝∠P.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠P，∴AF＝AP，即△APF是等腰三角形.(2)猜想AB与PC的大小有什么关系?证明你的猜想.

(2)AB＝PC.∵CH∥AB，∴∠5＝∠B，∠H＝∠1.∵EF∥AD，∴∠1＝∠3，∴∠H＝∠3.∵BE＝CD，∴△BEF≌△CDH(AAS)，∴BF＝CH.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠H，∴AC＝CH，∴AC＝BF.∵AB＝AF＋BF，PC＝AP＋AC，AF＝AP，∴AB＝PC.归纳总结

描述AC平分∠BAD，AD∥BCBD平分∠ABC，AD∥BC图示

结论BA＝BCAB＝AD5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝

.

针对训练

1

6.如图，∠AOD＝15°，OD平分∠AOB，DC⊥AO于点C.若CD＝2，则OC的长为

.

7.如图，在▱ABCD中，AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，连接BF，BE＝CD.求证：AE平分∠BAD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠EAD＝∠E.∵BE＝CD，∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠E，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.类型3

三角形全等与相似中的“手拉手”1.三角形全等中的“手拉手”例7

[2025·四川凉山州改编]如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠BAC＝∠EAD，∠BDC＝56°，求∠ABC的度数.

归纳总结

条件△OAB和△OCD均为等腰三角形，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，连接AC，BD图形

结论△OAC≌△OBD

(1)如图1，点D在△ABC外，求证：△ABC∽△ADE；

归纳总结

条件在△OAB和△OCD中，OA≠OB，∠AOB＝∠COD，＝＝a，连接AC，BD情形a＝1a≠1图形

结论△OAC∽△OBD8.如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是(

)

A.∠ABC＝∠DCEB.CB＝CDC.DE＋DC＝BC D.AC⊥CD针对训练D

10.[2024·合肥肥东模拟]已知△ABC和△ADE有公共的顶点A，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，AC与DE相交于点G，连接BE，CD.

(1)若点B，E，D在一条直线上，如图1，求证：∠BAC＝∠BDC；解：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠CAE＝∠DAE－∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.