四川省金太阳2026届高三上学期12月联考数学（26-144C）（含答案）

高三数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.样本数据1,3,5,4,2的中位数是

A.1B.2C.3D.5

2.已知集合A={x∈N|x<3},B={1,2,3,4},则A∩B=

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

3.复数在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.记等差数列{an}的前n项和为S,,且S₆=S₃,a₁=1,则az=

ABC.1D.2

5.若tan(a+β)=-1,tan(a—β)=1,则tanβ=

A.0B.1C.-1D.1或一1

6.一种质量为1kg的物质，在化学分解中，经过时间t(单位：min)后，所剩的质量m

(单位：kg)与时间t的函数关系为m=a(a,k均为参数，a>0且a≠1).已知1kg的该物

质，在化学分解中，经过t₁min后，所剩的质量为0.5kg,再经过t2min后，所剩的质量为

0.25kg,则

A.t₁=t₂B.t₁=2t₂C.t₁=4t2D

7.青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现

存于三星堆博物馆.如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个

点，记为A,B,C,D,E,五边形ABCDE为正五边形，AB=25,

则AB·AD=

A.312.5B.625

C.1250D.625cos36°B

【高三数学第1页(共4页)】r·C1·

8.已知椭圆C)的左、右焦点分别为F₁,F₂,A为C上一点.直线AF₂与

C交于另一点B,若AF₂=3F₂B,IOF₁I=|OA|,则C的离心率为

ABCD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在下列区间中，函数单调递增的是

A.(B.CD.

10.已知函数f(x)=√1-x-x³,则

A.f(x)的定义域为(一∞,1)B.f(x)的值域为R

C.Vx∈(一∞,0),f(x)>1D.f(x)恰有1个零点

11.如图，该几何体的表面由8个正三角形和6个正方形构成，已知该几何

体的棱长均为2,则

A.平面ABD⊥平面BCE

B.平面ABE⊥平面BCD

C.该几何体的体积为

D.存在球O,使得该几何体的顶点都在球O的球面上

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知双曲线C:x²—y²=1的渐近线和圆M:(x-1)²+y²=r²(r>0)相切，则r=▲_.

13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知Ic=2,,△ABC的周长为6+

2√3,则△ABC的面积为▲_.

14.已知函数f(x)=x²|x-a|,若Vx∈[1,2],f(x)≥2,则a的取值范围是▲_.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

设数列{an}的前n项和为S,已知S2n=0,Sz-1=2.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列{nan}的前n项和.

【高三数学第2页(共4页)】·C1·

16.(15分)

对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文

学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的

对联(上联和下联共8联)中随机取出4联(上联或下联).

(1)求这4联可以凑成甲对联的概率；

(2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望.

17.(15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AD=AB=2√3,CD=CB=2,PA

=PD,∠ADC=∠APD=90°,F是AP的中点.

(1)证明：平面PAB⊥平面PCD.

(2)证明：BF//平面PCD.

(3)求直线BF与直线PC所成角的余弦值.

C

【高三数学第3页(共4页)】·C1·

18.(17分)

已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,直线l:x=8与C在第一象限交于点A,|AFI

=10.

(1)求p的值.

(2)设点B,D,E均在第一象限，且点B直线l上，点D,E在C上.

①是否存在点B,D,使得四边形FBAD是以FB,FD为邻边的平行四边形?若存在，

求出平行四边形FBAD的面积；若不存在，请说明理由.

②是否存在点B,D,E,使得四边形FBED是以FB,FD为邻边的矩形?若存在，求点

D的坐标；若不存在，请说明理由.

19.(17分)

已知函数

(1)讨论f(x)的单调区间；

(2)若(a≤0),,求a与k的数量关系；

(3)设x1,x₂(x₁<x2)是f(x)的两个极值点，证明：

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高三数学试卷参考答案

题序1234567891011121314

(一∞,-1)

答案CADBDAABBCACDBCD2√3

U[3,十∞]

【评分细则】

【1】第1～8题，凡与答案不符的均不得分.

【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的

得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分.

【3】第12,13,14题，凡与答案不符的均不得分.

1.C【解析】本题考查中位数，考查逻辑推理的核心素养.

样本数据1,3,5,4,2的中位数是3.

2.A【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养.

A={0,1,2},A∩B={1,2}.

3.D【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.

i,其在复平面内对应的点为,位于第四

象限.

4.B【解析】本题考查数列，考查数学运算的核心素养.

记等差数列{an}的公差为d.因为S₆=S₃,所以S₆-S₃=a₄+a₅+a₆=3a₅=0,即因

为a₁=1,as=a₁+4d=0,所以，

5.D【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.

因为tan(a+β)=—1,tan(a-β)=1,所以，1π(k₁∈Z),∈

相减得

Z),,所以；或-1

6.A【解析】本题考查函数的应用，考查数学运算的核心素养.

由题意可得

0.25=a“1+2=a“¹a“=0.5a”,所以a“²=0.5=a”,解得

t₁=t2.

7.A【解析】本题考查平面向量，考查直观想象、数学运算的核心素养.

解法一：取AB的中点M,连接DM(图略).因为AD=BD,所以在△ABD中，DM⊥AB,则

AB·AD=AB·(AM+MD)=AB·AM=312.5.

解法二：在正五边形ABCDE中，∠BAE=108°,∠EAD=36°,∠BAD=72°.|AD|=2|AE|·

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8.B【解析】本题考查椭圆，考查数学运算的核心素养.

由题可知F₁(一c,0),F₂(c,0).由AF₂=3F₂B,得|AF₂I=3|F₂B|,由椭圆的定义可得

IAF₁I+IAF₂I=2a,|IBE₁I+IF₂B=2a,设|AF₂I=a,则IAF₁I=2a-a,

因为IOF₁I=IOAI,即△F₁AF₂为直角三角形，,所以

,解得d=a或d=0(舍去),又4c²=(2a-d)²+d²,代入d=a,整理得

所以离心率

9.BC【解析】本题考查三角函数，考查逻辑推理的核心素养.

函数在(一1,0),(0,1)上单调递减.函数y=sinx在上单调递增，在

上单调递减，所以上单调递减，在

上单调递增.

10.ACD【解析】本题考查函数，考查逻辑推理的核心素养.

f(x)的定义域为(一∞,1),A正确.因为函数y=√1-x和y=-x³均为减函数，所以

f(x)是减函数，又因为f(1)=-1,所以f(x)的值域为[-1,十∞],B错误.因为f(0)=1,

所以Vx∈(一∞,0),f(x)>1,C正确.f(x)恰有1个零点，D正确.

11.BCD【解析】本题考查立体几何，考查直观想象、逻辑推理的核心素养.

记AD,CE,AE,CD的中点分别为M,N,K,Q(图略).平面ABD与平

面BCE所成的角为∠MBN.BM=BN=√3,MN=2√2,显然∠MBN

≠90°,所以平面ABD不与平面BCE垂直，A错误.平面ABE与平面

BCD所成的角为∠KBQ.BK=BQ=√2,KQ=2,所以BK²+BQ²=

KQ²,∠KBQ=90°,所以平面ABE⊥平面BCD,B正确.记MN的中点为I(图略),在

△MBN中可得BI=1,即四棱锥B-AECD的高为1.该几何体可由四个与四棱锥B-AECD

全等的四棱锥和一个正四棱柱AHJD-EFGC组成，其体积为

,C正确.记正四棱柱AHJD-EFGC的中心为P(图略),可得点P到该几何体

各顶点的距离均为2,所以存在球O,使得该几何体的顶点都在球O的球面上，D正确.

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12.【解析】本题考查双曲线，考查数学运算的核心素养.

双曲线C的渐近线方程为y=±x,圆M的圆心坐标为(1,0).点(1,0)到直线y=±x的距

离,由题意可得

13.2√3【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养.

因为b²=a²+c²—2accosB,所以b²=a²+4-2a①.△ABC的周长为a+b+c=6+2√3,

即a+b=4+2√3②.由①②,解得a=4,b=2√3.故△ABC的面积为

14.(一∞,—1)U[3,十∞)【解析】本题考查函数与导数，考查逻辑推理、数学运算的核心

素养.

当a≤0,x>0时，f'(x)=3x²—2ax>0,f(x)在

(0,十∞)上单调递增，要使得Vx∈[1,2],f(x)≥2,则f(1)=|1-a|≥2,结合a≤0,解得

a≤-1.若a>0,当x≥a时，f'(x)=x(3x—2a)>0,当x<a时，f'(x)=-x(3x-2a),

所以当时，f'(x)>0,当时，f'(x)<0,所以f(x)在(),(a,

十∞)上单调递增，在(上单调递减.要使得Vx∈[1,2],f(x)≥2,则

域

解得a≥3.综上，a的取值范围是(一∞,—1)U[3,十∞).

15.【解析】本题考查数列，考查数学运算的核心素养.

解：(1)因为Szn=0,Sz-1=2,所以azn=S2n—Szn-1=-2,即{an}的偶数项均为—2.……

………………………2分

因为S2n-2=S2n=0(n≥2),所以a2m-1=S2n-1-Sz-2=2(n≥2).

又因为a₁=S2×1-1=2,所以{an}的奇数项均为2.………………4分

an=2×(一1)”一1.………………………6分

(2)记数列{nan}的前n项和为T,

则T=2×(一1)°+2×2×(一1)¹+2×3×(一1)²+…+2n(一1)”一¹,………………8分

一T,=2×(一1)¹+2×2×(一1)²+2×3×(一1)³+…+2n(一1)”,………………10分

两式相减得2T,=2+2×(一1)¹+2×(-1)²+…+2(-1)”一¹-2n(-1)”=1+(1+2n)·

(一1)”-1,…………………12分

…………………13分

【高三数学·参考答案第3页(共8页)】·C1·

【评分细则】

【1】第(1)问另解如下：

根据S2n=0,S2ₙ-1=2,得到a₁=2,a₂=-2,2分

据此得到{a}为2,-2,2,-2,….………4分

an=2×(一1)”一1.……………………6分

【2】第(1)问的结果也可以写成

16.【解析】本题考查概率、期望，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.

解：(1)这4联可以凑成甲对联的概率……5分

(2)X的所有取值可能为0,1,2.

,……9分

………………13分

X的分布列为

X012

P

…………15分

【评分细则】

第(2)问中，没有求P(X=0),不扣分；没有写出分布列表格，不扣分.

17.【解析】本题考查空间向量与立体几何，考查直观想象、数学运算的核心素养.

(1)证明：∠ADC=∠APD=90°,即AD⊥CD,AP⊥PD.

因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面PAD,所以

CD⊥AP.……………2分

因为CD∩PD=D,所以AP⊥平面PCD.…3分

因为APC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.……4分

(2)证明：取AD的中点E,连接EF,BE,AC,BD5分

在△PAD中，EF//PD.因为PDC平面PCD,EF平面PCD,

所以EF//平面PCD.…………………6分

在△ACD中，AD=2√3,CD=2,∠ADC=90°,

【高三数学·参考答案第4页(共8页)】·C1·

,即∠DAC=30°,

易证△ACD≌△ACB,所以∠BAC=30°,∠BAD=60°,△ABD是等边三角形，所以BE⊥

AD,所以BE//CD.

因为CDC平面PCD,BEC平面PCD,所以BE//平面PCD8分

因为EF∩BE=E,EFC平面BEF,BEC平面BEF,所以平面BEF//平面PCD.

因为BFC平面BEF,所以BF//平面PCD10分

(3)解：连接PE.以E为原点，EA,EB,EP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系，则B(0,3,0),),P(O,0w3),C(-J3,2,0),12分

所以),PC=(-3,2,-53)……13分

因为………14分

所以直线BF与直线PC所成角的余弦值…………………15分

【评分细则】

第(3)问另解如下：

记BE∩AC=0,连接OF(图略).

由(2)得平面BEF//平面PCD.因为平面PAC∩平面BEF=OF,平面PAC∩平面PCD=

PC,所以OF//PC,所以直线BF与直线PC所成的角即直线BF与直线OF所成的角，

而直线BF与直线OF所成的角为∠OFB,所以直线BF与直线PC所成的角为∠OFB.

……………………12分

因为△ABD是等边三角形，所以AE=√3,BE=3.

在△ACD中，OE为中位线,所以OB=BE—OE=2.……………13分

由(1)(2)得CD⊥平面PAD,BE//CD,所以BE⊥平面PAD,BE⊥EF,

……………14分

贝

所以直线BF与直线PC所成角的余弦值…………………15分

【高三数学·参考答案第5页(共8页)】·C1·

18.【解析】本题考查抛物线，考查数学运算、直观想象的核心素养.

解：(1),解得p=4.……………3分

(2)由(1)可得抛物线C:y²=8x,F(2,0).

①由题意得A(8,8).若四边形FBAD是以FB,FD为邻边的平行四边形，则AB//DF,所

以直线DF的方程为x=2.……………5分

由得因为点B,D均在第一象限，所以D(2,4),……6分

所以|DF|=4=|AB|,则B(8,4).

点A到直线DF的距离为6,平行四边形FBAD的面积为|DF|×6=24.

故存在点B,D,使得四边形FBAD是以FB,FD为邻边的平行四边形，平行四边形FBAD

的面积为24.………………·8分

②设),n>0.

,则D(2,4).因为在矩形FBED中，FB⊥FD,FB+FD=FE,所以B(8,0),E(8,

4),而E(8,4)不在C上，不符合题意.…………………9分

,则直线FD的斜率，……10分

因为在矩形FBED中，FB⊥FD,所以kFD·kFB=-1,则

所以直线FB的方程为……………12分

由点B的纵坐标,得,……………13分

所以

设E(xE,yE),则FE=(xE-2,yE).

因为在矩形FBED中，FB+FD=FE,

所以,则),…………15分

将的坐标代入y²=8x,………………16分

解得因为n>0,所以,即

综上，存在点B,D,E,使得四边形FBED是以FB,FD为邻边的矩形，此时

………………………17分

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【评分细则】

【1】第(2)①问中，没有求出点B的坐标，不扣分.

【2】第(2)问中，写出结论“存在”,但没有过程，不给分.

【3】第(2②问中，没有讨论直线FD的斜率不存在的情况，扣1分.

19.【解析】本题考查函数与导数，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.

(1)解：

令x²—x+a=0,由△=1—4a≤0,得

此时f'(x)≥0,f(x)在(0,十∞)上单调递增.…………2分

当△=1-4a>0,即时，方程x²—x+a=0的两根为

.…………………3分

当a≤0时，,所以当x∈(0,x2)时，f'(x)<0,当x∈(x2,十∞)时，

f'(x)>0,

所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.………4分

,所以当x∈(x₁,x2)时，f'(x)<0,当x∈(0,x₁)U

当时

(x₂,十∞)时，f'(x)>0,

所以f(x)上单调递减，和

+∞)上单调递增.

综上，当a≤0时，f(x)在上单调递减，上单调递增；

当时，f(x)上单调递减，在和

上单调递