运筹基础课程 21

1Lecture10

DecisionAnalysisSchoolofBusinessAdministrationHunanUniversityLecturer:E-mail:

2LectureOutlineBasicConceptsDecisionMakingunderUncertaintyDecisionMakingunderRiskBayesianDecisionMakingUtilityTheory1.BasicConceptsThefocusofpreviousLectures:Decision-makingwhenconsequencesofalternativedecisionsareknownwithareasonabledegreeofcertaintyDecisionanalysisAddressesdecision-makinginthefaceofgreatuncertaintyTesting(experimentation)canreducelevelofuncertaintyAgamebetweennatureandthedecisionmakerProvidesframeworkandmethodology3ExamplesofDecisionAnalysisAmanufacturerintroducinganewproductintothemarketplaceWhatwillbethereactionofpotentialcustomers?Howmuchshouldbeproduced?Shouldtheproductbetest-marketed?Howmuchadvertisingisneeded?AfinancialfirminvestinginsecuritiesWhicharethemarketsectorsandindividualsecuritieswiththebestprospects?Whereistheeconomyheaded?Howaboutinterestrates?Howshouldthesefactorsaffecttheinvestmentdecisions?Anoilcompanydecidingwhethertodrillforoilinaparticularlocation.Howlikelyistheretobeoilinthatlocation?Howmuch?Howdeepwilltheyneedtodrill?Shouldgeologistsinvestigatethesitefurtherbeforedrilling?45TerminologyThedecisionmakeristheindividualorgroupresponsibleformakingthedecision.Thealternativesaretheoptionsforthedecisiontobemade.Theoutcomeisaffectedbyrandomfactorsoutsidethecontrolofthedecisionmaker.Theserandomfactorsdeterminethesituationthatwillbefoundwhenthedecisionisexecuted.Eachofthesepossiblesituationsisreferredtoasapossiblestateofnature.Thedecisionmakergenerallywillhavesomeinformationabouttherelativelikelihoodofthepossiblestatesofnature.Thesearereferredtoasthepriorprobabilities.Eachcombinationofadecisionalternativeandastateofnatureresultsinsomeoutcome.Thepayoffisaquantitativemeasureofthevaluetothedecisionmakeroftheoutcome.Itisoftenthemonetaryvalue.Payofftableshowspayoffforeachcombinationofdecisionalternativeandstateofnature–themathematicalmodelFrameworkThedecisionmakerneedstochooseoneofthedecisionalternatives.Naturethenwouldchooseoneofthepossiblestatesofnature.Eachcombinationofadecisionalternativeandstateofnaturewouldresultinapayoff,whichisgivenasoneoftheentriesinapayofftable.Thispayofftableshouldbeusedtofindanoptimalalternativeforthedecisionmakeraccordingtoanappropriatecriterion.6SixStepsinDecisionMaking1.Clearlydefinetheproblemathand.2.Listthepossiblealternatives.3.Identifythepossibleoutcomesorstatesofnature.4.Listthepayoff(typicallyprofit)ofeachcombinationofalternativesandoutcomes.5.Selectoneofthemathematicaldecisiontheorymodels.6.Applythemodelandmakeyourdecision.78FundamentalElementsDecisionObjective/CriteriaAlternatives

A={A1,A2,…,Am}Statesofnature/EventsS={s1,s2,…,sn}ReturnFunction/PayoffOptimalStrategyA*OptimumR*=R(A*)92.DecisionMakingunderUncertaintyDecisionmakingunderuncertaintyisasituationinwhichseveralstatesofnaturemayoccur,andtheoutcomeprobabilityofthesestatescannotbeassessedwithconfidence,orwhenvirtuallynoprobabilitydataareavailable.例1：设某工厂按批量生产某种产品并按批销售，每件产品的成本为30元，批发价格为每件35元。若每月生产的产品当月售不完，则每件损失1元，工厂每投产一批是10件，最大月生产能力为40件，决策者可选择的生产方案为0、10、20、30、40五种。假设决策者对其产品的需求情况一无所知，试问这时决策者应如何决策？10

SjAi01020304000000010-105050505020-204010010010030-30309015015040-402080140200Payofftable11

010203040000000010-1050505050-1020-2040100100100-2030-303090150150-3040-402080140200-40SjAiDecisionCriteria(1)Pessimistic(max-min)CriterionSoselectA112

010203040000000010-10505050505020-204010010010010030-30309015015015040-402080140200200SjAi(2)Optimistic(max-max)CriterionSoselectA513

010203040di00000000010-105050505050-10820-2040100100100100-201630-303090150150150-302440-402080140200200-4032SjAi(3)OptimisticCoefficient(Hurwicz)CriterionSupposeSoselectA514

0102030400050100150200200101005010015015020201005010010030302010050504040302010040SjAi(4)Min-maxOpportunityLoss(Regret)CriterionSoselectA515

010203040000000010-10505050503820-20401001001006430-3030901501507840-40208014020080SjAi(5)EquallyLikely(Laplace)CriterionSoselectA5163.DecisionMakingUnderRiskDecisionmakingunderriskisadecisionsituationinwhichseveralpossiblestatesofnaturemayoccur,andtheprobabilitiesofthesestatesofnatureareknown.

0102030400.10.20.40.20.100000010-105050505020-204010010010030-30309015015040-402080140200SjAiP(Sj)17DecisionCriteria(1)MaxPossibilityCriterionSoselectA3Thepreviousexample18(2)ExpectedMonetaryValue(EMV)SoselectA4EMV(A1)=0.1*0+0.2*0+0.4*0+0.2*0+0.1*0=0EMV(A2)=0.1*(-10)+0.2*50+0.4*50+0.2*50+0.1*50=44EMV(A3)=0.1*(-20)+0.2*40+0.4*100+0.2*100+0.1*100=76EMV(A4)=0.1*(-30)+0.2*30+0.4*90+0.2*150+0.1*150=84EMV(A5)=0.1*(-40)+0.2*20+0.4*80+0.2*140+0.1*200=80Thepreviousexample19(3)ExpectedOpportunityLossCriterionExample

0102030400.10.20.40.20.1005010015020010100501001502020100501003030201005040403020100SjAihij20SoSelectA4EOL(A1)=0.1*0+0.2*50+0.4*100+0.2*150+0.1*200=100EOL(A2)=0.1*10+0.2*0+0.4*50+0.2*100+0.1*150=56EOL(A3)=0.1*20+0.2*10+0.4*0+0.2*50+0.1*100=24EOL(A4)=0.1*30+0.2*20+0.4*10+0.2*0+0.1*50=16EOL(A5)=0.1*40+0.2*30+0.4*20+0.2*10+0.1*0=80结论：对于同一问题，用最大期望收益准则和最小期望损失准则进行决策，其结果是完全相同的。21DecisionTrees用表示决策点，由它引出的分枝叫做方案分枝用表示方案节点，由它引出的分枝叫做状态(概率)分枝用表示结果点，它是决策树的叶节点，它旁边是相应状态下的损益值用表示经过比较选择此方案被删除掉了，称之为剪枝22StepsofDecisionTreeAnalysis确定问题画出决策树。按从左到右的顺序画决策树，画决策树的过程本身就是对决策问题的再分析过程从右向左计算各方案期望值，并进行标注对期望值进行比较，选出最大效益期望值，写在□上方，表明其所对应方案为决策方案，同时在其它方案上打上╫删除23例2某厂决定生产某产品，要对机器进行改造．投入不同数额的资金进行改造有三种方法，分别为购新机器、大修和维护，根据经验,销路好发生的概率为0.6．相关投入额及不同销路情况下的效益值如下表所示，请选择最佳方案．损益值表(单位：万元)

供选方案投资额Ti销路好p1=0.6销路不好p2=0.4A1：购新1225－20A2：大修820－12A3：维护515－824供选方案投资额Ti销路好p1=0.6销路不好p2=0.4期望值A1：购新1225－20－5A2：大修820－12－0.8A3：维护515－80.8A0.8A1A2A3-5-0.80.825好0.6-2020-1215-8不好0.4解：首先画出决策树图好0.6不好0.4好0.6不好0.4购新大修维护25计算各方案的效益期望值：最大值为EMV(A3)选对应方案A3，即维护机器，并将A1，A2剪枝．264.BayesianDecisionMaking先验概率(priorprobability)根据以往的经验或专家估计所获得的各自然状态发生的概率后验概率(posteriorprobability)通过抽样调查、购买信息和专家咨询等手段，获得了自然状态发生概率的新信息作为补充信息，用它来修正原来的先验概率估计，得到修正后的各状态的概率27贝叶斯决策条件概率(conditionalprobability)事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率贝叶斯理论(Bayes’Theorem)若S1、S2、…构成一个完备事件，P(Sj)>0,则对任何概率不为零的事件Bk，有28例3某厂对一台机器的换代问题做决策，有三种方案：A1为买另一台新机器；A2为对老机器进行改建；A3是维护加强．输入不同质量的原料，三种方案的收益见表1．约有30%的原料是质量好的，还可以花600元对原料的质量进行测试，这种测试可靠性见表2．求最优方案．原料的实际质量S1好S2差测试结果B1好0.80.3B2差0.20.7S1好（0.3）S2差（0.7）购新机器A13-1.5改建老机器A21.00.5维护老机器A30.80.6表2测试可靠性

表1收益表(单位：万元)全概率公式：SjAi29解(1)若不做测试，各方案的先验收益应选方案3，维护老机器。(2)计算后验概率已知测试结果为质量好时，有：30测试结果为质量差时，有：则有31即当测试结果为原料的质量好，则购买新机器；若测试结果为原材料的质量差，则维护老机器。决策为：应花600元进行测试，测试后若质量好，购入新机器生产；若质量差，维护老机器生产。325.UtilityTheory

贝努利(D.Berneulli)首次提出效用概念，他用右图表示出人们对钱财的真实价值的考虑与其钱财拥有量之间有对数关系．效用是一种相对的指标值，它的大小表示决策者对于风险的态度，对某事物的倾向、偏差等主观因素的强弱程度用于量度决策者对于风险的态度.贝努利效用曲线效用U货币M33例如（1）方案A1：稳获100元。方案B1：用抛掷硬币的方法，猜对得250元，猜错不得钱。（2）方案A2：稳获100元。方案B2：用抛掷硬币的方法，直到出现正面为止，第n

次出现正面得到2n元。大多数选择A1、A2，通过计算有EMV(B1)>EMV(A1)，EMV(B2)>EMV(A2)一般来说效用值在[0,1]之间取值.凡是决策者最看好、最倾向、最愿意的事物（事件）的效用值可取1；反之，效用值取0．当各方案期望值相同时，一般用最大效用值决策准则，选择效用值最大的方案．34效用曲线

确定效用曲线的基本方法有两种：一种是直接提问法，需要决策者回答提问，主观衡量，应用较少；第二种是对比提问法，此法使用较多。

设现有A1，A2两种方案供选．A1表示决策者不需要花费任何风险可获益x2；而A2有两种自然状态，可以概率p获得收益x1，以概率（1-p）获得收益x3；且x1>x2>x3．

令u(xi)表示效益xi的效用值。若在某条件下，决策者认为A1,A2两方案等价，则有：

即x2的效用值等价于x1

和x2的期望效用。4个数p，x1，x2，x3中给定3个，提问第4个变量由决策者确定，求出效用值。35

一般采用改进V-M(VonNeumann-Morgenstern)方法，固定p＝0.5，x1，x3改变x2三次，得出相应的效用值，确定三点，作出效用曲线。例x1=－100，x3=400,取u(x1)=0,u(x3)=1第一次提问：x2为何值时，上式成立？答：“0”u(0)=0.5×0+0.5×1＝0.5第二次提问：x2为何值时，上式成立？答：“200”u(200)=0.5×u(0)+0.5×1=0.75第三次提问：x2为何值时，上式成立？答：“100”u(100)=0.5×u(0)+0.5×u(200)=0.5×0.5+0.5×0.75＝0.625-10010004001(0,0.5)(200,0.75)(100,0.625)20030036效用曲线类型

不同决策