2025新高考方案一轮物理第四章 曲线运动 万有引力与宇宙航行第1讲 曲线运动 运动的合成与分解

2025新高考方案一轮物理第四章曲线运动万

有引力与宇宙航行第四章曲线运动万有引力与宇

宙航行

大单元分层教学设计

第1讲曲线运动运动的合成与分解

基础落实课第2讲抛体运动

第3讲圆周运动

第4讲万有引力定律及其应用

综合融通课

第5讲物理建模——天体运动中的三大模型

第6讲实验：探究平抛运动的特点

实验探究课

第7讲实验：探究影响句心力大小的因素

第1讲曲线运动运动的合成与分解（基础落实课）

一、曲线运动

课刖

I.速度的方向

基础质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的...........如图所示。

先行

［点滴备注］

2.运动的性质

做曲线运动的物体，速度的.........时刻在改变，所以曲线运动一定是运动。

3.运动的条件

运动学当物体的...........方向与速度方向不在同一条直线上时，物体做

角度曲线运动

动力学当物体所受...........的方向与它的速度方向不在同一条直线上

角度时，物体做曲线运动

二、运动的合成与分解

1.合运动与分运动：物体的.........运动是合运动，物体.............的几个运旬是分

运动。

2.运动的合成：由已知的........求跟它们等效的合运动。

3.运动的分解：由已知的......求跟它等效的分运动。

4.遵循的法则：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵

循。

5.运动分解的原则：根据运动的............分解，也可采用正交分解法。

情境创设

如图所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为。的匀加速运动,

同时人顶着直杆以递度的在水平方向做匀速直线运动。

理解判断

(1)猴子相对地面运动的轨迹是直线。()

(2)猴子相对地面做匀变速运动。()

(3)猴子在竖直方向和水平方向的两个运动都是分运动。()

(4)猴子运动的速度等于竖直方向速度和水平方向速度的代数和。()

(5)猴子受到的合外力斜向右上方。()

(6)/时刻，猴子的对地速度的大小为诉旺万。()

(7)经过时间,,猴子的对地位移的大小为()

课

堇.逐点清(一)物体做曲线运动的条件与轨迹分析

I题I点I全I练I

1.［物体做曲线运动的条件］如图所示，一个钢球从一斜面上滑下后在水平桌面上做直线

运动，现在其运动路线的侧放块磁铁，钢球做曲线运动。下列说法正确的是()

A.钢球的运动轨迹为抛物线

B.钢球所受合力为零时也可以做曲线运动

C.钢球做曲线运动的条件是所受合力的方向与运动方向必须垂直

D.钢球做曲线运动的条件是所受合力的方向与运动方向不在同一直线上

2.［轨迹、速度与力的位置关系］

（2024・九江南三模拟）“青磐笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”是唐代诗人张志和《渔歌子》

中的描写春雨美景的名句。一雨滴由静止开始下落一段时间后，进入如图所示的斜风区下落

一段时间，然后乂进入无风区继续运动直至落地,不计雨滴受到的阻力，则下图中最接近雨

滴真实运动轨迹的是（）

।自由自由

下落下落

簧风区/知风区

2无反区-海风区

AB

3.［速率变化与力的方向间的关系］

（2023•全国乙卷）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头

的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（）

I精I要I点I拨I

1.合外力与轨迹、速度间的关系分析思路

课

至逐点清（二）运动的合成与分解的应用

细作1合运动与分运动的关系

1.跳伞运动深受年轻人的喜爱。在水平风向的环境中，一位跳伞

运动员从飞机上由静止跳下后，下列说法中正确的是()

A.风力越大，运动员下落时间越长

B.运动员下落时间与风力无关

C.风力越大，运动员落地时的竖直速度越大

D.运动员落地速度与风力无关

一支一过合运动与分运动的关系

等时性合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止

等效性各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果

独立性一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响

细作2合运动的性质和轨迹的判断

2.(2024年1月•安徽离考适应性演练)某同学在水平匀速直线行驶的

实验车上，利用实验装置竖直向上提起小球，从某时刻开始计时，坐在

实验车上的人观测小球运动的情况，作出速度平方(4)与提起高度()，)的关

系图像如图所示。则地面上静止的观察者看到小球的运动轨迹可能是

()

ABCD

L支一过合运动的性质和轨迹的判断

(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运

动。

(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。

细作3根据运动轨迹分析物体运动情况

3.在光滑的水平面上，一质量为m=2kg的滑块在水平方向恒力F

=4N的作用下运动。如图所示给出了滑块在水平面上运动的一段轨”

迹,滑块过P、Q两点时速度大小均为。=5m/s,滑块在尸点的速度方向与PQ连线夹角«

=37°,sin370=0.6,cos37°=0.8,则下列说法正确的是()

A.水平恒力F的方向与PQ连线成53。角

B.滑块从〃点运动到Q点的时间为3s

C.滑块从P点运动到。点的过程中速度最小值为3nVs

D.P、。两点连线的距离为10m

L点一过有关运动的合成和分解的三点提醒

（1）由运动的合成与分解知识可知，合运动的位移、速度、加速度是各分运动的位移、速

度、加速度的矢量和。

（2）在恒力作用下物体的匀变速曲线运动可分解为沿力的方向的匀变速更线运动和垂直

于力的方向的匀速直线运动。

（3）两个相互垂直方向的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。

谏

至逐点清（三）小船渡河模型

1.合运动与分运动

2.小船渡河的两类问题,三种情境

问题情境图示方法解读

当船头方向｛即。般方向）垂直河岸时，渡河时间

渡河时间最短Z1

最短，最短时1日最min-,,

Vffi

■777-

如果。心巾p当船头方向与上游河岸夹角。满

足。船COS水时，合速度垂直河岸，渡河位移

最短，等于河宽d

,77T

渡河位移最短丁…广一学

如果U船VPK，当船头方向与合速度方向垂直时，

渡河位移最短，等于如

，，，，，，，，，，，〃，》.，，，，b。水1

［应用体验］

类型1小船渡河的最短时间问题

1.（2024•黄冈中学二犊）（多选）船在静水中速度与时间的关系如图甲所示，河水流速与到

某河岸边的距离的变化关系如图乙所示，则（）

v/Cm-s-1)

3-------------

0------认

甲

A.船渡河的最短时间50s

B.要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直

C.船在河水中航行的轨迹是一条直线

D.船以最短时间渡河，船在河水中的最大速度是5m/s

类型2小船渡河的最短位移问题

2.（2024•郑州模拟）如图所示，快艇在静水中的航行速度大小为13m/s,某河流的水流速

度大小为5m/s,已知快艇在此河流中渡河的最短时间为12s。若快艇以最短路程渡河，则渡

河的时间为（）

A.13sB.15s

C.18sD.20s

类型3水流速度大于船在静水中速度的渡河问题

3.如图所示，某河流中水流速度大小恒为功，A处的下游C处是

---►叫

个漩涡，A点和漩涡的连线与河岸的最大夹角为凡为使小船从A点

出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值A

为（）

A.Visin0B.u）cos6

C.stan"D.焉

谏

至逐点清（四）绳（杆）端速度分解模型

1.模型特点

（I）与绳或杆连接的物体速度方向与绳或杆所在的直线不共线。

⑵绳或杆的长度不变，绳或杆两端的物体沿绳或杆方向的分速度相等。

2.分解思路

3.常见模型

［应用体验］

类型I绳端速度分解模型

1.（多选）如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为加，水的阻力恒为了,当轻绳与水

平面的夹角为〃时，人的速度为小人的拉力为F（不计滑轮与绳之间的摩擦），则以下说法正

确的是（）

A.船的速度为心B.船的速度为ocos。

C.船的加速度为MD.船的加速度为生》1

类型2杆端速度分解模型

2.（2024•广州庙三模拟）图甲为发动机活塞连杆组，图乙为连杆组的结构简图，连柠组在

竖直平面内，且。4正好在竖直方向上，连杆一端连接活塞A,另一端与曲柄上4点相连，

活塞4沿。4直线往发运动并带动连杆使B点绕圆心。顺时针方向做圆周运动，某时刻08

刚好水平，^OAB=0,活塞A的速率为内，曲柄上8点的速率为g，贝U此时（）

A.V4-C0SO=VBB.t?B-COSO=VA

C.VA=VBD.iksinO=Vn

类型3接触面速度分解模型

3.如图所示，一根长为L的直杆一端抵在墙角，一端依靠在箱子的光滑竖直侧壁上，将

箱子以大小为。的速度向右推，直杆绕0点在竖直面内转动，当直杆与竖直方向的夹角为〃

时，直杆转动的角速度大小为（）

v-usin0

BnC.r

A,Lsin0Leos0L

作业评价：请完成配套卷P356课时跟踪检测（十九）

第2讲抛体运动（基础落实课）

第3讲圆周运动（基础落实课）

一、匀速圆周运动及其描述

匀速圆周运动

课刖1.

（1）速度特点：速度的大小不变，方向始终与半径........。

基础（2）性质：匀速圆周运动是加速度大小不变，方向总是指向........的变加

速曲线运动。

先行

（3）质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂

［点滴备注］

直且指向圆心。

2.匀速圆周运动各物理量间的关系

二、匀速圆周运动的向心力

L4n2r”

大小凡=〃?7=................=nr-^~=mcov=nrAn-J-r

方向始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个........

向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的....提供，还可以由一个力的

来源

分力提供

三'离心运动和近心运动

向心力的供需关系运动状态运动图示

j,V22

圆周运动

r=man=nr~=mco^rF=Q、，

F<m(a'k

F<ma-=—fn(0~r离心运动

n^ma,2r\v>iy

C/2

近心运动

r>man==mco~r

情境创设

现在有一种叫作“魔盘”的娱乐设施，如图所示。当“魔盘”转动很慢时，人会随着“魔

盘”一起转动，当盘的速皮逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，

这种滑动的趋势越明显，当“魔盘”’转动到一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直隹上而

不会滑下3

理解判断

(1)人随“魔盘”一起;故匀速圆周运动时，其角速度是不变的v()

（2）人随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。（）

（3）人随“魔盘”一起;故匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。（）

（4）随“魔盘”一起做匀速圆周运动时，人离“魔盘”中心越远，人运动得越快。（）

（5）人随“魔盘”一起做匀速圆周运动，是因为人受到了“魔盘”给人的向心力。（）

（6）“魔盘”的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，这是人受沿半径向外的离

心力作用的缘故。（）

⑺当“魔盘”转动到一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直壁上而不会滑下，此时的

向心力是由静摩擦力提供。（）

课

望逐点清（一）三种常见的传动装置

I题I点I全I练I

1.［皮带传动］

（多选汝U图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等、直径约

为30cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示，

现玻璃盘以100r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8cm,从动轮的半径约为2cm,P

和。是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是（）

甲

A.尸、Q的线速度相同

B.玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反

C.P点的线速度大小约为1.6m/s

D.摇把的转速约为400r/min

2.［齿轮传动］

如图所示为某同学拼装的齿轮传动装置，图中五个齿轮自左向右编号分别为1、2、3、4、

5,它们的半径之比为3：9：3：5：3,其中齿轮1是主动轮，正在逆时针匀速转动。下列说

法正确的是（）

A.齿轮5顺时针转匆

B.齿轮1与齿轮3的转速之比为1：9

C.齿轮2边缘的向心加速度与齿轮5边缘的向心加速度之比为1:9

D.齿轮2的周期与齿轮4的周期之比为9：5

3.［同轴传动］

(2024年1月•江西高考适应性演练)(多选乂陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名产。在

陶瓷制作过程中有一道工序叫利坏，如图(a)所示，将陶瓷粗坏固定在绕竖直轴转动的水平转

台上，用刀旋削，使坯体厚度适当，表里光洁。对应的简化模型如图(b)所示，粗坯的对称轴

与转台转轴OO'重合。当转台转速恒定时，关于粗坯上P、Q两质点，下列说法正确的是()

图(a)

A.P的角速度大小比Q的大

B.P的线速度大小比Q的大

C.P的向心加速度大小比Q的大

D.同一时刻〃所受令力的方向与Q的相同

I精I要I点I拨I

常见的三种传动方式及特点

如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，

即VA=VB

皮带传动

甲乙

摩擦传动

如图丙、丁所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小

和齿轮传

相等，即VA=VB

动

A(^G)B8

丙T

如图戊所示，两轮固定在同i转轴.上,绕同•转轴转动，两轮转动的角速度大

小相等，即（OA=COB

同轴传动A

A

B

戊

课

至逐点清（二）水平面内的匀速圆周运动

I.运动特点

⑴运动轨迹在水平面为。

（2）做匀速圆周运动。

2.受力特点

（1）物体所受合外力大小不变，方向总是指向圆心。

（2）合外力充当向心力。

3.分析思路

申清题意，确定即做圆周运动的物体为

研究对象研究对象

分析物体的运动情况，即物体的

线速度、角速度等相关量

分析物体的受力情况，画出受力

示意图，确定向心力的来源

根据牛顿运动定律及圆周运动知识列方程

［考法全训］

考法1车辆转弯问题

1.（多选）某次旅游中，游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平

圆弧形弯道过程中，游客发现车厢顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后

与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面（与车厢底板平行）上水杯内的水

面.，已知此弯道路面的倾角为仇不计空气阻力，重力加速度为g,则下列判断正确的是（）

A.列车转弯过程中的向心加速度为gtan。，方向与水平面的夹角为0

B.列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用

C.水杯与桌面间无摩擦

D.水杯内水面与桌面不平行

考法2圆锥摆问题

2.（2024•张家口高三检测）如图所示，足够大且光滑的桌面上有个

光滑的小孔O,一根轻绳穿过小孔两端各系着质量分别为孙和阳2的两

个物体，它们分别以。、。'点为圆心以相同角速度由做匀速圆周运动,

半径分别是r2,/»i和他到O点的绳长分别为Zi和h，下列说法正

确的是（）

A.如和加2做圆周运动所需要的向心力大小相同

B.剪断细绳，加做匀速直线运动，，m做自由落体运动

C.皿和牝做圆周运动的半径之比为詈

ffl2

D.孙和叱做圆周运动的绳长之比为华

考法3水平面内圆周运动的临界问题

3.如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用轻质细线相连的质量相等的

两个物体A和8,它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为2r和"，两物体与盘间的动摩擦因

数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角

速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这•过程A与8所受摩擦力/的

大小与苏的大小关系图像如图乙所示，下列关系式正确的是（）

C.2a)22=5co\2D.co^=3a)\2

课

■逐点清(三)竖直平面内的圆周运动

两种常见的模型

轻绳模型轻杆模型

ft@

情境图示

、、、、/O\mi^l

弹力特征弹力可能向下，也可能等于零弹力可能向下，可能向上，也可能等于零

V2V2

力学方程mg±F^=niy

v2

临界特征Fr=0,即mg=nty,得v=y[gr。=0,即F向=0,此时入=，咫

［例1•轻绳模型］如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点。在竖直面内做圆周

运动，小球经过最高点的速度大小为。，此时绳子拉力大小为Fr，拉力FT与速度的平方。2

的关系如图乙所示，图像中的数据〃和2以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是

()

A.数据”与小球的质量有关

B.数据b与小球的质量无关

C.比值与只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关

D.利用数据〃、力和g能够求出小球的质量和圆周凯道半径

［例2•轻杆模型］如图，轻杆长2/,中点装在水平粕。上，两端分4

别固定着小球A和从A球质量为〃?，8球质量为2〃?，直力加速度为g,

两者一起在竖直平面内绕。轴做圆周运动。!

19

⑴若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大、、J，

小；

(2)若4球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时。轴的受力大小、方向；

(3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现。轴不受力的情况？若不能，请说明理由;

若能，求出此时A、8球的速度大小。

规范答题：

［应用体验］

1.如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，

小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2,圆轨道I的半径为R,圆轨道2

的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为〃?，若小球恰好能通过轨道2

的最高点儿则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为（重力加速度为0（）

A.2"?gB.3叫

C.D.

2.（多选）-半径为,•的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小

球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为小，小球的速度大小为小其FN-4图像如图

乙所示。已知重力加速度为g,规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则（)

A.小球的质量为力

B.圆形管道内侧壁半径转一「

C.当■=〃时，小球受到外侧壁竖宜向上的作用力，大小为，一〃

D.小球在最低点的最小速度为

2岷

课

至逐点清（四）斜面上圆周运动的临界问题

在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，常见类型有：摩擦力控制、杆控

制，绳控制“与照直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动通常也是分析物体在最高点和

最低点的受力情况，只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面

上圆周运动问题的难点。

类型（一）静摩擦力控制下的斜面圆周运动

[例1]如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴

以恒定角速度①转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘

始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为坐（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘

面与水平面的夹角为30。，g取lOm/s?。则口的最大值是（）

A.小rad/sB.小rad/s

C.1.0rad/sD.0.5rad/s

听课随笔：

类型（二）轻杆控制下的斜面圆周运动

［例2］（2024•广西北海模拟）如图所示，长为［的轻杆两端各固定•个质量均为机的小球

〃、b,系统置于倾角为。的光滑斜面上，且杆可绕位于中点的转轴平行于斜面转动，当小球

。位于最低点时给系统-初始角速度①o,不计一切阻力，贝"）

A.在轻杆转过180。的过程中，角速度逐渐减小

B.只有的大于某临界值，系统力能做完整的圆冏运动

C.轻杆受到转轴的力的大小始终为2〃唔sin。

D.轻杆受到转轴的力的方向始终在变化

听课随笔：

类型（三）轻绳控制下的斜面圆周运动

［例3］如图所示，一倾角为〃=30。的斜劈静置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一

轻绳的一端固定在斜面上的。点，另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度，

使小球恰好能在斜面.上做圆周运动。已知。点到小球球心的距离为/,重力加速度为g,整个

过程中斜劈静止，下列说法正确的是（）

A.小球在顶端时，速度大小为迎

B.小球在底端时，速度大小为'冏

C.小球运动过程中，地面对•斜劈的摩擦力大小不变

D.小球运劭过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和

听课随笔:

作业评价：请完成配套卷P360课时跟踪检测(二十一)

一、平抛运动

课前1.定义：以定的初速度沿水平方向抛山的物体只在........作用下的运

基础动。

2.运动性质：平抛运动是加速度为g的..........曲线运动，其运均轨迹

先行是..........。

［点滴备注］3.研究方法---运动的合成与分解。

(1)水平方向：.......直线运动；

(2)竖直方向：............运动。

二、平抛运动的规律

O.

,吟i

运动分解

1〈Ja

图示1•

\1\•

水平方向:--大小:“二

合速度

速度关系

竖直方向：“尸-方向：Ian。=萨

水平方向：4=「大小：s=

合位移

位移关系

竖直方向:y=_......一方向：tana=［=

(1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方

两个重要向的夹角为仇位移方向与水平方向的夹角为以,则tanO=.........

推论(2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的............的反向延长

线一定通过此时水平位移的.......，则x=2OD

三、斜抛运动

I.定义：将物体以初速度。o沿..........或...........抛出，物体只在........作用

下的运动。

2.运动性质

斜抛运动是加速度为g的曲线运动，运动轨迹是。

3.斫究方法

斜抛运动可以分解为水平方向的.运动和竖直方向的运动。

4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)

受力分析图运动分解图

(1)水平方向：加=,产合x=0；

(2)竖直方向：vOy=,Fay=mg0

情境创设I

一架投放救灾物资的飞机在受灾区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上投放的救灾物资

在落地前的运动中(不计空气阻力)。

［理解判断］

(1)速度和加速度都在不断改变。()

(2)速度和加速度方向之间的夹角一直减小。()

(3)救灾物资从开始下落到落地的运动时间与飞机的速度大小有关。()

(4)在相等的时间内速度的改变量相等。()

(5)在相等的时间内速率的改变量相等。()

情境创设2

如图所示，运动员以羽同速率,沿与水平方向不同夹角抛出铅球，不计空气阻力。

［理解判断］

(6)铅球的加速度相同，()

(7)铅球的射程相同。()

(8)铅球的射高相同。()

(9)铅球的初速度方向与水平方向的夹角越大，抛出的水平距离越大。()

课

堇逐点清（一）平抛运动规律及应用

1.平抛运动时间和水平射程

由尸寸苫知，运动时间取决于下落高度心与初速度如无关

运动时间

用即水平射程由初速度如和下落高度。共同决定

水平射程

2.速度和位移的变化规律

速度变化规律

①任一时刻的速度水平分量均等于初速度次）

②任一相等时间间隔Z内的速度变化量方向竖直向下，大小

=g△/

①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即

位移变化规律

②连续相等的时间间隔4内，竖直方向上的位移差不变，即

［典例］（2022.全国甲卷）将一小球水平抛出，使用频闪仪和

照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05s发出•次闪

光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照

片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每

相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度

si和$2之比为3：7。重力加速度大小取g=10m/s2,忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度

的大小。

规范答题:

［针对训练］

1.人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为劭，落地时速度为不计空气阻力,

下列图中能表示出速度矢量的变化过程的是（）

2.(2()23•新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向

远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方

向与水面的夹角不能大于心为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为人处水

平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为

g)

课

:堂逐点清（二）落点有约束条件的平抛运动

类型（一）落点在斜面上的平抛运动

［例1］如图所示，倾斜角为〃的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙

分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段

时间两球分别落在斜面上的A、8点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面

垂直。忽略空气阻力，重力加速度为g,则下列选项正确的是（）

A.甲、乙两球在空中运动的时间之比为la/。：1

B.甲、乙两球下落的高度之比为2tar?。：1

C.甲、乙两球的水平位移大小之比为tan。：1

D.甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为23/。：I

听课随笔：

I思I维健膜I落点在斜面上的平抛运动处理思路

图示方法基本规律运动时间

分解速度，构建水平Vx=Vo由tan6=番2得，

竖直V=gt

噂杰速度的矢量三角y

形合速度外,2glan8

:从斜面顶点！

水平X=vot由3T-

:水平抛出且i分解位移，构建

恪在斜面上竖直卜上产

位移的矢量三角得t=

形2iotan0

合位移工令=4”+产

1g

类型（二）落点在曲面上的平抛运动

［例2•落在圆弧面上］如图所示，半径为R的半球形碗固定于

水平面上，碗口水平，0点为碗的圆心，A、B为水平直径的两个

端点。将一弹性小球（可视为质点）从A点沿AB方向以初速度3水

平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好经过B点；若将该小球从离0煎与R处的C点以初

速度S水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好返回C点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间

小球的切向速度不变，沿半径方向的速度等大反向，则改与s的比值为()

A.26B.A/6

C.A/5D4

听课随笔：

［例3•落在抛物面上］如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面满

足的数学关系式为y=f(x>0),在)，轴上有一点P,坐标为(0,6m)o

从P点将一可看成质点的小球水平抛出，初速度为1m/So则小球第一

次打在曲面上的时间为(不计空气阻力，g®10m/s2)()

A.IsB.^-sC.^~SD.、-

听课随笔：

I思I维I建I模I平抛运动与两类曲面结合问题

(1)物体平抛后落入圆弧内时，物体平抛运动的水平位移、竖直位移与圆弧半径存在一定

的数量关系。

(2)物体平抛后落入抛物面内时，物体平抛运动的水平位移、竖直位移与抛物线方程结合

可以建立水平方向和竖直方向的关系方程。

课

至逐点清(三)平抛运动的临界、极值问题

1.常见的“临界术诏”

(1)题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围多长时间”“多大距离”等词

语，表明题述的过程中存在临界点。

(2)题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极

值。

2.平抛运动临界、极值问题的分析方法

(1)确定研究对象的运动性质；

⑵根据题意确定临界状态；

⑶确定临界轨迹，画出轨迹示意图；

⑷应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解.

［典例］某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示，模型放到0.8m高的水

平桌子上，最高点距离水立地面"=2m,右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽

略阻力作用，为使小球匕得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为（）

A.0B.0.1m

C.0.2mD.0.3m

听课随笔:

［针对训练］

1.套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高

0.45m处水平抛出半径为0.1m的圆环（圆环面始终水平），套住了距圆环前

端水平距离为1.0m且顶端离地高度为0.25m的竖直细圆筒。若重力加速

度大小^=10m/s2,则小孩抛出圆环的初速度可能是（）

A.4.3m/sB.56m/s

C.6.5m/sD.7.5m/s

2.一探险队在探险时遇到一山沟，山沟的一侧OA竖直，另一侧?

的坡面08呈抛物线形状，与一平台BC相连，如图所示。已知山沟竖才厂”。

直一侧OA的高度为2小平台8c在距沟底力高处，C点离竖直线042h/

的水平距离为2人以沟底的。点为原点、OA直线为y轴建立平面直角LJ~

坐标系xO.y,坡面。8的抛物线方程为），=若。质量为"的探险队员从山沟的竖直一侧，沿

水平方向跳向平台。探险队员视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。

（1）若该探险队员从A点以速度如水平跳出时，落在坡面08的某处，则他在空中运动的

时间为多少？

（2）为了能落在平台上，他在A点的初速度。应满足叶么条件？请计算说明。

课

簟逐点清（四）斜抛运动

对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动过程，可逆向分析为平抛运动，分析完整的斜上

抛运动，还可根据下列二种对称性求解某些问题。

轨迹对称斜上抛运动的轨迹关于过最高点的竖直线对称

速度对称关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等

关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点，从其中一点到最高点的上

时间对称

升时间与从最高点到对称点的下降时间相等

［考法全训］

考法I斜抛运动规律的理解和应用

1.（再科版教材必修2,P56练习T11）某次军事演习中，在P、。两处的炮兵向正前方同

一目标。发射炮弹，要求同时击中目标。若忽略空气阻力，炮弹轨迹如图所示，你认为哪一

处的炮兵先发射炮弹？请简述理由。

一二：、

/二/......

PQ

2.（人教版教材必修2,P20B组练习T1）在篮球比赛中，

投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次

投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面

成45。的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐

正好在同•水平面.上（如图），设投球点到篮筐距离为9.8m,不

考虑空气阻力,g取10m/s2o

（1）篮球进筐的速度有多大？

（2）篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是多少？

3.（2023・湖南离者）如图（a）,我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次

抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为。，且

轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为3和。2,其中m方向水平，S方向

斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（）

*

八』:;'、谷粒2

谷粒

图⑹

A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度

B.谷粒2在最高点的速度小于s

C.两谷粒从O到P的运动时间相等

D.两谷粒从。到”的平均速度相等

I考I教I衔I接I

人教版和鲁科版教材中的练习题都是物体做斜抛运动，湖南高考题是平抛运动与斜抛运

动的对比分析问题，且与鲁科版练习题都属于多物体抛体运动问题。“源于教材，高于教材”

是高考命题一贯坚持的原则。

考法2三维空间内的斜抛运动

4.（2022•山东高考X多选）如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜