2024-2025学年北京市延庆区八年级上学期期末考试数学试卷【含答案】

page22025学年北京市延庆区八年级上学期期末考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题

1.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（

）A. B.

C. D.

2.下列事件中，随机事件是（

）A.在数轴上取一个点，它表示的数是实数B.画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合C.画一个三角形，它的内角和是180D.把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形

3.分式aa−3有意义，实数aA.a≠3 B.a≠0 C.a<3

4.若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（

）A.3 B.6 C.9 D.12

5.下列二次根式中，最简二次根式是（

）A.0.3 B.12 C.18 D.

6.下列计算正确的是（

）A.2+3=5 B.32−

7.如图，在△ABC中，AB边上的高线是（

）

A.线段AD B.线段AF C.线段BG D.线段CE

8.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，在直线BC上取一点PA.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题

9.16的算术平方根是_________________．

10.若二次根式x−9在实数范围内有意义，则x的取值范围是

11.如图，在△ABC中，∠A=80∘，点D在边BC的延长线上，∠ACD

12.已知|x−5

13.一个不透明的口袋中装有2个红球和1个黄球，除颜色外都相同，从口袋中随意摸出一个球，摸到红球的可能性大小是____________．

14.数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB≅△COD的依据是____________．

15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，CD平分∠ACB，AC=

16.如图，△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线，点D关于直线AC的对称点为E．连接BE，交AC于点F，交AD于点G，连接AE，DE．

有下面四个结论：

①点A在线段DE的垂直平分线上；

②△ADE是等边三角形；

③△ABG≅△AEF；

④点P是线段AE上的一个动点，PF三、解答题

17.计算：（1）12−（2）5−

18.解分式方程：（1）xx（2）1

19.如图，AB=CD,BE⊥AC于点E，DF⊥AC（1）求证：△ABE（2）求证：AB 

20.在证明等腰三角形的性质定理1时，甲、乙、丙三位同学的方法如下图所示：等腰三角形的性质定理1的内容：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．

已知：如图，在△ABC中，AB=AC．

求证：∠B=∠甲同学的方法：

证明：作∠BAC的平分线交BC于点D．

乙同学的方法：

证明：作AE⊥BC于点E．丙同学的方法：

证明：取BC的中点F，连接AF．

请选择一种方法补全证明过程．

21.先化简，再求值：2aa+2

22.计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：2x2−1−1x−1，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：

甲同学：

2x2−1−1x−1

=2(x+1)(x−1)−1（1）我选择________同学的解答过程进行分析.（填“甲”或“乙”）（2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________；（3）请写出正确解答过程.

23.如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E．

（1）依题意补全图形；（2）判断△ADE

24.如图，OC是∠AOB的角平分线，点D在射线OA上，点E在射线OB上，点F在射线OC上，连接DF，EF．请你添加一个条件，使△OFD≅△OFE．

小明同学写出以下条件：

①OD=OE，②∠ODF=∠OEF，③∠OFD=∠OFE，

（1）小明的说法_______(填“正确”或“错误”)；（2）从小明写出的条件中选择一个______(填写序号)，使得△OFD

25.某中学组织学生到离家20km的郊区体验农耕劳动，一部分学生骑自行车前往，另一部分学生在骑自行车的学生出发50分钟后乘汽车前往，结果骑自行车的学生与乘汽车的学生同时到达郊区，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度

26.尺规作图：

已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P．

求作：直线PQ，使直线PQ // MN．

小智的作图思路如下：

①如何得到两条直线平行？

小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”．

②如何得到两个角相等？

小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”．

③画出示意图：

④根据示意图，确定作图顺序．

（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：

证明：∵AB平分∠PAN，

∴∠PAB=∠NAB．

∵PA＝PQ，

∴∠PAB=∠PQA(_________)．

∴∠NAB（3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）

27.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，AD是△ABC的高，点E是AB的中点，连接CE交AD于点F，过点E作GE⊥CE于点E，交（1）依题意补全图形；（2）判断∠ECH和∠（3）求证：EC=

28.我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”．

已知：在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠（1）下列三角形中，Rt△ABC的“关联三角形”是_______(填序号)；

（2）若Rt△（3）若△DEF是Rt△ABC的“关联三角形”，且△DEF的面积是参考答案与试题解析2024-2025学年北京市延庆区八年级上学期期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】轴对称图形【解析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：A．2.【答案】B【考点】事件的分类在数轴上表示实数三角形内角和定理利用勾股定理的逆定理求解【解析】本题考查的是事件的分类，三角形内角和，勾股定理，实数的定义．根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、在数轴上取一个点，它表示的数是实数，是必然事件，不符合题意；

B、画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合，是随机事件，符合题意；

C、画一个三角形，它的内角和是180∘，是必然事件，不符合题意；

D、62+82≠92，则把长度分别是6，3.【答案】A【考点】分式有意义的条件【解析】根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解．

本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；【解答】解：由题意得，a−3≠0，解得：a≠4.【答案】B【考点】确定第三边的取值范围【解析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：

第三边的长度6−3<x<6+3，即3<5.【答案】D【考点】最简二次根式的判断【解析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可．【解答】解：A.0.3=310=3010，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

B.12=22，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

C.6.【答案】C【考点】二次根式的除法二次根式的加减混合运算二次根式的乘法【解析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可．【解答】解：A、2和3，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；

B、32−2=22≠3，故此选项不符合题意；

C、2×37.【答案】D【考点】三角形的高【解析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．据此解答即可．【解答】解：A．线段AD是BC边上的高，故不符合题意；

B．线段AF不是任何边上的高，故不符合题意；

C．线段BG是AC边上的高，故不符合题意；

D．线段CE是AB边上的高，符合题意；

故选D．8.【答案】B【考点】等边三角形的性质与判定等腰三角形的定义【解析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．【解答】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点P1,P2，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点P3，如图所示：

∵∠C=90∘，∠A=30∘，

∴∠ABC=60∘，

∵AP3=二、填空题9.【答案】4【考点】求一个数的算术平方根【解析】此题暂无解析【解答】解：∵(±4)2=16

∴16的平方根为4和−4，10.【答案】x【考点】二次根式有意义的条件【解析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案．【解答】解：由题意得x−9≥0，解得x≥11.【答案】60∘【考点】三角形的外角的定义及性质【解析】本题考查了三角形的外角性质，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．根据三角形的外角性质得出∠B【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B，

∴∠12.【答案】2【考点】非负数的性质：算术平方根已知式子的值，求代数式的值绝对值非负性【解析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性，得到|x−5|=0，y+3=0【解答】解：∵|x−5|+y+3=0，

∴|x−5|=0，y+3=13.【答案】2【考点】根据概率公式计算概率可能性的大小【解析】根据题意可知，一共有3种等可能的结果，其中摸到的是红球的结果有2种，根据此可计算出摸到红球的可能性．【解答】解：根据题意可知一共有3种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种，

故：P(摸到红球)=214.【答案】SAS/【考点】此题暂无考点【解析】根据题意可得，OC=OA，OB=【解答】解：根据题意可得，OC=OA，∠DOC=∠AOB，OB=OD，15.【答案】2【考点】角平分线的性质【解析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质求出【解答】解：作DH⊥AC于H，

∵CD是∠ACB的平分线，∠B=90∘，DH⊥AC，

∴16.【答案】①②④【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）线段垂直平分线的性质等边三角形的性质与判定根据成轴对称图形的特征进行求解【解析】本题主要考查了等边三角形和垂直平分线的性质．熟练掌握等边三角形和垂直平分线的性质，全等三角形的判断和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键．

由对称的性质可得①正确；根据垂直平分线的性质证得△ADH≅△AEH，再根据等边三角形性质得∠DAE=60∘，得△ADE是等边三角形；故②正确；由②得AD=AE，AB>AD，进而得出△ABG【解答】解：①∵点D关于直线AC的对称点为E，

∴AD=AE，

点A在线段DE的垂直平分线上；

故①正确；

②设AC与DE交于点H，

∵点D关于直线AC的对称点为E，

∴AD=AE，

∴点A在线段DE的垂直平分线上；

∴AH⊥DE，

又∵AH=AH，

∴△ADH≅△AEHHL

∴∠DAH=∠EAH，

∵△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线，

∴∠DAH=∠BAD=30∘，

∴∠DAE=∠DAH+∠EAH=30∘×2=60∘，

又∵AD=AE，

∴△ADE是等边三角形；

故②正确；

③由②得AD=AE，

∵AB>AD，

∴AB>AE，

∴△ABG与△AEF不全等；

故③不正确；

④作如图P点，设P关于直线AC的对称点为P′，

三、解答题17.【答案】37【考点】实数的混合运算二次根式的混合运算求一个数的立方根【解析】（1）根据二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解；（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．【解答】（1）解：12−327+−（2）5−22+20×118.【答案】x原方程无解【考点】解分式方程【解析】（1）方程两边同时乘以2(（2）方程两边同时乘以(x【解答】（1）解：方程两边同时乘以2(x+1)，得，

2x+2(x+1)=5，

2x+2x+2=（2）解：方程两边同时乘以(x+2)(x−2)，得：

x−2+4x=2(x+219.【答案】见解析见解析【考点】同位角相等两直线平行全等的性质和HL综合（HL）【解析】（1）先证明AE=CF，再根据AB=（2）根据全等三角形的性质得出∠A【解答】（1）解：证明：∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F，

∴∠AEB=∠DFC=90∘，

∵AF=CE（2）证明：Rt△ABE≅Rt△CDF，20.【答案】证明见解析【考点】全等三角形的应用【解析】本题考查了三角形全等的判定和性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．

甲同学得方法中，通过作角平分线，可得∠BAD=∠CAD，再根据SAS，即可得出△ABD≅△ACDSAS，从而证明；乙同学的方法中，通过作垂线线，可得∠AEB=∠AEC=90∘，再根据HL【解答】证明：甲同学的方法：

证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D．

∴∠BAD=∠CAD，

在△ABD和△ACD中，

AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD ，

∴△ABD≅△ACDSAS，

∴∠B=∠C．

乙同学的方法：

证明：如图，作AE⊥BC于点E．

∴∠AEB=∠AEC=90∘，

在Rt△ABE和Rt△ACE中，

AB=ACAE=AE ，

∴Rt△ABE21.【答案】1a−【考点】分式的化简求值利用二次根式的性质化简【解析】本题考查了分式的混合运算以及二次根式的混合运算．解题的关键在于熟练掌握混合运算的运算法则．

先对括号里进行通分、合并同类项，然后进行乘除运算化为最简，最后代值求解即可．【解答】解：原式=2aa+2−a+2a+2÷a2−22.【答案】甲（或乙）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以(x+1详见解析.【考点】异分母分式加减法【解析】（1）甲的错误是第②步通分时，分子没有乘(x【解答】（1）解：甲（或乙）；（2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以(x+1（3）正确解答过程如下：

2x2−1−1x−123.【答案】见详解；△ADE【考点】等边三角形的性质与判定同位角相等两直线平行作一个角等于已知角平行线的画法【解析】（1）利用作∠ADE=∠B，作出∠ADE的边（2）根据等边三角形性质∠A=∠B=∠C=60【解答】（1）解：过点D作∠ADE=∠B，

∵∠ADE=∠B（2）解：△ADE为等边三角形，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60∘，

∵DE //24.【答案】错误①或②或③或⑤或⑥，图见解析，证明见解析【考点】添加条件使三角形全等【解析】（1）利用全等三角形的判定方法对小明同学写出的6个条件逐一分析判断即可；（2）补全图形，从小明写出的条件中选择一个，然后利用全等三角形的判定方法证明△OFD【解答】（1）解：对于小明同学写出的6个条件，

选择条件①时，可以利用SAS证明△OFD≅△OFE，

选择条件②时，可以利用AAS证明△OFD≅△OFE，

选择条件③时，可以利用ASA证明△OFD≅△OFE，

选择条件④时，利用SSA不能证明△OFD≅△OFE，

选择条件⑤时，可以利用AAS证明△（2）解：补全图形如下：

选择条件①时，证明如下：

∵OC是∠AOB的角平分线，

∴∠DOF=∠EOF，

在△OFD和△OFE中，

OD=OE∠DOF=∠EOFOF=OF ，

∴△OFD≅△OFESAS；

选择条件②时，证明如下：

∵OC是∠AOB的角平分线，

∴∠DOF=∠EOF，

在△OFD和△OFE中，

∠ODF=∠OEF∠DOF=∠EOFOF=OF ，

∴△OFD≅△OFEAAS；

选择条件③时，证明如下：

∵OC是∠AOB的角平分线，

∴∠DOF=∠EOF，

在△OFD和△OFE中，

∠DOF=∠EOFOF=OF∠OFD=∠OFE ，

∴△OFD≅△OFEASA；

选择条件④时，利用SSA不能证明△OFD≅△OFE25.【答案】自行车的速度是16千米/小时【考点】分式方程的应用【解析】本题考查了分式方程的应用，设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，根据时间=路程÷速度结合骑车和乘骑车两种交通方式所需时间之间的关系，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，

根据题意得：20x−203x=5060，

解得：x=1626.【答案】图见解析(2)等边对等角；内错角相等，两直线平行；【考点】内错角相等两直线平行作垂线(尺规作图)根据等边对等角证明【解析】（1）根据题意即可尺规作图进行求解；（2）根据角平分线与等腰三角形的性质得到内错角相等，故可求解；（3）作PH⊥MN于H点，再作【解答】（1）解：如图1，PQ即为所求；

（2）证明：∵AB平分∠PAN，

∴∠PAB=∠NAB．

∵PA＝PQ，

∴∠PAB=∠PQA（等边对等角）．

∴∠NAB（3）如图2，PQ为所求．

27.【答案】见解析∠ECH证明见解析【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）等腰三角形的判定与性质经过一点作已知直线的垂线直角三角形的两个锐角互余【解析】（1）依题意补全图形即可．（2）由直角三角形两锐角互余可得出∠ECH+∠GHD=90∘，由垂线的定义得出（3）连接DE．由等腰三角形的判定以及性质进一步证明△EDC≅△EAG【解答】（1）解：依题意补全图形如下；

（2）解：数量关系：∠ECH=∠EGF；

证明：∵GE⊥CE于点E，

∴∠GEF=∠CEH=90∘

∴∠ECH+∠GHD=90∘

∵