2026年中考数学复习难题速递之图形的对称（2025年11月）

第37页（共37页）2026年中考数学复习难题速递之图形的对称（2025年11月）一．选择题（共10小题）1．如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC＝30°，AP＝4，则PE＝（）A．6-2 B．26-22 C2．A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥MN，若河岸平行，MN与河岸垂直，要想使路径AMNB最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（）A． B． C． D．3．如图，将一块长方形纸片ABCD沿BD翻折后，点C与E重合，若∠ADB＝30°，EH＝3cm，则BC的长度为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．12cm4．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A与点A'重合，且落在四边形BCDE的内部a，已知∠1+∠2＝78°，则∠A的度数为（）A．39° B．38° C．30° D．35°5．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AN＝BN B．∠AMN＝∠BMN C．∠PAN＝∠PBN D．AP＝AN6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC．点D是边BC上的一点且∠ADB＝60°，将Rt△ABC沿直线AD折叠，使点B落到点B'的位置，延长AB'到点E，使AE＝AD，连接DE、CE，则下列结论：①∠B'DE＝15°；②DE⊥AC；③CE∥AB；④∠AEC＝120°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是平面内的一个动点，连接EC、ED，且△CDE的面积始终等于长方形ABCD面积的16，连接EA，EB，则EA+EBA．213 B．42 C．45 8．下列说法正确的有（）①到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；②关于某条直线对称的两个图形，对应点所连线段被对称轴垂直平分；③等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD⊥BC于D点，AB＝12，AD=63．若点E、F分别是线段AD、线段AB上的动点，则BE+A．6 B．12 C．63 D．10．如图，等边△ABC，点D，E，F分别在边AC，AB，BC上，且DF⊥AC，将∠A沿直线DE翻折，恰使点A与点F重合，下列结论中错误的是（）A．FC＝2CD B．AF＝2DE C．EF⊥BC D．CF＝BF+AE二．填空题（共5小题）11．如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为．12．如图．△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C的度数之比为2：3：4，点D为BC上一个定点，点E，F分别是AB，AC上的两个动点（不与点A，B，C重合）．则∠A＝°；当△DEF的周长最小时，∠EDF＝°．13．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合，连接DE，可以探究得到：BCAB=12；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若PM＝2，点G是OM边上的动点，则PG+114．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，点E在AB上，点H在CD上，将矩形ABCD沿EH折叠，使点A的对应点F落在DC的延长线上，EF交BC于点P，若PC＝3PB，则折痕EH的长为．15．在同一直角坐标系中，一个学生误将点A的横、纵坐标的次序颠倒，写为A（a，b），另一个学生误将点B的坐标看成关于y轴对称的点的坐标，写为B（﹣b，﹣a），则A，B两点原来的位置关系是关于轴对称．（填“x”或“y”）三．解答题（共5小题）16．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，作出四边形ABCD的对称轴l；（2）如图2，BE⊥AD，过点D作AB的垂线DF．17．作图题：（1）如图1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1．（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）如图2是由9个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中2个小正方形涂黑，请用3种不同的方法分别在图中再将2个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形．18．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）△ABC的面积为；（3）请你在y轴上找一点P，使得∠BPO＝∠CPO，请你直接写出点P的坐标．19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），．C（3，4）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成对称，画出△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1三个顶点坐标A1，B1，C1；（2）在y轴上是否存在点Q，使得S△AOQ=12S△ABC．如果存在，求出点（3）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出P的坐标．20．如图，在直角坐标平面内，已知点A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）已知点P（a﹣1，﹣2a+3），直线PB1∥x轴，求点P的坐标．

2026年中考数学复习难题速递之图形的对称（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DDBADDCCCB一．选择题（共10小题）1．如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC＝30°，AP＝4，则PE＝（）A．6-2 B．26-22 C【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．【答案】D【分析】由四边形ABCD是菱形和折叠可求∠E＝30°，过点A作AF⊥PE于点F，从而把△APE转化为两个直角三角形，进而解决问题．【解答】解：如图，过点A作AF⊥PE于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴∠D＝∠ABC＝30°，AD＝CD，∴∠DAC=180°-∠D由折叠可知：∠E＝∠D＝30°，∴∠APE＝∠DAC﹣∠AEP＝45°，在Rt△APF中，PF＝AP•cos∠APE，∴PF＝AF＝4×cos45°＝22，在Rt△AEF中，tan∠AEP=AF∴EF=AFtan30°∴PE＝PF+EF＝22+26故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，图形的折叠，解直角三角形等内容，解题的关键添加适当的辅助线构造直角三角形解决问题．2．A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥MN，若河岸平行，MN与河岸垂直，要想使路径AMNB最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】由题意，知MN⊥直线a（直线b），即MN为定值，因此只要AM+BN最短即可，过点A作河岸a的垂线，在垂线上取点A′，使AA′＝河宽，连接A′B交边岸b于点N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．由此作出判断．【解答】解：由题意，知MN⊥直线a（直线b），即MN为定值，因此只要AM+BN最短即可，如图，过点A作河岸a的垂线，在垂线上取点A′，使AA′＝河宽．连接A′B交边岸b于点N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．故选：D．【点评】本题考查了最短路线问题，垂线段最短，两点之间线段最短，解题关键是利用平移找出N点的位置．3．如图，将一块长方形纸片ABCD沿BD翻折后，点C与E重合，若∠ADB＝30°，EH＝3cm，则BC的长度为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．12cm【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】根据矩形性质得∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，根据∠ADB＝30°得∠CBD＝∠ADB＝30°，∠BDC＝60°，由翻折性质得∠EBD＝∠CBD＝30°，∠BDE＝∠BDC＝60°，BC＝BE，∠E＝∠C＝90°，进而得∠EBD＝∠ADB＝30°，则HB＝HD，在Rt△DEH中，根据EH＝3cm，∠EDH＝∠BDE﹣∠ADB＝30°得HD＝2EH＝6cm，则HB＝HD＝6cm，继而得BE＝BH+EH＝9cm，据此即可得出BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB，∵∠ADB＝30°，∴∠CBD＝∠ADB＝30°，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝60°，由翻折性质得：∠EBD＝∠CBD＝30°，∠BDE＝∠BDC＝60°，BC＝BE，∠E＝∠C＝90°，∴∠EBD＝∠ADB＝30°，△DEH是直角三角形，∴△HBD是等腰三角形，∴HB＝HD，在Rt△DEH中，EH＝3cm，∠EDH＝∠BDE﹣∠ADB＝60°﹣30°＝30°，∴HD＝2EH＝6cm，∴HB＝HD＝6cm，∴BE＝BH+EH＝6+3＝9（cm），∴BC＝BE＝9cm．故选：B．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，理解图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．4．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A与点A'重合，且落在四边形BCDE的内部a，已知∠1+∠2＝78°，则∠A的度数为（）A．39° B．38° C．30° D．35°【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理；多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】根据平角的定义和折叠的性质得∠1+∠2＝360°﹣2（∠AED+∠ADE），再证明∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A＝78°，即可解决问题．【解答】解：由折叠的性质得：∠A'ED＝∠AED，∠A'DE＝∠ADE，∵∠1＝180°﹣∠A'ED﹣∠AED，∠2＝180°﹣∠A'DE﹣∠ADE，∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AED+∠ADE），又∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A＝78°，∴∠A＝39°，故选：A．【点评】本题主要考查了翻折变换的性质以及三角形内角和等量等知识，熟记翻折变换的性质是解题的关键．5．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AN＝BN B．∠AMN＝∠BMN C．∠PAN＝∠PBN D．AP＝AN【考点】轴对称的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】D【分析】根据轴对称的性质，对所给选项依次进行判断即可．【解答】解：由题知，因为直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，所以AN＝BN，∠AMN＝∠BMN，∠PAN＝∠PBN，AP＝BP，显然只有D选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC．点D是边BC上的一点且∠ADB＝60°，将Rt△ABC沿直线AD折叠，使点B落到点B'的位置，延长AB'到点E，使AE＝AD，连接DE、CE，则下列结论：①∠B'DE＝15°；②DE⊥AC；③CE∥AB；④∠AEC＝120°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】展开与折叠；推理能力．【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的判定与性质逐个判断即可解答．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∵∠ADB＝60°，∠B＝90°，∴∠DAB＝30°，∵将Rt△ABC沿直线AD折叠，使点B落到点B的位置，∴∠AB'B＝∠B＝90°，∠ADB＝∠ADB'＝60°，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED=12（180°﹣∠DAB'）＝∴∠B'DE＝∠ADE﹣∠ADB'＝15°，即①正确；∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠ACB+∠CDE＝90°，∴∠CFD＝90°，即DE⊥AC，故②正确；∵AE＝AD，∴DF＝EF，∴AC垂直平分DE，∴EC＝CD，∴∠CED＝∠EDC＝45°，∴∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠B＝180°，∴CE∥AB，即③正确；∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝75°+45°＝120°，即④正确，综上，正确的有4个．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键，7．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是平面内的一个动点，连接EC、ED，且△CDE的面积始终等于长方形ABCD面积的16，连接EA，EB，则EA+EBA．213 B．42 C．45 【考点】轴对称﹣最短路线问题；三角形的面积；勾股定理的应用；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力．【答案】C【分析】过点E作EH⊥CD于点H，由△CDE的面积始终等于长方形ABCD面积的16可得EH=13AD，即得E点的轨迹为与AD的垂直且离D点13处的直线MN，然后作B关于直线MN的对称点B'，交直线MN于E'，连接E'A，E'B，则E'B＝E'B'，从而EA+EB＝E'A+E'B'，可知此时EA+EC的值最小，如图2【解答】解：如图1，过点E作EH⊥CD于点H，则S△由条件可知12∴EH=13∴E点的轨迹为与AD的垂直且离D点13处的直线MN∴作B关于直线MN的对称点B'，交直线MN于E'，连接E'A，E'B，则E'B＝E'B'，∴EA+EB＝E'A+E'B'，可知此时EA+EC的值最小，如图2，最小值为AB'的长．由题意，BB'＝2×23BC=43∴AB'=AB2∴EA+EB的最小值是45．故选：C．【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题、三角形的面积、勾股定理的应用、矩形的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意作出对称点找出EA+EB的最小值是关键．8．下列说法正确的有（）①到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；②关于某条直线对称的两个图形，对应点所连线段被对称轴垂直平分；③等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】轴对称的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】C【分析】根据相关知识点一一判断：①是外心的定义；②是轴对称的基本性质；③可通过等腰三角形的角度计算验证；④只有底边上的高、中线、角平分线才重合，因此错误．【解答】解：①到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点（外心），正确，符合题意；②轴对称图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分，正确，符合题意；③等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半（设顶角α，底角β，α+2β＝180°，夹角为90°-④等腰三角形只有底边上的高、中线、角平分线互相重合，腰上的不一定重合，错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查三角形的外心，等腰三角形的性质和轴对称的性质，解决此题的关键是熟练掌握各个知识点．9．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD⊥BC于D点，AB＝12，AD=63．若点E、F分别是线段AD、线段AB上的动点，则BE+A．6 B．12 C．63 D．【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．【答案】C【分析】根据AD⊥BC，作作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'F⊥AB于F，交AD于E，确定此时BE+EF的值最小，其最小值是B'F，根据勾股定理和三角形全等的性质可得结论．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，如图，作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'F⊥AB于F，交AD于E，∴AD是BB'的垂直平分线，∴BE＝B'E，根据垂线段最短可知此时BE+EF的值最小，其最小值是B'F，∵∠ABC＝60°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°，∴BD=12AB=12∴BB'＝12＝AB，∵∠ABD＝∠FBB'，∠ADB＝∠BFB'＝90°，∴AD＝B'F＝63，即BE+EF的最小值是63；故选：C．【点评】本题考查了轴对称的最短路径问题，含30°的直角三角形的性质，根据轴对称的最短路径问题正确作辅助线是解本题的关键．10．如图，等边△ABC，点D，E，F分别在边AC，AB，BC上，且DF⊥AC，将∠A沿直线DE翻折，恰使点A与点F重合，下列结论中错误的是（）A．FC＝2CD B．AF＝2DE C．EF⊥BC D．CF＝BF+AE【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】B【分析】根据等边三角形的性质，对称轴的性质，折叠的性质即可得到结论．【解答】解：A．∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DF⊥AC，∴∠CFD＝30°，∴FC＝2CD，故该选项不符合题意；B．连接AF交DE于G，根据对称性∠ADG＝∠FDG＝45°，AG＝FG，∠AGD＝∠FGD＝90°，∴∠DAG＝∠ADG＝45°，∴AG＝FG＝DG，∴AF＝2DG，∴AF≠2DE，故该选项不符合题意；C．由折叠的性质得∠DFE＝∠A＝60°，∵∠CFD＝30°，∴∠BFE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴EF⊥BC，故该选项不符合题意；D．∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BE＝2BF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∴AE+BE＝CF+BF，∴AE+2BF＝CF+BF，∴CF＝BF+AE，故该选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了折叠问题，三角形的中位线，平行线的性质，三角形的面积，解直角三角形．利用中点的性质得到对应的部分相等是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为80°．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】作点A关于CD的对称点A'，关于BC的对称点A''，连接A'A''交CD于N'，交BC于M'，此时△AM'N''周长最小，利用整体思想得出∠A'AN'+∠M'AA''＝50°，从而得出答案．【解答】解：作点A关于CD的对称点A'，关于BC的对称点A''，连接A'A''交CD于N'，交BC于M'，此时△AM'N''周长最小，∵∠DAB＝130°，∴∠A'+∠A''＝50°，∴∠A'AN'+∠M'AA''＝50°，∴∠M'AN'＝∠DAB﹣（∠DAN'+∠BAM'）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80°．【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形内角和定理等知识，运用整体思想是解题的关键．12．如图．△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C的度数之比为2：3：4，点D为BC上一个定点，点E，F分别是AB，AC上的两个动点（不与点A，B，C重合）．则∠A＝100°；当△DEF的周长最小时，∠EDF＝40°．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】40，100．【分析】设∠BAC＝2α，∠B＝3α，∠C＝4α，根据三角形的内角和定理列方程得到∠A＝2α＝40°；作点D关于AB的对称点H，点D关于AC的对称点G，连接HG交AB于E，交AC于F，则此时，△DEF的周长最小，连接AH，AD，AG，得到AH＝AD＝AG，求得∠HAB＝∠DAB，∠GAC＝∠DAC，由轴对称的性质得到∠AHE＝∠ADE，∠ADF＝∠AGF，于是得到结论．【解答】解：∵三个内角∠A、∠B、∠C的度数之比为2：3：4，∴设∠BAC＝2α，∠B＝3α，∠C＝4α，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴2α+3α+4α＝180°，∴α＝20°，∴∠A＝2α＝40°；作点D关于AB的对称点H，点D关于AC的对称点G，连接HG交AB于E，交AC于F，则此时，△DEF的周长最小，连接AH，AD，AG，∴AH＝AD＝AG，∴∠HAB＝∠DAB，∠GAC＝∠DAC，∴∠HAG＝2∠BAC＝80°，∴AHG+∠AGH＝180°﹣80°＝100°，由轴对称的性质得∠AHE＝∠ADE，∠ADF＝∠AGF，∴∠ADE+∠ADF＝∠AHG+∠AGH＝100°，∴∠EDF＝∠EDA+∠FDA＝100°，故答案为：40，100．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．13．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合，连接DE，可以探究得到：BCAB=12；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若PM＝2，点G是OM边上的动点，则PG+1【考点】胡不归问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】3．【分析】在OM下方作∠OMF＝30°，过点P作PH⊥MF于点H，过点G作GN⊥MF于点N，可得GN=12MG，PG+12MG＝PG+GN，当P、G、N三点共线时，PG+12MG＝PG+GN有最小值，且最小值即为PH的长，利用勾股定理和含【解答】解：如图，在OM下方作∠OMF＝30°，过点P作PH⊥MF于点H，过点G作GN⊥MF于点N，则∠PHM＝∠GNM＝90°，∴GN=12∴PG+12MG＝PG+结合图形可知，当P、G、N三点共线时，PG+12MG＝PG+GN有最小值，且最小值即为∵∠PHM＝90°，∠PMH＝∠OMP+∠OMF＝60°，∴∠HPM＝90°﹣∠PMH＝30°，∴HM=12PM＝∴PH=P∴最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了胡不归问题、含30度角的直角三角形以及翻折变换（折叠问题）折叠变换等知识点，正确作出辅助线构造轴对称﹣路线最短问题的基本图形求最短距离是解题的关键．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，点E在AB上，点H在CD上，将矩形ABCD沿EH折叠，使点A的对应点F落在DC的延长线上，EF交BC于点P，若PC＝3PB，则折痕EH的长为10．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】10．【分析】过点H作HQ⊥AB于点Q，则四边形BCHQ是矩形，由纸片折叠，可证△HEF是等腰三角形，设BE＝x，利用相似三角形的性质可用x表示相关线段，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图，过点H作HQ⊥AB于点Q，则四边形BCHQ是矩形，由题意可得：∴AE＝EF，∠AEH＝∠FEH，AB∥CD，BC＝AD＝3，∴∠AEH＝∠FHE，△EBP∽△FCP，∴∠FEH＝∠FHE，∴FH＝EF，∵BP：PC＝1：3，∴BP=∵△EBP∽△FCP，∴BECF设BE＝x，则FH＝EF＝AE＝6﹣x，∴PE=BE2+PB2＝PE2，∴x2解得x1∴BE＝1，CF＝3BE＝3，HF＝6﹣x＝5，∴QB＝CH＝HF﹣CF＝2，∴QE＝QB﹣BE＝1，∴HE=故答案为：10．【点评】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．15．在同一直角坐标系中，一个学生误将点A的横、纵坐标的次序颠倒，写为A（a，b），另一个学生误将点B的坐标看成关于y轴对称的点的坐标，写为B（﹣b，﹣a），则A，B两点原来的位置关系是关于x轴对称．（填“x”或“y”）【考点】坐标与图形变化﹣对称；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】x．【分析】根据题意，写出A，B两点原来的坐标，据此得出对称关系即可．【解答】解：由题知，因为点A的横、纵坐标的次序颠倒后为（a，b），所以点A坐标为（b，a）；因为点B关于y轴对称的点的坐标为（﹣b，﹣a），所以点B坐标为（b，﹣a），所以点A和点B关于x轴对称．故答案为：x．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称及关于x轴、y轴对称的点的坐标，能根据题意求出点A和点B的坐标，并据此得出对称关系是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，作出四边形ABCD的对称轴l；（2）如图2，BE⊥AD，过点D作AB的垂线DF．【考点】作图﹣轴对称变换．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】（1）见解答．（2）见解答．【分析】（1）作直线AC，即为所求的直线l．（2）连接AC交BE于点M，作直线DM，交AB于点F，则直线DF即为所求．【解答】解：（1）如图1，作直线AC，则直线AC即为所求的直线l．（2）如图2，连接AC交BE于点M，作直线DM，交AB于点F，则直线DF即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键．17．作图题：（1）如图1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1．（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）如图2是由9个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中2个小正方形涂黑，请用3种不同的方法分别在图中再将2个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形．【考点】利用轴对称设计图案．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】（1）如图，△A1B1C1就是△ABC关于直线l的对称图形．（2）如图所示．【分析】（1）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称图形；以直线l为对称轴，分别作A点的对称点A1，B的对称点B1，C的对称点C1，顺次连接A1B1C1，即可解答；（2）根据轴对称图形的性质先确定一个对称轴，再找出已涂黑小正方形的关键点的对称点，画出图形即可，因为对称轴有很多种，所以图形就有很多种．【解答】解：（1）以直线l为对称轴，分别作A点的对称点A1，B的对称点B1，C的对称点C1，顺次连接A1B1C1，△A1B1C1就是△ABC关于直线l的对称图形；（2）根据轴对称图形的性质先确定一个对称轴，再找出已涂黑小正方形的关键点的对称点，画出图形即可，如图所示．【点评】本题主要考查轴对称变换作图，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）△ABC的面积为7；（3）请你在y轴上找一点P，使得∠BPO＝∠CPO，请你直接写出点P的坐标．【考点】作图﹣轴对称变换．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求，并写出点A1的坐标（1，﹣2）；（2）7；（3）如图，点P即为所求．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（3）作点C关于y轴的对称点C′，连接BC′，延长BC′交y轴于点P，连接PC即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，并写出点A1的坐标（1，﹣2）；（2）△ABC的面积＝3×5-12×3×3-12×2×1-故答案为：7；（3）如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），．C（3，4）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成对称，画出△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1三个顶点坐标A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4）；（2）在y轴上是否存在点Q，使得S△AOQ=12S△ABC．如果存在，求出点（3）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出P的坐标（2，0）．【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；三角形的面积．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）如图，△A1B1C1，即为所求，A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4）；（2）存在．设Q（0，3.5）或（﹣3.5，0）；（3）如图，点P即为所求，P（2，0）．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）设Q（0，m），构建方程求解；（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，连接PB，点P即为所求．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求，A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4）．故答案为：（﹣1，1），（﹣4，2），（﹣3，4）；（2）存在．设Q（0，m），则有12×|m|×1=12（3×3-12×2×3-1解得m＝±3.5，∴Q（0，3.5）或（﹣3.5，0）；（3）如图，点P即为所求，P（2，0）．故答案为：（2，0）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积，轴对称﹣最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题．20．如图，在直角坐标平面内，已知点A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）已知点P（a﹣1，﹣2a+3），直线PB1∥x轴，求点P的坐标．【考点】作图﹣轴对称变换．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）P（-32，【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）根据平行x轴的点的横坐标相等构建方程求出a可得结论．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）∵直线PB1∥x轴，B1（2，4），P（a﹣1，﹣2a+3），∴﹣2a+3＝4，∴a=-∴P（-32，【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．

考点卡片1．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．2．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．3．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．4．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．6．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．7．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．8．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．9．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．10．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．11．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：212．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点