波耳共振仪实验

波耳共振仪实验

基科22张家琳022565

实验•日期2003年3月28日

1、学习测量振动系统基本参数的方法；

2、研究波耳共振仪摆轮受迫振动的振频特性和相频特性，观察共振现象：

3、观测不同阻尼对受迫振动的影响。

1、有粘滞阻尼的自由阻尼振动

弹簧与摆轮组成一个振动系统，其转角，的方程为：

j驾+7㈣+k0=0（忽略弹簧的等效转动惯量）

drdt

其中J为转轮转动惯量，攵为弹簧劲度系数，/为阻尼力矩系数

记g为无阻尼时候自由振动的固有角频率，其值为定义临界

阻尼力矩系数九=2而=24%,阻尼比为阻尼力矩系数7与九之比，记作

C=y=y

Yc2y[u

当，＜1时，自由阻尼振动运动方程的解为：

。⑺=a1％cos（Jl-.卬+&）

当4工。时，这是一个振幅不断衰减的振动，阻尼振动周期为：

Td=2兀

2、周期外力矩作用下的受迫振动

在周期外力矩Mcosd激励下的运动方程和方程的通解分别为

2

rd0dG,Z1“

J——4-7——+k6=Mcos6?/

dt1dt

6（f）=9f7"COS（J1--卬+4）+0mCOS（6^-0）

这个通解是阻尼振动0产COS（Jl—72%+a）和频率同激励源的简谐振

动/COS（3/-0）的叠加。其中阻尼振动反映一定初始条件后的过渡过程，ff8

时该项为0,而后者则是当，时的稳态解。

当，>>丁时，稳态解的振幅和相位差分别为：

Mik

血-修/巾+时/城

2久<y/g)

(b-arctan--------——彳

\-(O21CO^

其中。的取道范围为0<0<乃，反映了摆轮振动总是滞后于激励源的振动。

3、弹簧支座角位置

当连杆E的长度和摇杆M的长度远大于偏心轮偏心半径r时，若偏心轮的电

机以角速度。匀速旋转，可以证明，对称调节时，弹簧B的支座的偏转角的一阶近

似式可以写成

a(t)=a,coscot=—coscot

mnR

其中%”是摇杆摆幅，R是连杆E与摇杆M的接点到(摇杆与摆轮的共同)转

轴中心的距离。

4、支座运动时的受迫振动运动方程以及解

当弹簧支座运动，运动的支座形成了一-个激励源，弹簧总转角：

0-a(t)=0-amcos(ot

仿照上例，可以求得固定坐标系中转角0的运动方程：

d20dO,

Jt——+/——+&夕=ka,„coscot

dt2‘力

振幅：然二,七”

J(l-02/g2)2+(2./g)2

相位差：=arctan------------彳

1一疗/4~

可以看到，它和弹簧支座固定，摆轮受周期外力矩作用时的运动

方程形式上完全一致，等效外激励力矩的振幅为女巴„(这是由于波耳共振仪中电磁

阻尼线圈K是固定不动的)。

注意在某一阻尼状态卜.，测量其它阻尼档阻尼比，等参数与测定受迫振动的幅频

特性和相频特性曲线要连续完成，以避免剩磁影响(由于线圈用直流励磁，可能因

材料剩磁或磁滞现象而使阻尼状态与旋钮位置不成单值对应关系)。

•相频、幅频特性要在稳定后测量，即，〃<().01

•共振点附近要注意随时调节切勿使振幅过大，最大振幅不大于220度，以免损坏

波耳共振仪。受迫振动测量时阻尼开关位置适宜选3、4或5档。

1、最小阻尼时测定摆轮振动的固有圆频率①与振幅0,的关系

阻尼很小时，”近似等于固有圆频率例)，但力随振幅区仍有微小变化。

①测量通过测连续10个周期的时间，e,通过测同期振幅的首尾平均值。

2、测定最小阻尼比：通过对数缩减率求

•摆轮摆动后，每隔1个(或N个)周期读取振幅值2

要求：220>^I(max)>120,30>^J(min)>15

・计算对数缩减率A可以利用逐差法

•二=A/匹吗不求得阻尼比

3、测量其它阻尼档阻尼比，等参数

选定2-3种阻尼状态，仿照上述方法求4并计算其不确定度，再分别求出

r,A,Q以及A的不确定度。

4、测定受迫振动的幅频特性和相频特性曲线

保持阻尼状态不变，调节强迫激励周期旋钿以改变。，测定幅频和相频特性

曲线。要求：

•每条曲线至少依据II个实验数据点，其中必须要包括共振点，共振点两侧数

据分布合理，

•将用此法测定的g与步骤1中的结果作比较。

•逐点求实测相位差。与理论值。=arctan纥/叱的偏差

1—CD~/CDQ

•对振幅测得值与理论值仇”二一进行过原点的

2/42)2+(2-//)2

直线拟合，求斜率相对标准差。设a,”=4.5。

■

1、最小阻尼时测定摆轮振动的固有圆频率切与振幅W/。的关系

瓦/。244214186162141123105

107；/s15.47515.45815.44315.43115.42515.42015.419

91796856473319

107；/515.41815.41715.41215.40915.40515.40215,393

最小阻尼时固有圆频率与振幅的关系

4.085

4.080

<

®4.075

回

忆4.070

园4.065

4.060

4.055

A1XI223

500050005000

在最小阻尼情况卜，振幅变化时，固有圆频率在小数点后第2位有微小变化。而且

。在振幅处于80~13()之间比较稳定，而接下来的测量较多的数据集中在这个段中，

因此基本上可以认为固有圆频率是固定不动的。

2、测定最小阻尼比:

注：以下计算过程中的数据均未进行修约，修约数据到数据汇总时再进行。

每隔5个周期记录一次数据•：

瓦/。212203194185176168160153146138131125

0j/a1181121071019691868178737066

心/。646058545249464340383633

利用逐差法:

In%-In-0.902239In6>28-ln/910-0.938270

In%)-M仇-0.918757In%9-M]-0.923954

In%-In&

-0.911149In63G-In%-0.936493

In022一In4-0.929896h】%-In仇3-0.942043

1n

仙23-4-0.921989ln6>32-ln<914-0.957299

Ing-In&-0.934309In%-In%-0.983949

In唯一In%-0.916291InK-ln%-0.977534

In%一M%-0.936093In%-In“7-0.980829

In927-In/-0.923164In%6-In，18-1.014352

利用公式4=-NN=——!—D=—!—y(y(rt_/)+/-y：)

17

(n-I)Cx/(«-/)ft〃

,1[Z(。-，)2

-1

(=A/14万2+A。;Q三=；r=2J/y=(^y0)

z(15)=2.13nUN=2.13*sh]

c<=4储=4储

K=(4病、A?严=4=(4/+工严A

求得A=0.010462105,sbl=0.000390204,^=0.001665094,

Q=300.2834345,r=147.389272s,(/A=0.000831135,

U”0.000132279

所以：A=0.01()4±0.(XX)8,4=0.00166±0.00013

3、测量其它阻尼档阻尼比4等参数(与4一起)

阻尼档：第1档

每隔5个周期记录一次数据：

0j/°2211961751561371221089585

0j/°756760524641363126

类似测定最小阻尼比的情况可以求得：

2=128.416958,r=63.03139035s

A=0.0245±0.0030,<=0.00389±0.()0048

阻尼档：第2档

每隔1个周期记录一次数据:

0j/°220207194183172161151141133124117109

访/。1039690857975706562585552

瓦/。484642403835333028262523

类似测定最小阻尼比的情况可以求得：

0=49.26926,r=24.18302s

A=0.0638±0.0005,4=0.01014±0.00008

4、测定受迫振动的幅频特性和相频特性曲线

阻尼档：第3档

数据1：每隔1个周期记录一次数据：

瓦/。19617615814212911610594847466

瓦/。5953484238343027242118

类似测定最小阻尼比的情况可以求得：

。=28.01392,7=13.75018s

A=0.1122±0.0020,<=0.01785±0.00032

数据2：每隔1个周期记录一次数据:

瓦/。24020818616614913312010796857667

瓦/。605348423834302623201715

类似测定最小阻尼比的情况可以求得:

0=26.79908,r=13.1539s

A=0.1172±0.0027,^=0.01866±0.00043

幅频、相频特性曲线测显：(数据处理采用数据1)

26（3/3（））

其中:相位差理论值。=arctan

1—co~/g"

0j/0T/s0/。理论值。/。偏差A。/。

131.315169.6173.64.0

261.419166.6167.91.3

561.488155.2153.4-1.8

741.505145.9143.7-2.2

931.517135.8132.5-3.3

1231.530116.4113.6-2.8

1351.54096.494.2-2.2

1361.54288.890.01.2

1351.54585.283.8-1.4

1261.55564.064.80.8

851.57538.940.11.2

661.59227.129.22.1

461.62017.519.92.4

311.66911.812.70.9

振幅测显值与理论值直线拟合结果(作过原点的直线拟合):

ct

振幅理论值：2〃=/一

-J(l—CO~/69()~)~+(24(0/g)~

斜率斜率标准差斜率相对标准差

1.0629320540.0073679060.006931681

阻尼档：第4档

每隔1个周期记录一次数据:

0j/°2091751461231038671615143363025211714

类似测定最小阻尼比的情况可以求得:

2=17.71844,r=8.69681s

A=0.1774±0.0025,=0.02822±0.00040

幅频、相频特性曲线则量:

面/。T/s族/。理论值。/。偏差

121.336165.1168.93.8

181.392162.3164.62.3

361.464151.6151.5-0.1

501.490142.0140.6-1.4

641.509128.8127.5-1.3

761.526112.2110.3-1.9

821.534101.6100.4-1.2

831.54291.290.0-1.2

831.54685.184.8-0.3

801.55474.474.60.2

761.56067.267.60.4

661.57452.353.91.6

491.60334.336.01.7

341.63624.625.50.9

261.68417.317.70.4

振幅f量值与理论值耳线拟合结果（作过原点的直线拟合）：

_____斜率________斜率标准差斜斜率率相相对对标标准准差差

1.0256489880..0000664400772236--0..006247007

阻尼档：第5档

每隔1个周期记录一次数据:

0j/°2351811441159171564434272116

类似测定最小阻尼比的情况可以求得：

0=13.01301,r=6.383085s

A=0.2416±0.0050,<=0.03842±0.00079

幅频、相频特性曲线测量:

瓦/。T/s族/。理论值。/。偏差

161.360159.3162.93.6

201.395156.5158.92.4

261.431151.7152.60.9

321.454147.5146.5-1.0

401.476141.1138.3-2.8

521.503122.2123.00.8

621.526108.2104.3-3.9

661.53697.494.8-2.6

661.54191.690.0-1.6

661.54686.185.2-0.9

641.55873.174.11.0

581.57657.059.72.7

491.59743.647.13.5

401.62333.136.53.4

271.68121.823.82.0

振幅测量值与理论值直线拟合结果（作过原点的直线拟合）:

斜率斜率标准差斜率相对标准差

1.1076199030.0070519650.006366773

受迫振动的幅频特性和相频特性曲线:

相频特性曲线

--阻尼档3

阻尼档4

cn

阻尼档5

受迫振动圆频率与固有圆频率之比

幅频特性曲线

受迫振动圆频率与固有圆频率之比

各个阻尼档阻尼参数汇总:

阻尼档阻尼档0阻尼档1阻尼档2阻尼档3阻尼档4阻尼档5

A0.0104621050.0244641860.063767029(1.1121618690.1773770350.241597708

%0.0008311350.0030375870.0005028910.001989040.0024976620.004961052

c0.0016650940.0038935670.0101483150.0178482730.028219190.038423076

Ur0.0001322790.0004834368.00252E-050.0003164140.0003970410.000787828

Q300.2834346128.416958249.2692611928.0139154117.7184392113.01301332

T!s147.389275263.0313903524.183021313.750178048.6968097876.383085292

幅频曲线中振幅测得值与理论值的斜率相对标准差0.0063667730.0062470070.006931681

幅频曲线中振幅测得值与理论值的斜率1.0629320541.0256489881.107619903

修约后的数据汇总为:

阻尼

阻尼档0阻尼档1阻尼档2阻尼档3阻尼档4阻尼档5

档

A0.01050.02450.06380.11220.17740.2416

UA0.00080.00300.00050.00190.00240.0049

7I.67E-033.89E-031.0I5E-021.78E-022.82E-023.84E-02

%0.I3E-030.48E-030.008E-020.03E-020.03E-020.08E-02

Q300.28128.4249.2728.0117.7213.01

r/s147.3963.0324.1813.758.706.38

幅频曲线中振幅测得值与理论值的斜率相对标准差0.64%0.62%0.69%

幅频曲线中振幅测得值与理论值的斜率1.0631.0261.108

•从表中可以很清楚地看到，、Q、r都可以表征阻尼的大小。

•对振幅测得值与理论值的直线拟合后，其斜率相对标准差较小，说明这两者的线性相关

性很好，但其斜率值均略大于I,可能是因为生“略大于4.5。，并不严格相等，利用表

中的数据可以近似求得见〃之4.8。，由于数据较少，这个结果并不非常准确。

•相位差理论值与测量值的对比（以阻尼档3为例）

阻尼档3：相位差理论值与测量值对比

楣测量值

坦

□ZI理论值

0.911.11.2

受迫振动圆频率与固有圆频率之比

可以看到，振幅为13的数据点与理论值偏差比较大。可能的原因有：

1）、在振幅较小的时候，仪器的固有圆频率发生了偏差，以下对此可能进行分析:

最小阻尼时测定摆轮振动的固有圆频率/与振幅2/。的关系

0j/°244214186162141123105

107；/515.47515.45815.44315.43115.42515.42015.419

瓦/。91796856473319

10万/s15.41815.41715.41215.40915.40515.40215.393

阻尼档3时测定摆轮振动的固有圆频率①与振幅内/。的关系

Oj!Q202180161143127113101

61.5451.5441.5431.5421.5421.5421.542

OjlQ90797061554842

Td/s1.5421.5421.5411.5411.5411.5401.539

瓦/。363126221815

15391.5381.53715361.5341.531

注：此表中数据是后来单独测量的，考虑到剩磁等，数据可能有一些偏差。

以下分析只是定性的分析。

固有圆频率与振幅的关系

4.110

4.100

4.090

—阻尼档3

4.080

—阻尼档3

4.070

4.060

4.050

3OO

振幅

固有圆频率与振幅的关系在振幅小于30时不同阻尼档之间有较大的偏差，阻

尼档3时固有【同频率的变化很大。对此对原数据进行修正：