山东省济南市历城二中高三月份冲刺模拟数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精山东省历城二中4月份高考冲刺模拟试题数学（理）试题命题学校：德州一中命题人：孟凡志马英第Ⅰ卷说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟,满分150分注意事项:答第Ⅰ卷前，考生需将自已的姓名、考号、科目、试卷类型涂写在答题卡上。每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干静，再选涂其他选项一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的．1．(原创,容易）复数z满足z（2+i）=1+3i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解答】解：由z（2+i）=1+3i，得,则复数z在复平面内对应的点的坐标为：(1，1)，位于第一象限．故选:A．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．2．（原创，容易）已知集合，B={x|x﹣1≥0｝，则A∩B为（）A．[1,2］ B．［1,2） C．[﹣2，∞) D．(﹣2，2］【答案】B【解答】解：∵集合=｛x｜﹣2≤x＜2}，B={x|x﹣1≥0}=｛x|x≥1｝，∴A∩B=｛x|1≤x＜2｝=[1，2）．故选：B．【考点】交集及其运算3．（选编,容易）某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是（）A．130 B．140 C．133 D．137【解答】：C【解答】解：由题意可知：90﹣100分的频率为0.005×10=0。05，频数为5人则100﹣110分的频率为0.018×10=0。18，频数为18人110﹣120分的频率为0。03×10=0.3，频数为30人120﹣130分的频率为0.022×10=0。22，频数为22人130﹣140分的频率为0。015×10=0.15，频数为15人140﹣150分的频率为0。010×10=0.05，频数为10人而优秀的人数为20人，140﹣150分有10人，130﹣140分有15人，取后10人∴分数不低于133即为优秀，故选：C．【考点】频率分布直方图．4．（选编，中档）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+12【答案】:A【解答】解:由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，V==6π+12，故选A．【考点】由三视图求面积、体积．考查了常见几何体的三视图与体积计算，属于基础题．5．（选编，中档）变量x，y满足约束条件则目标函数的取值范围是（）A． B．［，6］ C．［﹣2,3］ D．［1，6］【答案】A【解答】解：不等式表示的区域如图所示，三个交点坐标分别为（0,1），（,3），(2，0）目标函数z=3|x｜+|y﹣3｜=3x﹣y+3，即y=﹣3x+z﹣3，∴目标函数过（2，0）时，取得最大值为9,过（，3)时，取得最小值为∴目标函数z=3｜x｜+｜y﹣3｜的取值范围是故选A．【考点】简单线性规划的应用．考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题6．（选编,容易）已知直线平面，直线平面，下面四个结论：①若，则；②若，则；③若则；④若，则，其中正确的是(）A．①②④ B．③④ C．②③ D．①④【答案】：D．【解答】解：由直线平面,直线平面，知:在①中，若,则由线面垂直的性质定理得，故①正确；在②中，若,则与平行或异面，故②错误;在③中，若，则与不一定垂直，故③错误；在④中，若，则由线面平行的判定定理得，故④正确．故选：D．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系．7．（选编，容易）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A． B． C． D．【答案】：B【解答】解：由题意可知A=2,T=4（﹣）=π,ω=2，因为：当x=时取得最大值2，所以：2=2sin（2×+φ），所以：2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z,因为：｜φ｜＜,所以:可得φ=﹣,可得函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x﹣)．故选：B．【考点】由y=Asin(ωx+φ）的部分图象确定其解析式．8．(选编，中档)已知f(x)=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定:当|f（x）｜≥g（x）时，h(x）=|f（x)｜；当｜f（x）|＜g（x）时，h（x)=﹣g（x），则h(x）（）A．有最小值﹣1,最大值1 B．有最大值1，无最小值C．有最小值﹣1，无最大值 D．有最大值﹣1，无最小值【答案】：C【解答】解:画出y=|f（x）|=｜2x﹣1|与y=g（x）=1﹣x2的图象，它们交于A、B两点．由“规定”，在A、B两侧,｜f(x）｜≥g(x）故h（x）=｜f（x)｜；在A、B之间，|f（x)｜＜g（x），故h（x）=﹣g（x）．综上可知,y=h（x）的图象是图中的实线部分，因此h(x）有最小值﹣1,无最大值．故选C．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法。考查分段函数的解析式及其图象的性质，利用了数形结合的方法，是一道中档题;9、（改编，较难)已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根分别为一个椭圆,一个抛物线，一个双曲线的离心率，则的取值范围（）A、B、C、D、【解答】C【解答】解：令f(x）=x3+ax2+bx+c∵抛物线的离心率为1，∴1是方程f（x）=x3+ax2+bx+c=0的一个实根∴a+b+c=﹣1∴c=﹣1﹣a﹣b代入f（x)=x3+ax2+bx+c，可得f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1)（x2+x+1）+a(x+1)（x﹣1）+b(x﹣1）=(x﹣1）［x2+（a+1)x+1+a+b]设g(x）=x2+（a+1）x+1+a+b，则g（x）=0的两根满足0＜x1＜1，x2＞1∴g（0）=1+a+b＞0，g(1）=3+2a+b＜0作出可行域，如图所示的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，∴故答案为：C【考点】抛物线的简单性质；函数的零点与方程根的关系．10．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】：B【解答】解：根据题意，可知在区间上单增,且是奇函数；由函数有两个零点，等价于方程在区间上有两个零点，令，则满足，得.故选:B．【考点】本题考查二次函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用,关键点和难点是判断的单调性和奇偶性．第Ⅱ卷二、填空题：本题共5小题，每题5分,共25分11．（改编，中档）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．【答案】﹣6【解答】解：该程序从i=1开始，直到i=4结束输出S的值，循环体被执行了3次①i=1,满足i＜4，由于i是奇数,用S﹣i2代替S，得S=﹣1,用i+1代替i,进入下一步;②i=2，满足i＜4，由于i是偶数，用S+i2代替S，得S=3,用i+1代替i,进入下一步;③i=3,满足i＜4,由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣6，用i+1代替i，进入下一步；④i=4，不满足i＜4，结束循环体,并输出最后一个S值故答案为:﹣6【考点】循环结构．12．（选编，容易）在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为2．【答案】2．【解答】解：Tr+1==ar，令3﹣=0,解得r=2．∴=60，a＞0，解得a=2．故答案为：2．【考点】二项式系数的性质．考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13、（改编，中档）已知直线过圆的圆心，则的最小值为.【答案】：4【解答】解：圆心为，则代入直线得：，即，则有，（当且仅当时取等号)故答案填：4【考点】：不等式14．(选编,中档）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为。【答案】【解答】,===【考点】几何概型与定积分15.(选编，难）设函数，则满足的的取值范围是_________.【答案】【解答】若，显然成立.则有或，解得,若,由，可知,所以,得故答案是或【考点】函数迭代的求解及常用方法，利用好数形结合、分类讨论的思想是解答本题的关键．三．解答题（共6小题共75分,)16．(改编，中档）（本题12分）已知向量，，f（x）=．（1)求函数f（x）的最小正周期及f(x）的最大值;（2）在锐角三角形ABC中,角A,B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=1，a=2，求三角形ABC面积的最大值．【解答】解:(1）易得，则f（x）==﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣)．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分∴f（x）的最小正周期T==π,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分当时，即，f（x）取最大值是．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分（2)∵f()=sin（A﹣）+=1，∴sin(A﹣）=,∴A=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴12=b2+c2﹣bc，∴b2+c2=12+bc≥2bc，∴bc≤12．(当且仅当b=c时等号成立)┅┅┅10分∴S==bc≤3．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分∴当三角形ABC为等边三解形时面积的取最大值是3．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象，解三角形17．(选编，中档题）集成电路E由3个不同的电子元件组成,现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．(Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率;(Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【解答】解：(Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P(B）=，P(C）=．依题意,集成电路E需要维修有两种情形:3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．┅┅┅2分②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A)+P（B）+P（C）┅┅┅4分=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分(Ⅱ)设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分而X=100ξ，P（X=100ξ)=P(ξ=k）=••,k=0，1，2．X的分布列为：X0100200P┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分∴EX=0×+100×+200×=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分【考点】相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差．18．(选编，中档题）（本小题满分12分）圆O上两点C,D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧于点G，交弦BD于点E,F为线段BC的中点．（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD;（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为直二面角,且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．【解答】证明：(Ⅰ)∵OF为△ABC的一条中位线,∴OF∥AC,又OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OF∥平面ACD．又∵OG为∠DOB的平分线,∴OG⊥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，∴OG∥AD，又OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD,∴OG∥平面ACD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分又∵OG，OF为平面OGF内的两条相交直线，∴平面OGF∥平面CAD．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分(Ⅱ)∵O为AB的中点，∴CO⊥AB,∵平面CAB⊥平面DAB，平面CAB∩平面DAB=AB,OC⊂平面ABC，∴CO⊥平面DAB，又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°,∴AD=1,又OG∥AD，OG=1,OA=1,∴四边形ADGO为菱形，∠AOG=120°，设DG中点为M，则∠AOM=90°，即OM⊥OB，∴直线OM，OB,OC两两垂直，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分以O为原点，以OM，OB,OC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则B(0，1，0)，C(0,0，1）,D(，,G（，，F（0，，）．∴=(，，=（0，﹣1,1)，=(，﹣，0）．设平面BCD的法向量为=（x，y,z)，则，∴，令y=1,=（,1,1)．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分∴=1，｜｜=1，=．∴=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分∴直线FG与平面BCD所成角的正弦值为．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分【考点】直线与平面所成的角；平面与平面平行的判定．空间角的计算，空间向量在立体几何中的应用．19、（原创,中档题）(本小题满分12分）已知在数列中,,其前项和为，且证明是等差数列，并求数列的前项和若求数列的前项和【解答】（1）当时，化简得即,又所以数列为以1为首项，2为公差的等差数列,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分，则==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分（2）由（1）得所以,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分所以,①，②②得，=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分【考点】数列的概念、通项公式及数列求和20．已知函数,对任意实数，都有成立。(Ⅰ）对任意实数,函数恒成立，求实数的取值范围;(Ⅱ）求证：，.【解答】解:（Ⅰ)解：，即得┅┅┅┅┅┅1分，┅┅┅┅┅┅2分当时，因为，所以，在上单调递减，此时与不符,（舍）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分当时，令，若即时，，，在上单调递增。成立┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分若即时，设的零点为，则，.所以有。则当时，,，在上单调递减，与不符，（舍）。┅┅┅┅┅┅┅┅5分综上：实数的取值范围是.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分(Ⅱ）由（Ⅱ）知，当时，恒成立.即,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分令则有，即┅┅┅┅┅┅10分所以迭加有┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分所以故成立。┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分【考点】函数零点,利用导数研究函数不等式恒成立问题,21。(选编，较难）（本小题满分14分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为,点在椭圆C上，满足。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)直线过点,且与椭圆只有一个公共点,直线与的倾斜角互补,且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间）。（ⅰ)求证:；（ⅱ）是否存在直线，使得直线、、、的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程；若不能,请说明理由。解：（Ⅰ）设，则=,所以。┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分因为=4，所以。┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分故椭圆C的标准方程为。┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分（Ⅱ）(ⅰ)设方程为，与联立,消得由题意知，解得.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分因为直线与的倾斜角互补，所以的斜率是。设直线方程：，，联立，整理得，由，得，，;┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分直线、的斜率之和┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分所以关于直线对称，即，在和中,由正弦定理得，，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分又因为,所以故成立。┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分(ⅱ）由（ⅰ）知，,，.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分假设存在直线,满足题意.不妨设，，若按某种排序构成等比数列，设公比为，则或或.所以，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分则，此时直线与平行或重合,与题意不符,故不存在直线，满足题意.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分【考点】椭圆的简单性质．椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和斜率公式,考查正弦定理的运用,考查化简整理的运算能力。山东省部分重点中学2017年高考冲刺模拟（二）数学（理）试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】C9、【答案】C10．【答案】B二、填空题：本题共5小题,每题5分，共25分11．【答案】﹣612．【答案】2．13、【答案】：414．【答案】15.【答案】三．解答题（共6小题共75分，)16．【解答】解:（1)易得，则f（x）==﹣cos2x+sin2x=sin(2x﹣）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分∴f(x）的最小正周期T==π，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分当时，即，f(x)取最大值是．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分（2）∵f（）=sin（A﹣）+=1，∴sin（A﹣)=，∴A=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴12=b2+c2﹣bc，∴b2+c2=12+bc≥2bc，∴bc≤12．(当且仅当b=c时等号成立）┅┅┅10分∴S==bc≤3．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分∴当三角形ABC为等边三解形时面积的取最大值是3．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分17．【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A)=,P（B）=,P（C）=．依题意,集成电路E需要维修有两种情形:3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P(）P(）=××=．┅┅┅2分②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P(B）+P（C）┅┅┅4分=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分而X=100ξ,P（X=100ξ)=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．X的分布列为：X0100200P┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分∴EX=0×+100×+200×=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分【考点】相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量的期望与方差．18．【解答】证明：（Ⅰ）∵OF为△ABC的一条中位线，∴OF∥AC,又OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OF∥平面ACD．又∵OG为∠DOB的平分线，∴OG⊥BD,∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD,∴OG∥AD，又OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OG∥平面ACD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分又∵OG,OF为平面OGF内的两条相交直线,∴平面OGF∥平面CAD．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分(Ⅱ）∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，∵平面CAB⊥平面DAB,平面CAB∩平面DAB=AB，OC⊂平面ABC，∴CO⊥平面DAB，又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1,又OG∥AD，OG=1，OA=1,∴四边形ADGO为菱形，∠AOG=120°，设DG中点为M,则∠AOM=90°，即OM⊥OB，∴直线OM,OB，OC两两垂直，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分以O为原点,以OM，OB,OC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则B（0，1，0），C(0,0，1)，D(,，G（，,F（0，,）．∴=（，，=(0，﹣1，1），=（，﹣，0）．设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1,=（，1，1)．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分∴=1,||=1,=．∴=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分∴直线FG与平面BCD所成角的正弦值为．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分19、【解答】（1）当时，化简得即,又所以数列为以1为首项,2为公差的等差数列，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分，则==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分（2）由（1）得所以，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分所以，①，②②得,=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分20．【解答】解：（Ⅰ）解：，即得┅┅┅┅┅┅1分，┅┅┅┅┅┅2分当时，因为，所以,在上单调递减，此时与不符，（舍)┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分当时，令，若即时，,，在上单调递增。成立┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分若即时，设的零点为,则，。