你碰到过的数学模型-航行问题-甲乙两地相距750公里-船从甲到乙顺水航行需30小时-从乙到甲逆水航行需5

你碰到过的数学模型-”航行问题”甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少？解：用x表示船速，y表示水速，列出方程：(x+y)×30＝750(x-y)×50=750求解得到x=20，y=5，答：船速每小时20千米。航行问题建立数学模型的基本步骤·作出简化假设（船速、水速为常数）；·用符号表示有关量（x，y表示船速和水速）；·用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；·求解得到数学解答（x=20,y=5）；·回答原问题（船速每小时20千米）；建立数学模型的全过程现实对象的信息数学模型的解答数学模型现实对象的解答表述（归纳）验证解释求解（演绎）数学世界现实世界表述：根据建模的目的和已知信息将实际问题翻译成数学问题求解：选择适当的数学方法求得数学模型的解答解释：将数学语言表述的解答翻译回实际对象验证：用现实对象的信息检验得到的解答实践理论实践§2数学建模示例

示例1.椅子能在不平的地上放稳吗？本节讨论的问题来源于日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？让我们试试看。示例1.（1）模型准备仔细分析本问题的实质发现：本问题与椅子脚、地面及椅子脚和地面是否接触有关。如果把椅子脚看成平面上的点，并引入椅子脚和地面距离的函数关系就可以将问题与平面几何和连续函数联系起来，从而可以勇几何知识和连续函数知识来进行数学建模。示例1.（2）模型假设为了讨论问题方便，对问题进行简化，先做出如下三个假设：（1）椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一点，且四脚连线使正方形（对椅子的假设）（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断（对地面的假设）（3）椅子房子地面上至少有三只脚同时着地（对椅子和地面之间关系的假设）示例1.（3）模型构成用数学语言把椅子位置和四脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性,用θ(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地着地－椅脚与地面距离为零,距离是θ的函数四个距离(四只脚)两个距离正方形对称A,C两只脚与地面距离之和~f(θ)B,D两只脚与地面距离之和~g(θ)正方形ABCD绕O点旋转示例1.（3）模型构成用数学语言把椅子位置和四脚着地的关系表示出来f(θ),g(θ)是θ的连续函数（假设2）f(θ),g(θ)至少一个为零（对任意θ，假设3）设θ＝0时，f(θ)>0,g(θ)＝0示例1.（4）数学命题已知:f(θ),g(θ)是θ的连续函数,对任意θ,f(θ)·g(θ)

＝0,且g(0)＝0,f(0)>0.证明:存在θ0,使f(θ0)＝g(θ0)＝0示例1.（5）模型求解给出一种证明方法将椅子旋转90o,对角线AC和BD互换.由g(0)＝0,f(0)>0,知f(π/2)=0,g(π/2)>0.令h(θ)＝f(θ)-g(θ),则h(0)>0和h(π/2)<0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质(介值定理),必存在θ0,使h(θ0

)=0,即