【技巧归纳+能力拓展】专项突破三 概率与统计（考点2 概率的实际应用）(解析版)

专项三概率与统计

考点2概率的实际应用

大题拆解技巧

【母题】(2020年全国I卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:累计负两场

者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一

场比赛，负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛，直至其中

一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜

的概率都为，

⑴求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

【拆解I】已知条件不变，求甲连胜四场的概率.

【解析】记事件M为“甲连胜四场”，则P(M尸(1)44.

216

【拆解2］已知条件不变，求需要进行第五场比赛的概率.

【解析】记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，

则四局内结束比赛的概率

P=P(ABAB)+P(ACAC)+PiBCBC)+P(BABA)=4x(1)4=-,

24

所以需要进行第五场比赛的概率

P=I-P'44

【拆解3】已知条件不变，求甲赢的概率.

【解析】记事件A为甲输.事件B为乙输，事件C为丙输，事件D为甲赢，则甲赢的基本事件为

BCBC,ABCBC,ACBCB.BABCCBACBC.BCACB.BCABC.BCBAC,

所以甲赢的概率P(D尸(1)4+7x(»，嗫

所以小明应选择先回答B类问题.

【拆解4】已知甲赢的概率为白求丙最终获胜的概率.

«54

【解析】记事件N为丙嬴因为甲赢的概率为高由题意可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等,

所以丙赢的概率P(N)=1-2x^.

3216

小做变式训练

甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华''竞答游戏,活动的规则为:甲、乙、丙三人先分别坐在

圆桌的A,B.C三点，第一凭从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，若点数是奇数，则按逆时

针选择乙，若是偶数，则按顺时针选丙，下•轮由上•轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决

定竞答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手•，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲

对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为；，口甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏

之间亦互不影响，若比赛中某选手累计获胜场数达到两场，则游戏结束，该选手为晋级选手.

•o\A

⑴求比赛进行了三场且甲晋级的概率；

(2)若比赛进行了三场后结束，记甲获胜的场数为X,求X的分布列与数学期望.

【拆解1］已知条件不变，求比赛进行了3场且甲晋级的概率.

【解析】(1)甲赢两场，分下面三种情况：

①第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜，

概率^J-X-X-X-X-+-X-X-X-X-=—；

232232322318

②第一场甲输，二、三场均胜，

概率为二乂及“幺(-x-+-x^)+-X-X-X-X(-X-+-X-)=—；

③第一场甲胜，第二场输，第三场胜,

概率为押X器X(1xW)+衿泠(泠怜磊.

由互斥事件的概率加法公式可知，比赛进行了三场且甲晋级的概率为白£+白冬

1818186

【拆解2］已知条件不变，若比赛进行了三场后结束，甲场也没有获胜的概率.

【解析】若比赛进行了三:场后结束，甲一场也没有获胜分两种情况：

三场比赛中甲参加了一场，输了，概率为:生少三;

三场比赛中甲参加了两场、都输了，概率为/xqx多了出x；x；x咨x|=(.

因为三场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到三场，所以所求概率为

【拆解3】比赛进行了三场甲赢两场的概率为甲一场也没有获胜的概率为名.记甲获胜的场

6144

数为X,求X的分布列与数学期望.

【解析】依题意，可得X的所有可能取值为0,12

由题意知P(X=2)=；,P(X=0)==.

故P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1/］笔

1446144

所以X的分布列为

X012

131071

P

1441446

故X的数学期望E(X)=0x挤

1441446144

通法技巧归纳

1.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

⑵正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手的题目时，可从其对立事件入

手计算.

2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些

彼此互斥的事件的概率再求和;二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)=I-P(A)

求解.当题目涉及“至多"“至少''型问题时，多考虑间接法.

突破实战训练

〈基础过关,

1.某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点,决定大力发展旅游产

业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游

部门,对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是该部门从去年某月到该地区旅

游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.

老年人中年人青年人

满意度

报团游自助游报团游自助游报团游自助游

满意121184156

一般2164412

不满意116232

(1)由表中的数据分析可知，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择

报团游？

⑵为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意''的自助游游客中，随机

抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率.

(3)若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？

【解析】(1)由表中数据，可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为

VPi>P2>P3,

，老年人更倾向于选择报团游.

(2)由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a,中年人有2人，记为b,c,

青年人有2人，记为d,e,

从中随机抽取2人，基本事件有10个，分另IJ为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),

其中，这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为®b),(a,c),(a,d),(a,e),

・••这2人中有老年人的概率P=^=|.

(3)根据表中的数据，可得

报团游的满意率P产需岩|吟，

自助游的满意率抵三，

O■Avi*4UJ

・・・P4>P5,・••建议他选择报团游.

2.第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组

织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得

到他们的分数统计如下：

分数段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数122833I

我们规定60分以下为不及格;60分及以上至70分以下为及格;70分及以上至80分以下为良

好;80分及以上为优秀.

(I)从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？

(2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀的

人数，求X的分布列与期望.

【解析】⑴记“恰好2名学生都是优秀”的事件为A,则P(A尸仔-捺：

⑵抽到I名优秀学生的概率P=搂W，X的所有可能取值为0,1,2,

P(X=0)V©2包噗

…用包以啖

Pg=图源)2噎

故X的分布列为

X012

八1681

P———

252525

E(X)=0x身理+2x炭.

3.乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目.某中学为了鼓励学生多参加体育锻

炼，会定期地举办乒乓球竞赛.己知该中学高一、高二、高三三个年级的人数分别为

690,460,460,现采取分层抽样的方法从三个年级中抽取7人参加校内终极赛.

(I)求该中学高一、高二、高三三个年级参加校内终极赛的人数；

(2)现从抽取的7人中再随机抽取2人拍照做海报宣传，求“抽取的2人来自同一年级”的概率.

【解析】(1)高一、高二、近三三个年级的人数分别为690,460,460,则分层抽取的人数比为3:

2：2,

因为7x^=3,7x^=2,

所以高一、高二、高三三个年级参加校内终极赛的人数分别为3,2,2.

⑵设抽取的7人中高一的3人分别用A,B,C表示,高二的2人分别用D,E表示,高三的2人分

别用F,G表不，

则从抽取的7人中再随机抽取2人的所有可能结果为

AB,AC,AD,AE,AF.AG,BC,BD,BE,BF,BG.CD,CE,CF,CG,DE,DF,DG,EF,EG.FG,共21种，

抽取的2人来自同一年级的所有结果为AB,AC,BC,DE,FG,共5种，

故”抽取的2人来自同一年级”的概率P*

4.受新冠肺炎疫情的影响,2020年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招

聘改为线上招聘.某世界五百强企业M的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节,

资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个

环节能否通过相互独立.现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M的线上招聘，并均已通

过了资料初审环节.假设甲通过笔试、面试的概率分别为住;乙通过笔试、面试的概率分别为

静丙通过笔试、面试的概率与乙相同.

(I)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企业M正式录取的概率；

⑵求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率；

(3)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘且通过资料初

审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：

参与环节笔试面试

补贴(元)10()200

记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望.

【解析】⑴设事件A表示“甲被企业M正式录取“，事件B表示“乙被企业M正式录取“、事件

C表示“丙被企业M正式录取”，

则P(A)=；xl=lp(B)=P(C)=；xl=l

Zoo545

所以甲、乙、丙三人中恰有一人被企业M正式录取的概率

P产P(A瓦+XB0丽C户P(A)P(豆)-P©+P(X)P(B)P©+P(X)P(豆)P(C)=；x(1二)x(1二)+2x(1-；)

6336

(2)设事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被企业M正式录取”，

则P(D)=P(X前尸p(x)p(m)pR)=(i-7)x(13)x(1-1)=4?,

63327

所以甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率P2=l-P(D)=l-/=*

⑶依题意,X的所有可能取值为300,500,700,900,

P(X=300)=1x|xl=±

45Slo

P(X=500)亭11/1+21x/2x1制s，

P(X=700)=2x\|xVx|x|=^,

P(X=900)=1-x2-x2|=-2.

所以X的分布列为

X300500700900

故X的数学期望E(X)=300x=+500x3+700x9900x1=要(元).

1818993

〈能力拔高〉

5.甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量了.大，现向社会招聘货车司机,其日工

资方案如下:甲公司底薪80元，司机每中转一车货物另计4元;乙公司无底薪，中转40车货物

以内(含40车)的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元.假设同一物流公司

的司机一天中转车数相同、现从这两家公司各随机选取一名货车司机,并分别记录其50天的

中转车数，得到如卜频数表：

甲公司司机中转车数频数表

中转车数3839404142

天数101510105

乙公司司机中转车数频数表

中转车数3839404142

天数51010205

⑴现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不

小于40的概率.

(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题：

①记乙公司货车司机日工资为X(单位:元)，求X的分布列和数学期望E(X);

②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘,如果仅从日工资的角度考虑，清利用所学的

统计学知识为小王作出选择，并说明理由.

【解析】⑴设“抽取的3天中转车数都不小于40”为事件AMP(A尸等二言.

C50

⑵①设乙公司货车司机日工资为X,日中转车数为t,

则X=16t,t—40,

人」A(7t-40,t>40,

则X的所有取值分别为228,234,240,247,254,

其分布列为

X228234240247254

11121

P

1055510

/.E(X)=228x1+234X1+240X1+247X2+254X1=241.8.

''1055510

②设甲公司货车司机日工资为Y,bl中转车数为内则Y=4户80,

则Y的所有可能取值为232,236,240,244,248,

其分布列为

Y232236240244248

p13111

5105510

AE(Y)=232xl+236x-+249xl+244xl+248x—=238.8.

由E(X)>E(Y)知，若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司.

6.某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元

旦礼品.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶A,,A2,A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶

Bi,B2中的一个.

(I)记事件一次性购买n个甲系列盲盒后集齐Ai,A2,Aa玩偶;事件R:一次性购买n个乙系

列盲盒后集齐BLBZ玩偶;求概率P(Ee)及P(F5).

(2)礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，旦购买时、只能

选择其中•个系列的•个盲盒.通过统计发现:第•次购买百盒的消费者购买甲系列的概率为

占购买乙系列的概率为之而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为工购买乙

554

系列的概率为:;前•次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为"购买乙系列的概率

42

为去如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Qn.

①求Qn；

②若每天购买盲盒的人数约为100,且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计

该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.

【解析】(1)由题意可得，一次性购买6个甲系列盲盒的基本事件共有36种情况，

其中集齐A1,A3A3玩偶的个数可以分三类情况，

A|,A2,A3玩偶中，每个均有出现两次，共鬣鬃鬣种；

Al,A2,A3玩偶中，一个出现一次,一个出现两次，一个出现三次,共以髭种；

A|,A2,A3玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共的CA4种.

故P(EJ=C式式升30Az=20

根据题意，先考虑一次性购买5个乙系列盲盒没有集齐Bi.Bz玩偶的概率，即P=*,

所以P(F5)=l-^=^.

1O

⑵①由题意可知,Ql=4,当n>2时,Qn=|(l-Qn」)+七n-l,

所以QnV=—(Qn-l-)

所以｛Qn-|｝是以一为首项，为公比的等比数列，

所以

②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，

所以对于每•个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n趋向无穷大，

所以购买甲系列的概率近似于假设用《表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则9B(100《),

所以E(沪100x|=40,即购买甲系列盲盒的人数的期望为40,

所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个.

〈拓展延伸〉

7.202()年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点T作的

意见》(也称“强基计划”)，《意见》宣布:2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行

强基计划.强基计划要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔

尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环

节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立.若某

考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为今该考生报考乙大学,每门科目通过的概率依次为

其中0<m<l.

63

⑴若分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；

⑵强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为

依据作出决策，当该考生更有希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围.

【解析】(1)设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件A,则P(A尸禺(1)(1)2=1，

该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件B,则P(B尸;x(1)2+3河x2年二高

636335418

⑵设该考生报考甲大学通过的科目数为X,根据题意可知,X~B(3，)，则X的数学期望

E(X)=3x衿

设该考生报考乙大学通过的科目数为Y

则P(Y=O)=1x|(l-m)=^(l-in),

o31b

P(Y=1)=沁l-m)-4x^(l-m)+\x；rn=9；m,

63b36oloo

I91

P(Y=3)=沁m=\m,

639

所以随机变量Y的分布列为

Y0123

1111

PQ-m)一--m-m

183929

故Y的数学期望E(Y)ejm+9m+：m=4+m,

lo393o

因为该考生更有希望通过乙大学的笔