拓展拔高练(拓展拔高几何体的截面与交线问题)

拓展拔高练(时间:45分钟分值:50分)1.(5分)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,B1C1的中点,则过这三点的截面的形状是()A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形【解析】选D.如图,分别取D1C1,D1D,AD的中点H,M,N,连接GH,HM,MN,EN,EF,FG,因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,B1C1的中点,所以HG∥EN,HM∥EF,FG∥MN,所以六边形EFGHMN是过点E,F,G的截面,所以过这三点的截面的形状是六边形.【加练备选】已知一个棱柱的底面是正六边形,侧面都是正方形,用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱,所得截面的形状不可能是()A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.五边形 D.正六边形【解析】选D.如图①,可知,截面ABC为等腰三角形,选项A可能;截面ABEF为等腰梯形,选项B可能;如图②,截面AMDEN为五边形,选项C可能;因为侧面是正方形,只有平行于底面的截面才可能是正六边形,故过棱柱的顶点不可能得到正六边形,选项D不可能.2.(5分)在三棱锥P-ABC中,AB+2PC=9,E为线段AP上更靠近P的三等分点,过E作平行于AB,PC的平面,则该平面截三棱锥P-ABC所得截面的周长为()A.5 B.6 C.8 D.9【解析】选B.如图所示,在三棱锥P-ABC中,过点E分别作EF∥AB,EH∥PC,再分别过点H,F作HG∥AB,FG∥PC,可得E,F,G,H四点共面,因为AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,所以AB∥平面EFGH,同理可证,PC∥平面EFGH,所以截面即为平行四边形EFGH,又由E为线段AP上更靠近P的三等分点,且AB+2PC=9,得EF=13AB,EH=23所以平行四边形EFGH的周长为2(EF+EH)=23(AB+2PC)=63.(5分)(2024·朔州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为3,E为棱BB1上靠近B1的三等分点,则平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为()A.211 B.411 C.222 D.422【解析】选C.延长AE,A1B1交于点F,连接D1F交B1C1于点G,连接GE,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,因为平面AFD1∩平面ADD1A1=AD1,平面AFD1∩平面BCC1B1=EG,所以AD1∥GE.又因为AD1=32,GE=2,所以四边形AEGD1是梯形,且为平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面.又因为D1G=AE=13,在等腰梯形AEGD1中,过点G作GH⊥AD1于点H,所以GH=D1G2-D1H2=11,所以S=12(EG+AD1)·GH=14.(5分)从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥(以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆,下底面圆心为顶点)而得到的几何体如图所示,用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体,则截面图形的面积为()A.4π-4 B.4π C.4π-2 D.2π-2【解析】选C.截面图形应为圆面中挖去一个正方形,且圆的半径是2,则截面圆的面积为4π,设正四棱锥的底面正方形边长为a,则2a2=16,所以a=22,正四棱锥的底面正方形的面积为(22)2=8,由正四棱锥中截面的性质,可得圆面中挖去的正方形与正四棱锥的底面正方形相似,设圆面中挖去的正方形的面积为S',正四棱锥的底面正方形的面积为S,则S'S=S'8=14,从而5.(5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,BB1的中点为M,过点C1,D,M的平面把正方体分成两部分,则较小部分的体积为()A.523 B.18 C.563 D【解析】选C.如图,取AB的中点E,连接DC1,C1M,ME,DE,则易知截面是等腰梯形C1MED,则较小的部分是三棱台BEM-CDC1.S△BEM=12×2×2=2,S△CDC1=12×4×4=8,所以较小部分的体积V=6.(5分)(多选题)用一个平面截正方体,则截面的形状不可能是()A.锐角三角形 B.直角梯形 C.正五边形 D.正六边形【解析】选BC.对于A,截面图形如果是三角形,只能是锐角三角形,不可能是直角三角形和钝角三角形.如图所示的截面为△ABC.设DA=a,DB=b,DC=c,所以AC2=a2+c2,AB2=a2+b2,BC2=b2+c2.所以由余弦定理得,cos∠CAB=AB2+所以∠CAB为锐角.同理可求,∠ACB为锐角,∠CBA为锐角,所以△ABC为锐角三角形,故A不符合题意;对于B,如图,截面图形如果是四边形,可能是正方形、矩形、菱形、一般梯形、等腰梯形,不可能是直角梯形,故B符合题意;对于C,如图,当截面为五边形时,不可能出现正五边形,故C符合题意;对于D,当截面过棱的中点时,如图,截面为正六边形,故D不符合题意.7.(5分)(多选题)如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为A1D1的中点,F为CC1上的一个动点,设由点A,E,F构成的平面为α,则()A.平面α截正方体的截面可能是三角形B.当点F与点C1重合时,平面α截正方体的截面面积为26C.点D到平面α的距离的最大值为2D.当F为CC1的中点时,平面α截正方体的截面为五边形D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,4),设点M的坐标为(0,t,0)(t∈[2,4]),=(2,0,0),=(-2,t,0),=(2,0,-4),则可知点P到直线AM的距离为d==20t2S△APM=12t2+4·S△PAD=12设点D到平面α的距离为h,利用等体积法VD-APM=VM-PAD,即13·S△APM·h=13·S△PAD·t,可得h=4t因为h=45+16t2在t所以当t=4时,h取到最大值,最大值为263,故C8.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=5,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,则过A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为________.

【解析】由题意可知过A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC1的周长,因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各侧面均为矩形,所以AC1=AC2+直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面部分展开图如图所示,则在矩形ACC1A1中,AM+MC1≥AC1=AC2+所以过A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为32+14.答案:32+149.(5分)(2024·曲靖模拟)“中国天眼”(如图1)是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜,其形状可近似地看成一个球冠(球冠是球面被平面所截的一部分,如图2所示,截得的圆叫做球冠的底,垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高.若球面的半径是R,球冠的高度是h,则球冠的面积S=2πRh).已知天眼的球冠的底的半径约为250米,天眼的反射面总面积(球冠面积)约为25万平方米,则天眼的球冠高度约为________米.(参考数值:4π-1≈0【解析】由题意得(R-h)2+2502=R2,则2Rh=h2+2502,则S=2πRh=πh2+2502π=250000,所以h2=250000-2502π所以h=2504π-1≈250×0答案:13010.(5分)已知在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,SA=AB=BC=2,AC=2,点E,F分别是线段AB,BC的中点,直线AF,CE相交于点G,则过点G的平面α截三棱锥S-ABC的外接球球O所得截面面积的取值范围是________.

【解析】因为AB2+BC2=AC2,故AB⊥BC,又因为SA⊥平面ABC,故三棱锥S-ABC的外接球球O的半径R=2+2+22=6取AC的中点D