高中数学（文）课时作业第二章函数导数及其应用13

课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－答案：C2．(2018·衡水调研)曲线y＝1－eq\f(2,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2解析：∵y＝1－eq\f(2,x＋2)＝eq\f(x,x＋2)，∴y′＝eq\f(x＋2－x,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，y′|x＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：A3．(2018·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝x3＋x2C．f(x)＝1＋2sinxD．f(x)＝ex＋x解析：A选项中，f′(x)＝－3sinx，其图象不关于y轴对称，排除A选项；B选项中，f′(x)＝3x2＋2x，其图象的对称轴为x＝－eq\f(1,3)，排除B选项；C选项中，f′(x)＝2cosx，其图象关于y轴对称；D选项中，f′(x)＝ex＋1，其图象不关于y轴对称．答案：C4．(2018·郑州市第二次质量检测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3)B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3)D．(1，－3)解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.答案：C5．(2018·焦作模拟)已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0解析：f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x为奇函数，所以f′(－1)＝－答案：B6．(2018·河南适应性测试，6)已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则eq\f(a,b)的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3)D．－eq\f(1,3)解析：由题意得y′＝3x2，当x＝1时，y′|x＝1＝3×12＝3，所以eq\f(a,b)×3＝－1，即eq\f(a,b)＝－eq\f(1,3).答案：D7．(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x＋1)＝eq\f(2x＋1,x＋1)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．1B．－1C．2D．－2解析：f(x＋1)＝eq\f(2x＋1－1,x＋1)，故f(x)＝eq\f(2x－1,x)，即f(x)＝2－eq\f(1,x)，对f(x)求导得f′(x)＝eq\f(1,x2)，则f′(1)＝1，故所求切线的斜率为1.答案：A8．(2018·开封模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n＝()A．－1B．1C．3D．4解析：对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.答案：C9．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2.若f′(2017)＝6，则f′(－2017)为()A．－6B．－8C．6D．8解析：∵f′(x)＝4ax3－bsinx＋7.∴f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x＝－4ax3＋bsinx＋7.∴f′(x)＋f′(－x)＝14.又f′(2017)＝6，∴f′(－2017)＝14－6＝8，故选D.答案：D10．(2018·江西上饶二模)已知函数y＝ex－eq\f(3,a)x存在平行于x轴的切线且切点在y轴左侧，则a的取值范围为()A．(－3，＋∞)B．(－∞，－3)C．(3，＋∞)D．(－∞，3)解析：函数y＝ex－eq\f(3,a)x的导数为y′＝ex－eq\f(3,a).设切点为(m，n)，m<0，可得切线的斜率为k＝em－eq\f(3,a).由题意可得em－eq\f(3,a)＝0，即有em＝eq\f(3,a)，由m<0，可得0<eq\f(3,a)<1，解得a>3.答案：C二、填空题11．已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.答案：312．已知f(x)＝e2－x＋f′(2)(lnx－x)，则f′(1)＝________.解析：因为f(x)＝e2－x＋f′(2)(lnx－x)，所以f′(x)＝－e2－x＋f′(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))，令x＝1，得f′(1)＝－e＋f′(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－1))＝－e.答案：－e13．曲线y＝alnx(a>0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a＝________.解析：∵y＝alnx，∴y′＝eq\f(a,x)，∴在x＝1处的切线的斜率k＝a，而f(1)＝aln1＝0，故切点为(1,0)，∴切线方程为y＝a(x－1)．令y＝0，得：x＝1；令x＝0，y＝－a.∴三角形面积S＝eq\f(1,2)×a×1＝4，∴a＝8.答案：814．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析：由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq\f(1,3)，即f′(3)＝－eq\f(1,3)，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×－eq\f(1,3)＝0.答案：0[能力挑战]15．(2018·江西五校联考)已知函数fn(x)＝xn＋1，n∈N＋的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015的值为()A．1B．1－logC．－logD．－1解析：由题意可得点P(1,1)，f′n(x)＝(n＋1)xn，所以点P处的切线的斜率为n＋1，故可得切线的方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，所以与x轴交点的横坐标xn＝eq\f(n,n＋1)，则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015＝log2016(x1x2…x2015)＝log2016eq\f(1,2016)＝－1，故选D.答案：D16．(2016·四川卷)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－lnx，0<x<1，,lnx，x>1))图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()A．(0,1)B．(0,2)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)解析：设P1(x1，lnx1)，P2(x2，－lnx2)(不妨设x1>1,0<x2<1)，则由导数的几何意义得切线l1，l2的斜率分别为k1＝eq\f(1,x1)，k2＝－eq\f(1,x2).由已知得k1k2＝－1，所以x1x2＝1.所以x2＝eq\f(1,x1).所以切线l1的方程为y－lnx1＝eq\f(1,x1)(x－x1)，切线l2的方程为y＋lnx2＝－eq\f(1,x2)(x－x2)，即y－lnx1＝－x1(x－eq\f(1,x1)).分别令x＝0得A(0，－1＋lnx1)，B(0,1＋lnx1)．又l1与l2的交点为P(eq\f(2x1,1＋x\o\al(2,1))，lnx1＋eq\f(1－x\o\al(2,1),1＋x\o\al(2,1))）.∵x1>1，∴S△PAB＝eq\f(1,2)|yA－yB|·|xP|＝eq\f(2x1,1＋x\o\al(2,1))<eq\f(1＋x\o\al(2,1),1＋x\o\al(2,1))＝1.∴0<S△PAB<1，故选A.