2022年广西桂林中考数学复习训练：第17讲 等腰三角形和直角三角形(含答案)

第十七讲等腰三角形和直角三角形1．下列命题是真命题的是(B)A．一个角的补角一定大于这个角B．平行于同一条直线的两条直线平行C．等边三角形是中心对称图形D．旋转改变图形的形状和大小2．(2021·南宁模拟)如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA的长为半径画弧交边BC于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是(C)A．70°B．44°C．34°D．24°3．在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝(C)A．16°B．28°C．44°D．45°4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(C)A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝__70__°.6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝__30__°.7．(2021·钦州灵山县期末)如图，一架2.5m长的梯子斜靠在垂直的墙AO上，这时AO为2m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子的底端B向外移动__0.5__m．8.已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．【证明】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°，∵D为AC的中点，∴DA＝DC.又∵DE＝DF，∴Rt△AED≌Rt△CFD(HL)，∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形．9.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE.求证：(1)点D在BE的垂直平分线上．(2)∠BEC＝3∠ABE.【证明】(1)连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴点D在BE的垂直平分线上．(2)∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∵∠ADE＝∠DBE＋∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE.∵∠BEC＝∠A＋∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE.10．(2021·嘉兴中考)能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是(C)A．x＝eq\r(2)－1B．x＝eq\r(2)＋1C．x＝3eq\r(2)D．x＝eq\r(3)－eq\r(2)11．如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝(C)A．eq\f(a＋b,2)B．eq\f(a－b,2)C．a－bD．b－a12．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个(A)A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形 D．等边三角形13．(2021·遂宁中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的点F处，则CE的长是(D)A．1B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)D．eq\f(5,3)14．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO＝GP，则eq\f(S正方形ABCD,S正方形EFGH)的值是(B)A．1＋eq\r(2)B．2＋eq\r(2)C．5－eq\r(2)D．eq\f(15,4)15．(2021·贵港中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是(B)A．3B．4C．5D．616．(2021·台州椒江区质检)如图，在平面直角坐标系中，等边△A1B1C1，等边△A2B2C2，等边△A3B3C3，…中A1B1，A2B2，A3B3，…平行于x轴，点C1，C2，C3，…在y轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点，A1B1，A2B2，A3B3，…的长依次为eq\r(3)，2eq\r(3)，3eq\r(3)，….以此类推，则等边△A2020B2020C2020的顶点A2020的坐标为__(－1__010eq\r(3)，－1__010)__．17.如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD.若BD的长为2eq\r(3)，则m的值为__2或2eq\r(7)__．18．(2021·北海期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BD＝CE，BE＝CF.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．【解析】(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CE，,∠B＝∠C，,BE＝CF，))∴△DBE≌△ECF(SAS)，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形，理由：∵△BDE≌△CEF，∴∠FEC＝∠EDB，∴∠DEF＝180°－∠BED－∠FEC＝180°－∠BED－∠EDB＝∠B，要使△DEF是等边三角形，只要∠DEF＝60°.所以，当∠A＝60°时，∠B＝∠DEF＝60°，则△DEF是等边三角形．【核心素养题】(1)如图(1)，已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2.求证：△ACE≌△BCE.(2)如图(2)，已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由．【解析】(1)在△ACE和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠1＝∠2，,CE＝CE，))∴△ACE≌△BCE(SAS)；(2)AE＝BE.理由如下：如图，在CE上截取CF＝DE，在△ADE和△BCF中，eq\