【中考】2025年广东佛山数学试卷(原卷+答案)

【中考】2025年广东佛山数学试卷(原卷+答案)原卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.计算：$(2)+3$的值是（）A.1B.1C.5D.52.下列图形中，是轴对称图形的是（）A.三角形B.平行四边形C.圆D.梯形3.2024年我国国内生产总值约为126万亿元，将126万亿用科学记数法表示为（）A.$1.26×10^{13}$B.$12.6×10^{12}$C.$1.26×10^{14}$D.$0.126×10^{14}$4.函数$y=\frac{1}{x2}$中，自变量$x$的取值范围是（）A.$x≠0$B.$x＞2$C.$x＜2$D.$x≠2$5.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形6.若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x+m=0$有两个相等的实数根，则$m$的值是（）A.1B.1C.2D.27.已知一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的中位数是（）A.2B.3C.4D.58.如图，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=2$，$DB=4$，则$\frac{AE}{AC}$的值为（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$9.二次函数$y=x^{2}2x3$的图象与$x$轴的交点坐标是（）A.$(1,0)$，$(3,0)$B.$(1,0)$，$(3,0)$C.$(0,1)$，$(0,3)$D.$(0,1)$，$(0,3)$10.如图，在$\odotO$中，弦$AB=8$，半径$OC\perpAB$于点$D$，$OD=3$，则$\odotO$的半径为（）A.4B.5C.6D.7二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.分解因式：$x^{2}4=$______。12.若$\sqrt{x1}$有意义，则$x$的取值范围是______。13.已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(0,3)$和$(1,1)$，则$k=$______，$b=$______。14.一个扇形的圆心角为$120^{\circ}$，半径为3，则这个扇形的面积为______（结果保留$\pi$）。15.若正六边形的边长为2，则它的内切圆半径为______。16.如图，在平面直角坐标系中，点$A$的坐标为$(1,4)$，将线段$OA$绕点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$OA'$，则点$A'$的坐标为______。17.观察下列等式：$1^{3}=1^{2}$，$1^{3}+2^{3}=3^{2}$，$1^{3}+2^{3}+3^{3}=6^{2}$，$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=10^{2}$，$\cdots$，根据上述规律，第$n$个等式为______。三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18.计算：$\sqrt{12}3\tan30^{\circ}+(\pi4)^{0}$。19.解不等式组：$\begin{cases}2x+1\gt1\\x+1\leqslant3\end{cases}$，并把解集在数轴上表示出来。20.先化简，再求值：$\frac{x^{2}1}{x^{2}+2x+1}\div\frac{x1}{x+1}\frac{1}{x+1}$，其中$x=\sqrt{2}1$。四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21.某学校为了解学生每天自主学习时间，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，绘制成如下不完整的统计图。（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1200名学生，估计该校每天自主学习时间达到3小时及以上的学生有多少名？22.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，点$D$在$BC$上，$DE\perpAB$于点$E$，$DF\perpAC$于点$F$，$CG\perpAB$于点$G$。（1）求证：$DE+DF=CG$；（2）若$\angleA=60^{\circ}$，$AB=6$，求$DE+DF$的值。23.某商场销售一种商品，进价为每件20元，经市场调查发现，在一段时间内，销售量$y$（件）与销售单价$x$（元）之间的函数关系为$y=10x+500$。（1）设商场销售这种商品所获得的利润为$w$（元），求$w$与$x$之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，商场销售这种商品所获得的利润最大？最大利润是多少元？五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过点$A(1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$。（1）求抛物线的解析式；（2）点$P$是抛物线上一动点，过点$P$作$x$轴的垂线，交直线$BC$于点$D$，当点$P$在什么位置时，线段$PD$的长度最大？求出此时点$P$的坐标和线段$PD$的最大值。25.如图，在$\triangleABC$中，$\angleACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，点$D$是$AB$的中点，点$E$，$F$分别在$AC$，$BC$上，且$\angleEDF=90^{\circ}$。（1）求证：$DE=DF$；（2）若$AE=3$，$CF=4$，求$EF$的长。答案一、选择题1.B【解析】$(2)+3=32=1$。2.C【解析】圆是轴对称图形，有无数条对称轴；一般三角形、平行四边形、梯形不一定是轴对称图形。3.A【解析】126万亿$=126000000000000=1.26×10^{13}$。4.D【解析】分母不能为0，所以$x2≠0$，即$x≠2$。5.C【解析】多边形外角和为$360^{\circ}$，设这个多边形是$n$边形，根据内角和公式$(n2)\times180^{\circ}=2\times360^{\circ}$，解得$n=6$。6.A【解析】一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有两个相等实数根，则$\Delta=b^{2}4ac=0$，在方程$x^{2}+2x+m=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=m$，所以$2^{2}4m=0$，解得$m=1$。7.B【解析】将数据从小到大排列为1，2，3，4，5，中间的数是3，所以中位数是3。8.A【解析】因为$DE\parallelBC$，所以$\triangleADE\sim\triangleABC$，则$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+4}=\frac{1}{3}$。9.A【解析】令$y=0$，则$x^{2}2x3=0$，即$(x+1)(x3)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$，所以交点坐标为$(1,0)$，$(3,0)$。10.B【解析】因为$OC\perpAB$，所以$AD=\frac{1}{2}AB=4$，设$\odotO$半径为$r$，在$Rt\triangleAOD$中，根据勾股定理$r^{2}=4^{2}+3^{2}$，解得$r=5$。二、填空题11.$(x+2)(x2)$【解析】根据平方差公式$a^{2}b^{2}=(a+b)(ab)$，$x^{2}4=x^{2}2^{2}=(x+2)(x2)$。12.$x\geqslant1$【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以$x1\geqslant0$，即$x\geqslant1$。13.2；3【解析】将点$(0,3)$和$(1,1)$代入$y=kx+b$得$\begin{cases}b=3\\k+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=3\end{cases}$。14.$3\pi$【解析】扇形面积公式$S=\frac{n\pir^{2}}{360}$（$n$是圆心角度数，$r$是半径），所以$S=\frac{120\pi\times3^{2}}{360}=3\pi$。15.$\sqrt{3}$【解析】正六边形的内切圆半径就是正六边形的边心距，边长为2的正六边形，边心距为$\sqrt{3}$。16.$(4,1)$【解析】点$A(1,4)$绕点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$，则点$A'$的坐标为$(4,1)$。17.$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}$【解析】观察等式右边底数依次为$1$，$1+2$，$1+2+3$，$1+2+3+4$，$\cdots$，所以第$n$个等式右边底数为$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，即$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}$。三、解答题（一）18.解：先化简各项：$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$；$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$3\tan30^{\circ}=3\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$；任何非零数的0次方都为1，所以$(\pi4)^{0}=1$。再计算：$\sqrt{12}3\tan30^{\circ}+(\pi4)^{0}=2\sqrt{3}\sqrt{3}+1=\sqrt{3}+1$。19.解：解不等式$2x+1\gt1$：$2x\gt11$，$2x\gt2$，$x\gt1$。解不等式$x+1\leqslant3$：$x\leqslant31$，$x\leqslant2$。所以不等式组的解集为$1\ltx\leqslant2$。在数轴上表示解集：先画数轴，找到$1$和$2$对应的点，$1$处用空心圆圈，$2$处用实心圆圈，然后在两点之间画线段。20.解：化简原式：$\frac{x^{2}1}{x^{2}+2x+1}\div\frac{x1}{x+1}\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)(x1)}{(x+1)^{2}}\cdot\frac{x+1}{x1}\frac{1}{x+1}=1\frac{1}{x+1}=\frac{x+11}{x+1}=\frac{x}{x+1}$。当$x=\sqrt{2}1$时：原式$=\frac{\sqrt{2}1}{\sqrt{2}1+1}=\frac{\sqrt{2}1}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}$。四、解答题（二）21.解：（1）由扇形统计图可知$A$等级占$20\%$，由条形统计图可知$A$等级有10人，所以本次调查共抽取学生：$10\div20\%=50$（名）。（2）$B$等级人数：$50\times40\%=20$（名）；$C$等级人数：$5010205=15$（名）。补全条形统计图，在$B$等级对应的条形上标注20，在$C$等级对应的条形上标注15。（3）每天自主学习时间达到3小时及以上的学生占比为$\frac{15+5}{50}=40\%$，所以该校1200名学生中，每天自主学习时间达到3小时及以上的学生约有：$1200\times40\%=480$（名）。22.（1）证明：连接$AD$，因为$S_{\triangleABC}=S_{\triangleABD}+S_{\triangleACD}$，$S_{\triangleABD}=\frac{1}{2}AB\cdotDE$，$S_{\triangleACD}=\frac{1}{2}AC\cdotDF$，$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}AB\cdotCG$，又因为$AB=AC$，所以$\frac{1}{2}AB\cdotDE+\frac{1}{2}AC\cdotDF=\frac{1}{2}AB\cdotCG$，即$DE+DF=CG$。（2）解：因为$\angleA=60^{\circ}$，$AB=AC$，所以$\triangleABC$是等边三角形，则$BC=AB=6$，$CG=\sqrt{AB^{2}(\frac{AB}{2})^{2}}=\sqrt{369}=3\sqrt{3}$，由（1）知$DE+DF=CG$，所以$DE+DF=3\sqrt{3}$。23.解：（1）利润$w=$（销售单价$$进价）$\times$销售量，所以$w=(x20)(10x+500)=10x^{2}+500x+200x10000=10x^{2}+700x10000$。（2）对于二次函数$w=10x^{2}+700x10000$，$a=10\lt0$，图象开口向下，对称轴为$x=\frac{b}{2a}=\frac{700}{2\times(10)}=35$。当$x=35$时，$w$有最大值，$w=10\times35^{2}+700\times3510000=12250+2450010000=2250$。所以当销售单价为35元时，商场销售这种商品所获得的利润最大，最大利润是2250元。五、解答题（三）24.解：（1）设抛物线解析式为$y=a(x+1)(x3)$，把$C(0,3)$代入得：$3=a(0+1)(03)$，$3=3a$，解得$a=1$，所以抛物线解析式为$y=(x+1)(x3)=x^{2}+2x+3$。（2）设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，把$B(3,0)$，$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k+b=0\\b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=3\end{cases}$，所以直线$BC$的解析式为$y=x+3$。设点$P$的横坐标为$m$，则$P(m,m^{2}+2m+3)$，$D(m,m+3)$。$PD=m^{2}+2m+3(m+3)=m^{2}+2m+3+m3=m^{2}+3m=(m\frac{3}{2})^{