【中考数学】【2025届】苏科版第三轮冲刺专项练习【函数综合问题】及参考答案

【中考数学】【2025届】苏科版第三轮冲刺专项练习【函数综合问题】及参考答案一、专项练习题目（一）选择题1.已知二次函数\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)的图象如图所示，有下列\(5\)个结论：①\(abc\gt0\)；②\(b\lta+c\)；③\(4a+2b+c\gt0\)；④\(2c\lt3b\)；⑤\(a+b\gtm(am+b)(m\neq1\)的实数\()\)。其中正确结论的个数为（）A.\(2\)个B.\(3\)个C.\(4\)个D.\(5\)个2.一次函数\(y=kx+b(k\neq0)\)与反比例函数\(y=\frac{m}{x}(m\neq0)\)的图象如图所示，则关于\(x\)的方程\(kx+b=\frac{m}{x}\)的解为（）A.\(x_1=1,x_2=2\)B.\(x_1=2,x_2=1\)C.\(x_1=1,x_2=2\)D.\(x_1=2,x_2=1\)（二）填空题3.若二次函数\(y=x^{2}2x+m\)的图象与\(x\)轴有两个交点，则\(m\)的取值范围是______。4.已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的图象经过点\((1,2)\)，则\(k\)的值为______。（三）解答题5.已知抛物线\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)经过\(A(1,0)\)，\(B(3,0)\)，\(C(0,3)\)三点。（1）求抛物线的解析式；（2）若点\(M\)是抛物线对称轴上的点，且\(\triangleMAC\)的周长最小，求点\(M\)的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点\(P\)，使\(\trianglePAC\)是等腰三角形？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由。6.某商场销售一种商品，已知这种商品每天的销售量\(y\)（件）与销售单价\(x\)（元）之间满足一次函数关系\(y=x+60\)，每件商品的进价为\(20\)元。（1）设商场销售这种商品每天的利润为\(w\)元，求\(w\)与\(x\)之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，商场销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？二、参考答案（一）选择题1.分析：由抛物线开口向下可知\(a\lt0\)，对称轴\(x=\frac{b}{2a}\gt0\)，所以\(b\gt0\)，抛物线与\(y\)轴交于正半轴，所以\(c\gt0\)，则\(abc\lt0\)，故①错误。当\(x=1\)时，\(y=ab+c\lt0\)，即\(b\gta+c\)，故②错误。由抛物线的对称性可知，对称轴为\(x=1\)，与\(x\)轴的一个交点为\((1,0)\)，则另一个交点为\((3,0)\)，当\(x=2\)时，\(y=4a+2b+c\gt0\)，故③正确。因为\(\frac{b}{2a}=1\)，所以\(a=\frac{b}{2}\)，当\(x=1\)时，\(ab+c=0\)，把\(a=\frac{b}{2}\)代入\(ab+c=0\)得\(\frac{b}{2}b+c=0\)，\(2c=3b\)，故④错误。当\(x=1\)时，\(y\)有最大值\(a+b+c\)，当\(x=m\)时，\(y=am^{2}+bm+c\)，所以\(a+b+c\gtam^{2}+bm+c(m\neq1)\)，即\(a+b\gtm(am+b)(m\neq1)\)，故⑤正确。答案：A2.分析：方程\(kx+b=\frac{m}{x}\)的解就是一次函数\(y=kx+b(k\neq0)\)与反比例函数\(y=\frac{m}{x}(m\neq0)\)图象交点的横坐标。由图象可知，交点的横坐标分别为\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。答案：A（二）填空题3.分析：对于二次函数\(y=Ax^{2}+Bx+C(A\neq0)\)，其判别式\(\Delta=B^{2}4AC\)，当\(\Delta\gt0\)时，函数图象与\(x\)轴有两个交点。在二次函数\(y=x^{2}2x+m\)中，\(A=1\)，\(B=2\)，\(C=m\)，则\(\Delta=(2)^{2}4m\gt0\)，即\(44m\gt0\)，解得\(m\lt1\)。答案：\(m\lt1\)4.分析：因为反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的图象经过点\((1,2)\)，把\(x=1\)，\(y=2\)代入\(y=\frac{k}{x}\)得\(2=\frac{k}{1}\)，解得\(k=2\)。答案：\(2\)（三）解答题5.（1）求抛物线解析式：设抛物线的解析式为\(y=a(x+1)(x3)\)，把\(C(0,3)\)代入得\(3=a(0+1)(03)\)，即\(3=3a\)，解得\(a=1\)。所以\(y=(x+1)(x3)=x^{2}+2x+3\)。（2）求\(\triangleMAC\)周长最小时\(M\)的坐标：抛物线\(y=x^{2}+2x+3\)的对称轴为\(x=\frac{2}{2\times(1)}=1\)。点\(A\)关于对称轴\(x=1\)的对称点是\(B(3,0)\)，连接\(BC\)与对称轴\(x=1\)的交点即为\(M\)，此时\(\triangleMAC\)的周长最小。设直线\(BC\)的解析式为\(y=kx+d\)，把\(B(3,0)\)，\(C(0,3)\)代入得\(\begin{cases}3k+d=0\\d=3\end{cases}\)，将\(d=3\)代入\(3k+d=0\)得\(3k+3=0\)，\(3k=3\)，解得\(k=1\)。所以直线\(BC\)的解析式为\(y=x+3\)。当\(x=1\)时，\(y=1+3=2\)，所以\(M(1,2)\)。（3）判断在对称轴上是否存在点\(P\)使\(\trianglePAC\)是等腰三角形：设\(P(1,n)\)，已知\(A(1,0)\)，\(C(0,3)\)，则\(AC=\sqrt{(10)^{2}+(03)^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\)，\(PA=\sqrt{(1+1)^{2}+n^{2}}=\sqrt{4+n^{2}}\)，\(PC=\sqrt{(10)^{2}+(n3)^{2}}=\sqrt{1+(n3)^{2}}\)。当\(PA=AC\)时，\(\sqrt{4+n^{2}}=\sqrt{10}\)，两边平方得\(4+n^{2}=10\)，\(n^{2}=6\)，解得\(n=\pm\sqrt{6}\)，此时\(P(1,\sqrt{6})\)或\(P(1,\sqrt{6})\)。当\(PC=AC\)时，\(\sqrt{1+(n3)^{2}}=\sqrt{10}\)，两边平方得\(1+(n3)^{2}=10\)，\((n3)^{2}=9\)，\(n3=\pm3\)，解得\(n=0\)或\(n=6\)，当\(n=0\)时，\(P\)与\(A\)、\(C\)共线，舍去，此时\(P(1,6)\)。当\(PA=PC\)时，\(\sqrt{4+n^{2}}=\sqrt{1+(n3)^{2}}\)，两边平方得\(4+n^{2}=1+(n3)^{2}\)，\(4+n^{2}=1+n^{2}6n+9\)，\(6n=6\)，解得\(n=1\)，此时\(P(1,1)\)。6.（1）求\(w\)与\(x\)之间的函数关系式：已知销售量\(y=x+60\)，每件商品的进价为\(20\)元，根据利润\(=\)（售价\(\)进价）\(\times\)销售量，可得：\(w=(x20)y=(x20)(x+60)=x^{2}+60x+20x1200=x^{2}+80x1200\)。（2）求利润最大时的销售单价和最大利润：对于二次函数\(w=x^{2}+80x1200\)，其中\(a=1\l