【期末满分冲刺】综合能力拔高卷（解析版）-北师大版(2024)九上

【高效】九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（北师大版）【期末满分冲刺】综合能力拔高卷（轻松拿满分）（考试时间：100分钟试卷满分：120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】△ABC和△ACD有公共角∠A，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案．【详解】∵∠DAC=∠CAB，∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC，故①④正确；当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC，故②正确；当＝时，虽∠DAC=∠CAB但不是夹角，所以△ACD与△ABC不相似，故③不正确．因此有3个正确．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟悉掌握相似三角形的判定．2．一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（

）A．5，-1 B．5，4 C．5，-4 D．5，0【答案】C【分析】根据一元二次方程定义直接求解即可．【详解】解：将一元二次方程化为一般式，二次项系数为，一次项系数为，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程定义各个描述是解决问题的关键．3．用配方法解方程．下列变形正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方式即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，熟知配方法是解题的关键．4．如果反比例函数图像经过点A（－1，2），那么此反比例函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设反比例函数解析式为：，由待定系数法即可得出答案．【详解】解：设反比例函数解析式为：，把A（－1，2）代入得：，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．5．如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，从上面看到的平面图形是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：观察几何体，俯视图有3列，每列小正方形数目分别为1，2，2，故选D．【点睛】本题考查了几何组合题的三视图的左视图，掌握三视图是解题的关键.6．关于x的一元二次方程的根的情况为（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的异号实数根C．有两个不相等的同号实数根 D．没有实数根【答案】B【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．【详解】解：一元二次方程中，∵△=，∴原方程有两个不相等的实数根,∵,∴原方程有两个不相等的异号实数根．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系是解题的关键，（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏:分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色(若指针指在分界线上，则重转)，则配成紫色的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，画树状图得：共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，∴可配成紫色的概率是．故选C．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意所选每种情况必须均等，注意概率=所求情况数与总情况数之比．8．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y=kx+k的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用反比例函数的性质得出k的取值范围，进而结合一次函数的性质得出答案．【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0）图象的两支分别位于第一、三象限，∴k＞0，∴一次函数y=kx+k的图象大致是：故选：C．【点睛】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的性质，正确得出k的取值范围是解题关键．9．如图，平行四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝4，则该平行四边形的面积是（）A．16 B．16 C．8 D．8【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，进而得出AC⊥BD，利用面积公式解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA=OC=2，∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=4，∴OB＝2，∴平行四边形的面积＝，故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质、菱形的判定及性质等知识，解题的关键是根据平行四边形的性质得出OB＝OD进行解答．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，且，，反比例函数的图象经过点E，若，，则值是（

）A． B．15 C． D．12【答案】A【分析】连接DE，交AB于F，先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，证出四边形AEBD是菱形，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；把点E坐标代入(x＞0)，求出k的值即可．【详解】解：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边形OABC是矩形，OA=5，OC=3，∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=3，∴DA=DB，∴四边形AEBD是菱形；连接DE，交AB于F，如图所示：∵四边形AEBD是菱形，∴AB与DE互相垂直平分，∵OA=5，OC=3，∴EF=DF=OA=，AF=AB=，5+=，∴点E坐标为：（，）．∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点E，∴k=，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度．二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）11．解方程：则方程的两个根是，______．【答案】2【分析】根据一元二次方程的解法——因式分解法直接得出结果．【详解】解：∴或∴或故答案为2．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键．12．两个正方形如图摆放，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为______．【答案】【分析】先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是7x，再根据几何概率的求法即可得出答案．【详解】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是7x，则这个点取在阴影部分的概率是故答案为：【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．13．如图是一个几何体的三视图（俯视图是等边三角形），则这个几何体的侧面积是______【答案】##18厘米2【分析】根据侧面展开图是矩形，求出长方形的面积即可．【详解】解：表面展开图为：∴这个几何体的侧面积为3×．故答案为：．【点睛】本题考查三视图、几何体的侧面展开图等知识，解题的关键是理解三视图、看懂三视图．14．等腰直角中，，，为的中点，交射线于，连接，若，求线段的长为__________．【答案】【分析】过点A作于点M，过点D作于点N．由等腰直角三角形的性质可得出，，结合题意和所作辅助线即可证明和是等腰直角三角形，从而可求出．再根据为的中点，可求出，从而可求出．根据平行线分线段成比例可得出，代入数据即可求出，进而可求出，最后根据勾股定理即可求出AE的长．【详解】如图，过点A作于点M，过点D作于点N．∵是等腰直角三角形，，∴，，∴是等腰直角三角形．∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴．∵为的中点，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例．正确地作出辅助线是解题关键．15．将2张长为a，宽为的长方形纸片沿对角线剪裁后，和2张边长为b的小正方形纸片按如图的方式拼成一个边长为的大正方形，若阴影部分的面积与图中空白部分的面积之比为1：2，则______．【答案】5【分析】先根据题意结合图形表示出阴影部分和空白部分的面积，然后再根据他们之比为1:2列式，再运用一元二次方程求解即可．【详解】解：根据题意结合图形可得：图中阴影部分的面积为：=图中空白部分的面积为：∵阴影部分的面积与图中空白部分的面积之比为1：2∴：=1：2∴=2（）∴=-1（不合题意舍弃），=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、解一元二次方程等知识点，根据题意表示出阴影部分的面积与图中空白部分的面积并列出关于的二元一次方程成为解答本题的关键．16．如图，在中，，点A在反比例函数的图像上，点B，C在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于，则的值为______．【答案】6【分析】连接AO，如图，过点A作AE⊥x轴于点E，根据等腰三角形的性质可得，然后证明，由“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得，进而求得，通过解得的面积，最后根据反比例函数比例系数k的几何意义即可求解．【详解】解：如图，连接AO，过点A作AE⊥x轴于点E，∵AC=AB，AE⊥BC，∴，∵，∴，∴，∵∠AEC=∠DOC=90°，∠OCD=∠ECA，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数比例系数k的几何意义等知识，正确作出辅助线，构建相似三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共72分；第17-18每小题6分，第19-20每小题8分，21-23每小题10分，第24小题14分）17．解方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用公式法求解；（2）首先把原方程化为一元二次方程的一般形式，再根据公式法求解．【详解】(1)，∴∴；(2)原方程可化为：

，∵，∴∴【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的公式法求解是解题关键．18．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点P是对角线BD上一点，连接AP，AE⊥AP，且，连接BE．(1)当DP=2时，求BE的长．(2)四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP的面积．(3)如图2，作AQ⊥PE，垂足为Q，当点P从点D运动到点B时，直接写出点Q运动的距离．【答案】(1)4；(2)可能，面积为；(3)8【分析】（1）根据矩形的性质和等角的余角相等证得，∠DAP＝∠BAE，根据相似三角形的判定和性质证得△ADP∽△ABE即可求解；（2）根据相似三角形的性质和直角三角形的两锐角互余证得∠PBE=90°，根据矩形的判定当∠APB=90°时可得四边形AEBP为矩形；利用勾股定理求得BD，再根据三角形的面积公式求得AP，进而求得AE即可求解；（3）根据题意画出图形证明点Q在直线Q1Q2上运动，由（2）中结论可知四边形AQ1BQ2是矩形，根据矩形对角线相等求得Q1Q2即可．【详解】（1）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，∴∠DAB＝90°，，∴，∵AP⊥AE，∴∠PAE＝90°，∴∠DAP+∠PAB＝∠PAB+∠BAE，∴∠DAP＝∠BAE，∴△ADP∽△ABE，∴，∴；（2）解：四边形AEBP可能为矩形．如图，由（1）得△ADP∽△ABE，∴∠ABE＝∠ADB，∴∠PBE＝∠PBA+∠ABE=∠PBA+∠ADB=90°，如图，当∠APB=90°时，∵∠APB=∠PAB=∠PBE=90°，∴四边形AEBP为矩形，在Rt△ABD中，AB＝8，AD＝4，由勾股定理得：，，，；（3）解：由（1）中，，∠DAB=∠PAE=90°，∴△ADB∽△APE，∴∠ADB＝∠APE，如图，当点P在点D处时，Q在Q1处，即AQ1⊥BD，作AQ2⊥PE，∴∠AQ1D=∠AQ2P=90°，∴△ADQ1∽△APQ2，∴，∠DAQ1=∠PAQ2，∵∠DAP=∠DAQ1+∠PAQ1=∠PAQ1+∠PAQ2=∠Q1AQ2，∴△ADP∽△AQ1Q2，∴∠AQ1Q2=∠ADP，∴∠BQ1Q2=90°-∠AQ1Q2=90°-∠ADP=∠ABD，因此点Q在直线Q1Q2上运动，故当点P从点D运动到点B时，点Q由Q1运动到如图2中的Q2位置，则点Q运动的距离为Q1Q2的长度．此时，∠DAP=∠DAB=∠DAQ1+∠PAQ1=∠PAQ1+∠PAQ2=∠Q1AQ2=90°，又∵∠AQ1D=∠AQ2P=90°，∴四边形AQ1BQ2是矩形，∴Q1Q2=AB=8，即点Q运动的距离为8．

图2

图3【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为ts．(1)若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？(2)△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．【答案】(1)当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的(2)△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半，理由见解析【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为，的面积为，由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系列方程求出的值，但方程无解．【详解】（1）解：，，，整理得，解得，答：当时的面积为面积的；（2）当时，，整理得，△，此方程没有实数根，的面积不可能是面积的一半．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．20．如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲获胜；数字之和为2时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．(1)用画树状图或列表法求乙获胜的概率；(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？对谁有利？请判断并说明理由．【答案】(1)；(2)不公平；这个游戏规则对甲有理；理由见解析．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为0情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）分别求得甲胜、乙胜的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平．【详解】（1）解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，数字之和为2即乙胜的有2种情况；∴乙胜的概率为：=；（2）解：不公平．对甲有利，理由如下：∵数字之和为1的有3种情况，∴P（甲胜）==，∴P（甲胜）>P（乙胜），∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，对甲有利．【点睛】本题考查的是用树状图法或表格法求概率，以及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价元．(1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含的代数式表示）(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．(3)平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．【答案】(1)每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元(2)每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元(3)平均每天盈利不能达到2000元，理由见解析【分析】（1）根据题意列出所求代数式即可；（2）根据每件盈利×每天销售量=每天盈利列出方程求解即可；（3）根据单件利润×销售量=总利润列出方程求解即可作出判断．【详解】（1）解：由题意，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元；（2）解：由题意，（40-x）（20+2x）=1200，整理，得：x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20，∵适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，∴x=20，答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元．（3）解：平均每天盈利不能达到2000元，理由为：由（40-x）（20+2x）=2000，整理，得：x2-30x+600=0，∵△=（-30）2-4×1×600=-1500＜0，∴所列方程无实数根，故平均每天盈利不能达到2000元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．22．如图所示，某校园有杆AB，它在阳光下某一时刻的影子长为AG，高1.6米的标杆EF在阳光下同一时刻的影子为EM，AB，EF都与地面垂直，小媛通过测量获得数据米，米，求旗杆AB的高度．【答案】4米【分析】根据题意先判断，然后利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵AB，EF在同一时刻的阳光下，∴，∴，∵，∴△∽△，∴，即，∴（米）．答：AB的高度为4米．【点睛】本题考查相似三角形，平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．如图，在中，，，为上一点，连接，分别过点、作，．(1)求证：；(2)若点满足：：，求的长；(3)如图2，若点为中点，连接，求证：．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）求出，利用AAS证明△ACN≌△CBM，可得结论；（2）证明△AND∽△BMD，推出，设AN＝x，则BM＝2x，求出，然后利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题；（3）延长ME，AN相交于点H，证明≌，利用全等三角形的性质证明，可得结论．【详解】（1）证明：，，，，又∵，，，又，≌，；（2）解：，，∽，，设，则，由（1）知，，，，（负值已舍去），，，，；（3）解：延长，相交于点，为的中点，，，，∴AN∥BM，，，≌，，又，，，，，．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象上的A点与反比例函数y＝（x＜0）的图象上的B点关于原点O对应（AB经过原点O），且OB＝2OA，我们称反比例函数y＝（x＜0）是反比例函数y＝（x＞0）的“位似反比例函数”，其中O为位似中心．(1)反比例函数y＝（x＜0）_____反比例函数y＝（x＞0）的“位似反比例函数”；（填“是”或“不是”）(2)若反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A（1，4）．①则m的值为______；②若A2022在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，对应点B2022在“位似反比例函数”y＝（x＜0）的图象上，求证：BB2022＝2AA2022；(3)在（2）的条件下，在x轴的正半轴上是否存在一点P，使△ABP为直角三角形，若存在，求出P点的坐标．【答案】(1)是(2)①16；②证明见解析(3)存在，P点的坐标为P（，0）或P（17，0）【分析】（1）根据题目中给出的定义进行判别即可；（2）①根据点A（1，4