2025年新课标Ⅰ卷高考数学真题试卷（2025年含答案解析）

2025年新课标Ⅰ卷高考数学真题试卷（2025年，含答案解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={x|x²2x3≤0}，集合B={x|x>1}，则A∩B=（）A.{x|1<x≤3}B.{x|1≤x≤3}C.{x|x>1}D.{x|x≤3}2.函数f(x)=log₂(x²4x+3)的定义域为（）A.(∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(∞,1]∪[3,+∞)D.[1,3]3.在等差数列{aₙ}中，若a₁=3，a₅=11，则a₃+a₇=（）A.14B.16C.18D.204.已知向量a=(1,2)，b=(3,x)，若a⊥b，则x的值为（）A.1.5B.1C.1D.1.55.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π6.在△ABC中，若A=60°，B=45°，a=2，则c的长度为（）A.√6B.√3C.2√3D.37.已知椭圆C：x²/9+y²/4=1，F₁、F₂为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，则|PF₁|+|PF₂|的值为（）A.6B.8C.10D.128.函数f(x)=x³3x+1的单调递增区间为（）A.(∞,1]∪[1,+∞)B.[1,1]C.(∞,1)∪(1,+∞)D.(1,1)9.已知二项式(x+2)⁶的展开式中，x³项的系数为（）A.160B.240C.320D.48010.在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E为棱AB的中点，则异面直线A₁E与BC所成角的余弦值为（）A.√3/3B.√2/3C.1/3D.2/311.函数f(x)=eˣx²在区间[0,2]上的最大值为（）A.e²4B.e1C.1D.e²12.已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，且|PF|=3，则点P到准线l的距离为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数f(x)=2ˣ+log₃x，则f(1)+f(2)=______。14.在等比数列{aₙ}中，若a₁=2，a₄=16，则公比q=______。15.已知点M(2,1)，N(4,3)，则线段MN的中点坐标为______。16.函数f(x)=cos²xsin²x的最小值为______。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<π/2。（1）若f(x)的最小正周期为π，求ω的值；（2）若f(π/6)=1，且f(x)在[0,π/2]上单调递增，求φ的值。18.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=√3，b=2，cosA=1/2。（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积。19.（本小题满分12分）已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1（n∈N）。（1）证明：数列{aₙ+1}是等比数列；（2）求数列{aₙ}的通项公式；（3）求数列{aₙ}的前n项和Sₙ。20.（本小题满分12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率为√2/2，且椭圆经过点(√2,1)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，若OA⊥OB（O为坐标原点），求证：k²+m²=1。21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x³3x²+2。（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值；（3）若方程f(x)=k有三个不同的实数根，求k的取值范围。22.（本小题满分10分）某校为了解学生每天的学习时间，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下频数分布表：|学习时间（小时）|频数|||||[0,2)|5||[2,4)|15||[4,6)|30||[6,8)|35||[8,10)|10||[10,12]|5|（1）求这100名学生平均学习时间的估计值；（2）若从这100名学生中随机抽取2名，求这2名学生学习时间都在[6,8)区间内的概率。23.已知函数f(x)=ln(x+1)ax²，其中a为实数。（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在定义域内有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（3）当a>0时，证明：对任意x₁,x₂∈(1,+∞)，都有|f(x₁)f(x₂)|≤|x₁x₂|。24.在四面体ABCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB=AC=AD=2，E为棱BC的中点。（1）求证：AE⊥平面BCD；（2）求点A到平面BCD的距离；（3）求二面角ABCD的余弦值。25.已知函数f(x)=|x1|+|x2|+|x3|。（1）求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的取值；（2）若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数解，求实数k的取值范围；（3）设函数g(x)=f(x)x，求函数g(x)在区间[0,4]上的最大值。26.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosθ，y=√3sinθ（θ为参数）。（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，并说明曲线C是什么图形；（2）设点P在曲线C上，求点P到直线xy+1=0的距离的最大值；（3）若直线l：y=kx与曲线C有两个不同的交点A、B，求|AB|的最大值。27.某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品需要增加成本50元。已知该产品的需求函数为Q=1202P（其中Q为需求量，P为价格，单位：元）。（1）求利润函数L(P)；（2）求价格P为多少时，利润最大？最大利润是多少？（3）若政府对该产品征收每件10元的税收，求此时利润最大时的价格和最大利润。28.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=aₙ²+2aₙ（n∈N）。（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设bₙ=1/(aₙ+1)，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ；（3）证明：Tₙ<1/2对任意正整数n成立。29.在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2cos²A+cos²B+cos²C=2。（1）求角A的大小；（2）若a=2√3，求△ABC面积的最大值；（3）设点D在边BC上，且AD平分角A，求BD/DC的值。30.已知函数f(x)=eˣ(ax²+bx+c)，其中a、b、c为实数，且f(0)=1，f'(0)=2，f''(0)=6。（1）求a、b、c的值；（2）求函数f(x)的极值；（3）证明：当x>0时，f(x)>x³+3x²+3x+1。一、选择题答案：15：AABCA610：BBBCA1112：BA二、填空题答案：13.3+log₃214.215.(3,1)16.1三、解答题答案：17.(1)ω=2(2)φ=π/618.(1)C=75°(2)面积=√319.(1)证明略(2)aₙ=2ⁿ1(3)Sₙ=2ⁿ⁺¹n220.(1)x²/4+y²/2=1(2)证明略21.(1)增区间：(∞,0]∪[2,+∞)，减区间：[0,2](2)最大值2，最小值2(3)k∈(2,2)22.(1)6.1小时(2)0.11923.(1)增区间：(1,0)，减区间：(0,+∞)(2)a∈(0,1/e)(3)证明略24.(1)证明略(2)2√3/3(3)√3/325.(1)最小值2，x∈[2,3](2)k∈(2,3)(3)最大值426.(1)x²/4+y²/3=1，椭圆(2)2(3)427.(1)L(P)=2P²+220P2000(2)P=55元，最大利润4025元(3)P=60元，最大利润3525元28.(1)aₙ=2ⁿ1(2)Tₙ=n/(2ⁿ)(3)证明略29.(1)A=60°(2)最大面积3√3(3)BD/DC=230.(1)a=1，b=2，c=1(2)极小值1，无极大值(3)证明略函数与导数部分涵盖函数的定义域、值域、单调性、极值、最值等基本性质，以及导数的几何意义和导数在函数单调性、极值问题中的应用。如第2题考查对数函数定义域，第8题考查三次函数单调性，第21题综合考查导数的应用。数列部分包括等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，以及递推数列的求解方法。第3题考查等差数列性质，第14题考查等比数列，第19题考查递推数列转化为等比数列的方法。三角函数部分涉及三角函数的图象与性质、解三角形等内容。第5题考查三角函数周期性，第6题和第18题考查正弦定理和余弦定理的应用。解析几何部分包括直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程和性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系。第7题、第20题、第26题考查椭圆相关性质，第12题考查抛物线定义。立体几何部分涵盖空间几何体的表面积、体积，空间点、线、面的位置关系，空间向量在立体几何中的应用等。第10题、第24题考查空间向量和立体几何综合应用