江苏省南通市2025-2026学年高二上学期期中考试 数学试卷

x

3y

0的倾斜角为（

已知直线l13x4y70与l26xm1y1m0平行，则m（ 若方程Cx2y22x4ya0表示圆，则实数a的取值范围是（A．,

B．,

D．5,若空间向量a10,1b0,10，则下列向量能与ab构成空间的一个基底的是（ p

q1, 1 r,1,

A2,1xy10的对称点的坐标为（

p,q,已知abc是空间三个不共线向量，则“向量abc共面”是“

paqb

→0的（充要条 B．充分不必要条C．必要不充分条 D．既不充分也不必要条ABCA1B1C1ABAA12A1BB1C所成角的余弦值为（．

B．

D．已知直线lxay10和圆Cx2y22x4y40ABAB的中点为MO

的最大值为（3 B．2 xy102xy80和ax3y50不能围成一个三角形，则实数a（

C．

D．已知圆Cx1)2y21与圆Cx2)2y2)24，则（C1C2x2y22直线3x4y802ABCDA1B1C1D1EFABAD上的动点（不含端点D1EB1F，则（）B1EEFFD1EABAEEFA1FAAAEF a/已知向量r2,2m3,8，b4,2m1,16，且 ，则ma/过点P2,3作圆x2y22x2y10的切线，则切线长 已知VABCA4,1B63C30AB边上的中线CM求VABC的外接圆方程2的正四面体OABCEBC的中点，点GAE用向量OA,OB,OC表示OGOG17（1）①求点Q（2）Px0y0和直线l:AxByC0（AB不同时为零P到直线lA2A2Ax0By018ABCDACEFAB3AFtt0，点MNADCDAM1ADDN1DC MEBNBEMEFN，求tBMEFNKEK的长度（用t表示19．已知曲线Cx1)2y1)24求曲线C若MN是曲线CMN是否存在直线yxt与曲线C至少有三个不同的公共点？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说x

3y

0y

3x8∴直线的斜率为3，设直线的倾斜角θ，则tanθ3 利用两直线平行的充要条件列式求解即可【详解】由直线l13x4y70与l26xm1y1m06m11m，所以m7

根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可【详解】因为方程Cx2y22x4ya0表示圆，则有(2)2424a0a5，根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及空间基底的意义判断即得Apabpab共面，A Bqa

12b，向量qab共面，BCr

1 ab，向量rab共面，C不是；xDsxayb，则(1,10)xyx，于是y1xsab不共面，能构成空间的一个基底，D是.b11设对称点的坐标为ab，由题意可得a2

1

，求解即可 1【详解】设对称点的坐标为abb11

由题意可得a2 12 1

a，解 b A2,1xy10的对称点的坐标为03利用空间向量共面的基本定理结合充分条件、必要条件的定义判断即可求解 pqr均不为零，所以→q→r 此时向量abc 因为abc是空间三个不共线向量，若向量abcxy使得axbyc→xb→0p1qxry

paqb

→0p,q, 所以“向量a,b,c共面”是“存在三个均不为零的实 ，使得paqbrc0”的充要条件AA2【详解】由题意A1B 22，同理可得B1CAA2A1AABCBCABCA1ABCA1ABC0 A1BB1CA1AABB1BBCA1AB1BA1ABCABB1BAB

1 A1AB1BABBCcosπABC222222 A1B222所以cosA1B222ABBC1 lP10P在圆C内，结合MP垂直于MC，可得动点Mx12y121OM【详解】将圆C的方程化为标准方程为x12y229，则圆心为C12，直线l:xay10P10又1120229,P10由于MP垂直于MC，则点M的轨迹为以CP为直径的圆，线段CPN11CN1，所以动点M的轨迹方程为x12y12

，ON1

ON1，

1|OM 1OM的取值范围为21,21 所以OM的最大值 1.利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解【详解】联立2xy80，可得x3，即两直线交点为32xy1 y当a3xy10和直线ax3y50平行，不能围成三角形当a6时，直线2xy80和直线ax3y50平行，不能围成三角形当a1时，直线ax3y50经过点32，三线共点，不能围成三角形当a3时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意B,C;D.【详解】根据两圆方程，可知圆C1的圆心坐标C1(10),半径r11,圆C2的圆心坐标C2(22),半径r22A|

5,A(21)2BA可知，1r2r1|C1C2|r1r23,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将x12y21减去x22y(21)2得到2x34y43,x2y20,BC：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心C1(10)x2y20离d

|12

5,故弦长l15

45,CD：圆心C(10)到直线3x4y80的距离d

1r,圆心C(22)到直线3x4y803232离d

322r,故直线3x4y832 DE(2n0F(m00)D1EB1F0，求得mn B1EEFFD1220)AAEAF，求得m1BA1FλB1ECAAMEF，证得A1MAAA1A1EF m(2 D正确.2m(m2m(m2)DDADCDD1xyz轴，建立空间直角坐标系，B1(222D1(002A(200A1(202)，E(2n0F(m00)，其中0mn2D1E(2n2B1Fm222)D1EB1FD1EB1F2(m2)2n40，可得mnE(2m0F(m00)，AB1EEFFD10m22m2m0m02220B1EEFFD1

A

BAE0m0AFm200)AEm, AEAFAEAF，所以m2m，解得mEFABADBCA1F(m202B1E(0m22)

2A1FB1EA1FB1E，则存在实数λA1FλB1Em2可得0λ(m2)，可得m2，因为0m2，所以m2EFA1FB1ECDAAMEFA1MEFABCDAA1EF，AMAA1AAMAA1AA1MEFAA1M，EFA1EFA1AMA1EF，2m24m2m24mAE2AF在直角△AEFAEmAF2AE2AF

AMAEAF

m(2

m(22m24m2m(m2)在直角aA2m24m2m(m2)

m(2222m(m2) 令t

2(m1)22，其中0m2t2

4t 2m24m可得t[22)2m24m

，所以tanA1MA

t)ft4t在t[22)所以当t 时，ft

f(2) ，所以tanAMA的最大值为2所以sin7/

的最大值为，所

D正确根据向量平行可知存在实数k，使得→kb，结合向量坐标运算求解即可【详解】因为向量a22m3,8b42m1,16 若ab，则存在实数k，使得akb4k2m1k,16k4k

k可得2m1k2m3，解得 216k7

m 把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可x2y22x2y10可化为x12y121，圆心M11，半径r1，MP2MP2r

26323242​【详解】因为两条直线a1xb1y10和a2xb2y10A1,1，所以a1b110a2b210，112PabPab112 1 215．(1)(2)x2y2x9y12利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可（1）AB的中点M12(31)2(0(31)2(0（2）x2y2DxEyF0D2E24F0，174DEF DAB,C在所求的圆上，可得456D3EF0，解得E993DF

F则VABCx2y2x9y120

1

116．(1)

OAOBOC (2)(2)(3)利用向量的夹角公式计算即可求解

2 1

2（1）OGOAAGOA

AEOA

OEOA

OAOE 1

21

1

1

1 3OA32OB2OC3OA3OB3 11 1 3OA3OB3OC（2）OGOAOBOC2OAOB2OAOC2OB 114442221222122219222（3）因为OE

1

OC,ABOBOA， 1

1

OBOCOBOBOA

122122cosπ122cosπ122cosπ 21111 由正四面体OABC2OE

3,AB2

OE 2 62OE17（1）（2）Px0y0和直线l:AxByC0Py轴､x轴的垂线，分别与lMx1y0Nx0y2，由等面积法计算即可得证（1）①xy10的斜率k1，所以其垂线的斜率kPQ1，PQxy10xy1联立xy1xy1②P23Q0,1PQ为直径的圆的圆心C12，半径r2所以圆C的方程为(x1)2y2)22r2d设圆Cy轴交于Mr2d

2MN2CM2CN2所以∠MCNπ，所以所求弧长为2π （2）A0B0Px0y0作直线l的垂线，垂足为GPx0y0和直线l:AxByC0BxAyBx0Ay0 B2xAByAxByC

x A2联立BxAyBx

，解得 ABxA2yBC

y

A2B2xAByACABxA2yBC所以点G的坐标为 , . A2 A2 B2B2xABy x0 y0ABxA2yA2 A2A2xAByAC ABxB2yBC A2 A2 AxBy AxByA2B2 A2B2 AxByAxByA2A2 A2A0B0Ax0Cdx0Ax0C

A2Ax0By0A2Ax0By0A2Ax0By0By0Cdy0By0C

A2Ax0By0A2Ax0By0PPGl，垂足为GA0B0Py轴､x分别与l相交于Mx1y0Nx0y2Ax1By0C0Ax,0By2C0xBy0CyAx0C Ax0By0C所以PMx1Ax0By0CPN

y1y0Ax0By0CAx0By0CPMPM2PNPMPM2PNA2Ax0By0A2Ax0By0A2Ax0By0A0B0Ax0Cdx0Ax0C

A2Ax0By0A2Ax0By0A2Ax0By0By0Cdy0By0C

A2Ax0By0A2Ax0By018．(1)(2)ttt2AFABCDAFADAFAB，建立BEMEFN的一个法向量，利用向量法可求tACEFACAFAFACEFAFABCDADABCDABABCDAFADAFAB 以ADABAF所以ME23tBN320，所以MEBN23320，所以MEBN.（2）BE3,0,t,BM1,3,0,EF3,3,0,EN0,2,tBEM的一个法向量为n1x1y1z1BMn1 x13y1

y

x3,z ，即

，令

，得

3x1tz1 9 所以平面BEM的一个法向量为n3,1, EFN的一个法向量为n2x2y2z2EFn2 3x23y2

x

y1,z ，即2

0，令

，得 t 2 所以平面EFN的一个法向量为n1,1, BEMEFN，则n1n20得31180，解得t29t因为t0，所以t3 2 由（2）EFN的一个法向量n211,tKNn20 得3λ3λ20，解得λ5

77 15 t44t2

19．(1)4

315π (2) (3)（1）曲线C既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称x0y0时，曲线方程为(x1)2y1)24AxyB､C,则OADπOBDπ 所以∠BAC2π7π7π5π 所以 5π25π S15π25π扇 所以 131131，同理 31

由对称性可知，曲线CS4

S

315π 记曲线C在第一象限的圆心为O1，第