2025高考数学一轮复习-106-条件概率与全概率公式-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习・10.6■条件概率与全概率公式■专项训练【原卷版】

[A级基础达标I_

1.若P(AB)=gtP(A)=；,P(B)=[，则事件4与B的关系是()

A.事件4与B互斥B.事件4与8对立

C.事件4与B相互独立D.事件4与B既互斥又相互独立

2.[2023•山东青岛模拟]甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从可乐、乳制

品、矿泉水这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件力=

“甲选择可乐"，事件〃=”甲和乙选择的饮品不同”，则P(B|4)=()

A.-B.-C.-D.-

4233

3.[2023•广东广州模拟]深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行

数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出

场率分别为0.2,0.5,0.3,当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率

依次为0.4,0.2,0.8.当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为()

A.0.32B.0.68C.0.58D.0.64

4.(多选)设4,B是两个事件，且8发生71必定发生.若0<P(4)<1,0<

P⑻V1，则给出的下列各式中正确的是()

A.PG4UB)=P(B)B.P(B|4)=^

C.P(A\B)=1D.PG4B)=PQ4)

5.[2023•河北邢台模拟〕(多选)随机事件力与B相互独立，且B发生的概率为

0.4,71发生且8不发生的概率为0.3,则()

A.事件4发生的概率为0.6B.事件8发生且/不发生的概率为0.2

C.事件4或8发生的概率为0.9D.事件4与B同时发生的概率为0.2

6.[2023•上海财经大学附属高级中学模拟]袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从

袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回外，再加进一个白球，直至取出黑球为

止，则取了N次都没有取到黑球的概率是.

7.[2023•辽宁鞍山模拟]有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是

:,丙能解决的概率是;，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到

解决的概率为.

8.[2023•湖南岳阳模拟]某学校在甲、乙、丙三个地区进行新生录取，三个地区的录

取比例分别为£现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的瞬

356

是.

9.[2023•山东临沂模拟]已知某中学高一某班小丽、小许、小静三人分别独自进行投

篮训练，命中的概率分别是|一」，设各次投篮都相互独立.

345

(1)若小许投篮三次，求恰有两次命中的概率；

(2)若小丽、小许、小静三人各投篮一次，求至少一人命中的概率.

[B级综合运用]

10.如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是1,且是相互独立的，则灯亮的

概率为()

11.[2023・广东佛山模拟](多选)抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝

上面的点数.用“表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次

试验的结果.定义：事件4="％+y=7"，事件B="孙为奇数”，事件C=

“工>3”，则下列结论正确的是()

A.事件4与B互斥B.事件4与B对立

C.P(B|C)=：D.事件4与C相互独立

12.[2023•河北衡水模拟]有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为

6%，第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起，已知第1、

2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%,现从加工出来的零件

中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率

为.

13.[2023・湖北宜昌模拟]某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试生产初

期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工

序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别

为Pi=t曰="=；.

(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；

(2)如果在第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进

入流水线并由工人进行人工抽查检验.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件

下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率.

[C级素养提升]

14.[2022・高考全国卷乙]某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果

相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为Pl,P2，P3，且P3>P2>

P]>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，贝I」()

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第一盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，P最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

15.甲、乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣

味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题

者得3分，答错题者得0分.已知甲、乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p,在

第二轮比赛中答对题的概率都为q，且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲、乙两

人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得

分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为3,乙得5分的概率为5.

(1)求P,q的值；

(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.

2025高考数学一轮复习0.6■条件概率与全概率公式•专项训练【解析版】

［A级基础达标］

1.若P(AB)=g,P(A)=|,P(B),则事件4与B的关系是(C)

A.事件4与8互斥B.事件4与8对立

C.事件4与B相互独立D.事件4与B既互斥又相互独立

［解析」选C.因为P(A)=1-P(3)=l-1=；,

所以PG4B)=P(A)P⑻=：工0,

所以事件4与B相互独立、事件4与B不互斥，故不对立.故选C.

2.［2023•山东青岛模拟］甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从可乐、乳制

品、矿泉水这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件4=

“甲选择可乐"，事件8=”甲和乙选择的饮品不同”，则P(B|4)=(D)

A.-B.-C.-D.-

4233

［解析］选D.事件/=”甲选择可乐”，则P(4)=g，事件R=”甲和乙选择的饮品

不同”，则事件AB="甲选择可乐，乙选择的是乳制品或者矿泉水”，所以

P(4B)=［x泻，所以p(B|/)=需=|.故选D.

3.［2023•广东广州模拟］深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行

数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出

场率分别为0.2,0.5,0.3,当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率

依次为0.4,0.2,0.8.当乙球员参加比赛时,该球队这场比赛不输球的概率为(C)

A.0.32B.0.68C.0.58D.0.64

［解析］选C.设事件&表示“乙球员担当前锋”，事件&表示“乙球员担当中锋”，

事件&表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”.

则P(B)=P(4)P(BMi)+P(A2)P(.B\A2)+P(i43)P(B|i43)=0.2x0.4+0.5x0.24-

0.3x0.8=0.42,

所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为1-0.42=0.58.故选C.

4.(多选)设4,B是两个事件，且8发生4必定发生.若0VP(A)<1,0<

P(B)<1,则给出的下列各式中正确的是(BC)

A.P(4UB)=P(B)B.「。⑷二照

C.PQ4|B)=1D.PQ48)=PQ4)

［解析］选BC.因为B发生A必定发生，所以PQ4UB)=PQ4),P(4B)=P(B),故

A,D不正确；P(B⑷=眈=怒，故B正确；P(川B)=需=1，故C正确.

故选BC.

5.［2023•河北邢台模拟］(多选)随机事件4与B相互独立，且B发生的概率为

0.4,月发生国8不发生的概率为0.3,贝!J(BD)

A.事件4发生的概率为0.6B.事件B发生且A不发生的概率为0.2

C.事件力或B发生的概率为0.9D.事件4与B同时发生的概率为0.2

［解析］选BD.依题意事件4与B相互独立,P(B)=0.4,P(瓦)=0.6,P(AB)=

P(A)•P⑻=P(4)・0.6=0.3,

所以PG4)=0.5,A选项错误；

P(A)=0.5,所以P(不8)=P(1).P(B)=0.5x0.4=0.2zB选项正确；

事件4或B发生的概率为1一P(而)=1-P(A)-PlJ)=1-0.5x0.6=0.7,C选

项错误；

P(AH')="(力)-P(8)=0.5X0.4=0.2,D选项正确.

故选BD.

6.［2023•上海财经大学附属高级中学模拟］袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从

袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回外，再加进一个白球，直至取出黑球为

止，则取了N次都没有取到黑球的概率是专.

［解析］依题意，取了N次都没有取到黑球的概率P=ix^x^x...x-^-=-^.

7.［2023•辽宁鞍山模拟］有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是

;，丙能解决的概率震，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到

解决的概率为9.

6

［解析］设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件4,B,C,“在半

小时内该难题得到解决”为事件0，则P(4)=P(B)=［，P(G=1,O=4U8U

C，万表示事件“在半小时内没有解决该难题"，万=砒，

所以P(万)=P(^C)=PM)P(F)P(C)=1x|x|=J,P(0)=1-P(万)=|.

8.［2023・湖南岳阳模拟］某学校在甲、乙、丙三个地区进行新生录取，三个地区的录

取比例分别为5ii.现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是

356

7

3U•

［解析］记事件&,A2,A3表示此人选自甲、乙、丙三个地区,事件B表示此人被

录取，则P(AD=P(&)=P(4)=［,P(B］4)=［,。(8依2)=3,P(B|&)=

ooo

1

6'

所以P(B)=P(4)P(B|4)+P(4)P(B|42)+P(4)P(B|4)="：+9£+如*二

DDDDDO

7

30°

9.［2023•山东临沂模拟］已知某中学高一某班小丽、小许、小静三人分别独自进行投

篮训练，命中的概率分别是|，设各次投篮都相互独立.

345

(1)若小许投篮三次，求恰有两次命中的概率；

［答案］解：设小许“第一次命中”为事件当，“第二次命中”为事件为，“第三次

命中”为事件当，

“小许投篮三次，恰有两次命中”为事件E,

则P(E)=P(B［B2B3)+P(B瓦%)+P(B$2瓦)

=-1x-3x-3,+3-x-1x-3.+3-x-3x-1=—27.

44444444464

(2)若小丽、小许、小静三人各投篮一次，求至少一人命中的概率.

［答案］设“小丽命中”为事件4，“小许命中”为事件B，“小静命中”为事件。，

“三人投篮，至少一人命中”为事件。，

则“三人投篮，均未命中”为事件方

所以P(万)=(1—1)x(1—3)x(1—3=2，

所以P(D)=l_p⑸=1-2=案,

、'OUoU

所以三人投篮，至少一人命中的概率为".

6U

［B级综合运用］

10.如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是|,且是相互独立的，则灯亮的

概率为(C)

［解析］选C.灯泡不亮包括四个开关都断开，或开关C,D都断开且开关4,B中有

一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，所以灯泡不亮

的概率为；乂"*升3""；+"""六".因为灯泡亮与不亮是对立事

ZZZZZZZZZZZZ1b

件，所以灯亮的概率是I-亮=9.故选C.

1616

H.［2023・广东佛山模拟］(多选)抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝

上面的点数.用工表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用@y)表示一次

试验的结果.定义：事件4="x+y=7"，事件B="xy为奇数”，事件C=

“％>3”，则下列结论正确的是(AD)

A.事件4与B互斥B.事件4与B对立

C.P(B|C)=《D.事件力与C相互独立

I解析［选AD.对于A,因为x+y=7,所以％与y必是一奇一偶,又当xy为奇数

时，》与y都是奇数，所以事件4和B不能同时发生，即4与B互斥，故A正确；

对于B,因为事件4和8不能同时发生，但它们可以同时不发生，如x=1,y=2,

即4与B不对立,故B不正确；对于C,(x,y)的所有可能结果如表所示：

类别6

Z1z2XzLXe£万e16

1(1lLJ(Jxx

Kk\,3(1H,4)/

2z21fz2\zrX4)rr万X/26

v(kZJ\(ZJkiJI/

1sa4)

万

zz工Xzxrz

3(3(21r)4)3(3/6

xx7vJzkv

z41z2xzy4)r/5r46

—/

4((f(/6l(

vx务\\x

z34)画

1u

5(z5(z2(/(/LXr5/6

x1vXikTJv

zzXz\7\/\

6(6fd2s,5万lz66

xkJv,3J6,JxJ

3P

==-=所

一

p(p1*cJ\

3612.Z

对于D,PG4)=盘=*,P(C)=?=?,P(4C)=/=q，则有PG4C)=P(4).

P(C)tA与C相互独立，故D正确.综上所述，选AD.

12.［2023•河北衡水模拟］有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为

6%，第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起，已知第1、

2、3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%,现从加工出来的零件

中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率为,•

［解析］记4为事件“零件为第®=1,2,3)台车床加工”，B为事件“任取一个零件

为次品”，

则P(4)=0.25,P(7l2)=0.3,P(i43)=0.45,

所以P(B)=P(4)P(B=］)+P(4)P(B=z)+PG43)P(B4)

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05=0.0525

P（八）PQ|Ai〕0.25X0.06_2

所以PQ4/B）=

0.0525-7

13.［2023・湖北宜昌模拟］某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试生产初

期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工

序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别

为P1=1P2=3，

(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；

［答案］解：因为前三道工序的次品率分别为4=323=5，

1U7o

所以该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率为

P=1-(1-P1)(1-P2)(1-P3)=1-^X5X^=.J.

(2)如果在第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进

入流水线并由工人进行人工抽查检验.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件

下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率.

［答案］设“该款芯片智能自动检测合格”为事件A，“人工抽检合格”为事件B,

由已知得PQ4)=3,PG4B)=1-P=1-|=V,

所以工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率为P(B|A)=

PQ48)__7_10_7

P(4)-109-9,

［C级素养提升1

14.［2022•高考全国卷乙］某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果

相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为Pi,P2,P3，且P3>P2>

P］>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(D)

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

［解析］选D.方法一：设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙

比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P内,由题意可

知，于甲=2Plm2（1-P3）+P3（l-P2）］=2Plp2+2Plp3-4Plp2P3，P乙=

2P2电（1-P3）+P3（l-Pl）］=2Plp2+2P2P3-4Plp2P3，P丙=2P3【P1（1-P2）+

P2（l-Pl）］=2Plp3+2P2P3—4Plp2P3.所以「丙一「甲二2P2。3-Pl）＞。，P丙一

P乙=2p］（P3-P2）＞0,所以P丙最大，故选D.

方法二（特殊值法）：不妨设小=0.4,pz=0.5,p3=0.6,则该棋手在第二盘与甲

比赛连胜两盘的概率。甲=2pjp2（l-P3）+P3（l-P2）］=0.4；在第二盘与乙比赛连

胜两盘的概率P乙=2P2［P1（1-P3）+P3（l-Pl）］=0.52;在第二盘与丙比赛连胜两盘

的概率P丙=