2021届广东省高三新高大联考数学试卷（3月份） （解析版）

2021年广东省高考数学大联考试卷（3月份）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，+∞） B．（2，3） C．（0，3） D．（2，+∞）2．已知复数z满足z＝（1+2i）（2+i）（i为虚数单位），则|z|＝（）A．2 B．4 C．5 D．53．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为BC的中点，则四面体AEDC1的体积为（）A．4 B． C． D．24．已知等比数列{an}的各项均为负数，若a2a8+2a3a9+a72＝16，则a5+a7＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣165．已知直线l：x+y﹣3＝0交圆x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0于A、B两点，则|AB|＝（）A．2 B．1 C．2 D．6．a，b都为正数，则“ab≥”是“≤4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．公元960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面．北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情况下得到广泛应用．1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，为数学的发展创造了良好的条件．11至14世纪出现了一批著名的数学家和数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》，《日用算法》和《杨辉算法》，现从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为（）A． B． C． D．8．已知函数f（x）＝2x﹣1，令a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c二、多选题（共4小题）.9．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，直线l过F交抛物线于A、B两点，交抛物线的准线于点P，（点A在P、F之间），若，O为坐标原点，则（）A．点A的坐标为（1，2） B．|BF|＝12 C．直线l的方程为y＝±（x﹣3） D．|AO|＝10．将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω∈N*）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若f（x）的所有对称中心与g（x）的所有对称中心重合，则ω可以为（）A．3 B．6 C．9 D．1211．已知定义在R上的函数f（x），满足f（x+2）＝f（2﹣x），f'（x）为f（x）的导函数，且对于任意的x∈R，都有（x﹣2）f'（x）＜0，则（）A．f（0）＝f（4） B．f（﹣1）＞f（5） C．∀x∈R，f（x）≤f（2） D．∀x∈R，f（x）≥f（2）12．如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为O1，O2，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为O，则（）A．如果PO1＝O1O2，则O与O1重合 B．O1O2+2PO1＝2 C．如果PO1：O1O2＝1：3，则圆柱的体积为 D．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为三、填空题（共4小题）.13．已知向量＝（1，2），向量与向量共线，且•＝15，则||＝．14．已知F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M为双曲线的左支上一点，满足|MF1|＝2|F1F2|，且cos∠MF1F2＝﹣，则该双曲线的离心率e＝．15．写出一个最小正周期为2的偶函数f（x）＝．16．已知函数f（x）＝，则函数y＝f（f（x））﹣1的零点个数为．四、解答题（共6小题）.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，（a﹣c）sinA＝（b﹣c）（sinB+sinC）．（1）求角B；（2）求△ABC周长的最大值．18．已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，an＞0，2a2+a3＝a4，S5＝4a4﹣1．（1）求an；（2）在平面直角坐标系xOy中，设点Qk（k，bk）（k＝1，2，3，…），直线QkQk+1的斜率为2k，且b1＝1，求数列{bn}的通项公式．19．如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是边长为2的菱形，∠ABB1＝120°，平面AA1B1B⊥平面ABC，M、N分别为AB、BB1的中点，AC＝BC＝．（1）证明：BC1∥平面A1CM；（2）求二面角M﹣AC﹣N的余弦值．20．某大型小区物业公司为增强居民对消防安全的认识，特对小区居民举办了一次消防安全知识测试．并从中随机抽取了参加测试的1000人的成绩（满分：100分），经统计得到如图频率分布直方图：（1）（ⅰ）求m；（ⅱ）由直方图可知，此次测试分数X近似服从正态分布N（65，121），请用正态分布知识求P（54＜X≤87）；（2）在（1）的条件下，为鼓励该小区居民多学习消防安全知识，本次测试制定如下奖励方案：测试成绩低于65的居民获得1次随机红包奖励，成绩不低于65的居民获得2次随机红包奖励．每次随机红包钱数（单位：元）对应的概率如表：随机红包3050概率该小区王大爷参加此次测试，记ξ为王大爷获得的红包奖励钱数（单位：元），求ξ的分布列及数学期望．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974．21．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点（，）设点P为圆O：x2+y2＝3上任意一点，过点P作圆的切线交椭圆C于点E、F．（1）求椭圆C的方程；（2）试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．22．已知函数f（x）＝e﹣x（x3﹣2x+2sinx+1），g（x）＝sinx+cosx+x2﹣2x．（1）求g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）证明：对任意的实数a≤1，g（x）≥af（x）在[0，+∞）上恒成立．

参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，+∞） B．（2，3） C．（0，3） D．（2，+∞）解：∵A＝{x|x＞2}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A∪B＝（0，+∞）．故选：A．2．已知复数z满足z＝（1+2i）（2+i）（i为虚数单位），则|z|＝（）A．2 B．4 C．5 D．5解：z＝（1+2i）（2+i）＝5i，则|z|＝5．故选：C．3．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为BC的中点，则四面体AEDC1的体积为（）A．4 B． C． D．2解：由题意，四面体AEDC1的底面积为：＝2，高为2，所以则四面体AEDC1的体积为：＝．故选：C．4．已知等比数列{an}的各项均为负数，若a2a8+2a3a9+a72＝16，则a5+a7＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16解：等比数列{an}的各项均为负数，若a2a8+2a3a9+a72＝16，则a52+2a5a7+a72＝16，则（a5+a7）2＝16，解得a5+a7＝﹣4，故选：B．5．已知直线l：x+y﹣3＝0交圆x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0于A、B两点，则|AB|＝（）A．2 B．1 C．2 D．解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0，即（x+2）2+（y﹣1）2＝9，其圆心为（﹣2，1），半径r＝3，圆心到直线l的距离d＝＝2，则弦长|AB|＝2×＝2，故选：A．6．a，b都为正数，则“ab≥”是“≤4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：当ab≥时，取a＝9，b＝，则ab＝1＞，+＝+9＞4，故ab≥”推不出“≤4”，不是充分条件，当≤4时，已知基本不等式≤，则≤+，当且仅当a＝b时“＝”成立，又∵≤4，∴≤4，则ab≥，于是“≤4”可以推出“ab≥”，故a，b都为正数，则“ab≥”是“≤4”的必要不充分条件，故选：B．7．公元960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面．北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情况下得到广泛应用．1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，为数学的发展创造了良好的条件．11至14世纪出现了一批著名的数学家和数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》，《日用算法》和《杨辉算法》，现从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为（）A． B． C． D．解：由题设可得：从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，共有C＝10种选法，其中所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的选法有C+CC＝7种，∴所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为，故选：B．8．已知函数f（x）＝2x﹣1，令a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c解：令g（x）＝＝，x＞0，则g′（x）＝，令h（x）＝x•2xln2﹣2x+1，x＞0，∴h′（x）＝ln2（x•2xln2+2x）﹣2xln2＝2xln22•x＞0恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0，∴g（x）在（0，+∞）上单调的递增，∵（2）10＝25＝32，（5）10＝25，∴＞＞1，又0＜log32＜1，∴＞＞log32，∴g（）＞g（）＞g（log32），∴＞＞，∴a＞b＞c，故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，直线l过F交抛物线于A、B两点，交抛物线的准线于点P，（点A在P、F之间），若，O为坐标原点，则（）A．点A的坐标为（1，2） B．|BF|＝12 C．直线l的方程为y＝±（x﹣3） D．|AO|＝解：由题意可知F（3，0），准线方程为x＝﹣3，设P（﹣3，yP），A（xA，yA），∵，∴（6，﹣yP）＝3（3﹣xA，yA），∴9﹣3xA＝6，∴xA＝1，∴yA＝±2，故选项A不正确；直线l的斜率k＝＝＝，∴l的方程为：y＝（x﹣3），∴C正确；|OA|＝＝＝，∴D正确．联立，得x2﹣10x+9＝0，∴xAxB＝9，∵xA＝1，∴xB＝9，∴|BF|＝＝9+3＝12，∴B正确；故选：BCD．10．将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω∈N*）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若f（x）的所有对称中心与g（x）的所有对称中心重合，则ω可以为（）A．3 B．6 C．9 D．12解：将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω∈N*）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）＝sin（ωx﹣+）的图象，若f（x）的所有对称中心与g（x）的所有对称中心重合，故f（x）的图象和g（x）的图象相差半个周期的整数倍，即g（x）＝±f（x），∴＝k••＝k•，即ω＝6k，k∈Z，则ω可等于6，12，故选：BD．11．已知定义在R上的函数f（x），满足f（x+2）＝f（2﹣x），f'（x）为f（x）的导函数，且对于任意的x∈R，都有（x﹣2）f'（x）＜0，则（）A．f（0）＝f（4） B．f（﹣1）＞f（5） C．∀x∈R，f（x）≤f（2） D．∀x∈R，f（x）≥f（2）解：∵f（x+2）＝f（2﹣x），当x＝2时，f（0）＝f（4），故A正确；当x＝3时，f（﹣1）＝f（5），故B错误；由f（x+2）＝f（2﹣x）知，y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，又（x﹣2）f'（x）＜0，∴当x＞2时，f'（x）＜0，即y＝f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，当x＜2时，f'（x）＞0，y＝f（x）在区间（﹣∞，2）上单调递增，∴∀x∈R，f（x）≤f（2），故C正确，D错误；综上所述，AC正确，故选：AC．12．如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为O1，O2，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为O，则（）A．如果PO1＝O1O2，则O与O1重合 B．O1O2+2PO1＝2 C．如果PO1：O1O2＝1：3，则圆柱的体积为 D．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为解：由O为外接球的球心得PO＝AO＝CO＝DO，选项A，若O与O1重合，则PO＝OO2，所以OC＝OD＞OO2≠OP与题设矛盾，故A不正确；选项B，由于BO＝DO，则O为O1O2中点，如图所示，因为PO＝PO1+O1O＝R＝1，OO2＝OO1，所以PO1+OO2＝1，所以PO1+O1O+PO1+OO2＝O1O2+2PO1＝2，故B正确；选项C，由PO1：O1O2＝1：3，O1O2+2PO1＝2，可得PO1＝，O1O2＝，所以OO1＝O1O2＝，又有OB＝1，则O1B＝，所以V＝π•O1B2•O1O2＝π•＝，故C正确；选项D，，则PO1＝O1O2，又O1O2+2PO1＝2，所以PO1＝，O1O2＝1，则OO1＝，所以O1B2＝1﹣＝，所以V锥＝π•O1B2•PO1＝，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。13．已知向量＝（1，2），向量与向量共线，且•＝15，则||＝3．解：因为向量＝（1，2），向量与向量共线，所以设＝λ＝（λ，2λ），又•＝15，所以λ+4λ＝15，所以λ＝3，所以＝（3，6），所以||＝＝3．故答案为：3．14．已知F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M为双曲线的左支上一点，满足|MF1|＝2|F1F2|，且cos∠MF1F2＝﹣，则该双曲线的离心率e＝2．解：由已知可设|F1F2|＝2c，又点M为双曲线的左支上一点，满足|MF1|＝2|F1F2|，则|MF2|﹣|MF1|＝2a，且|MF1|＝4c，所以|MF2|＝2a+4c，在三角形MF1F2中，由余弦定理可得：cos∠MF1F2＝＝，整理可得9c2﹣16ac﹣4a2＝0，即9e2﹣16e﹣4＝0，解得e＝2或﹣（舍去），所以双曲线的离心率为2，故答案为：2．15．写出一个最小正周期为2的偶函数f（x）＝cos（πx）（答案不唯一）．解：根据题意，要求函数是最小正周期为2的偶函数，可以联想余弦函数，则f（x）＝cos（πx），故答案为：cos（πx）（答案不唯一）16．已知函数f（x）＝，则函数y＝f（f（x））﹣1的零点个数为10．解：函数f（x）＝的图象如下图所示：若f（x）＝1，当x≤0时，x2+4x+1＝1⇒x＝0或x＝﹣4，当x＞0时，|log2x|＝1⇒x＝2或x＝，结合图象分析：y＝f[f（x）]﹣1＝0，则f[f（x）]＝1，即f（x）＝0或f（x）＝﹣4或f（x）＝2或f（x）＝；对于f（x）＝0，存在3个零点；对于f（x）＝2，存在3个零点；对于f（x）＝，存在4个零点；对于f（x）＝﹣4，不存在零点，综上所述，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为10个，故答案为：10．四、解答题：本大题有6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，（a﹣c）sinA＝（b﹣c）（sinB+sinC）．（1）求角B；（2）求△ABC周长的最大值．解：（1）由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣c）sinA＝（b﹣c）（sinB+sinC），∴（a﹣c）a＝（b﹣c）（b+c），整理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理知，cosB＝＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）由（1）知，B＝，∴A+C＝，由正弦定理知，＝＝＝＝，∴a＝sinA，c＝sinC，∴a+c＝（sinA+sinC）＝[sinA+sin（﹣A）]＝（sinA+cosA+sinA）＝（sinA+cosA）＝×sin（A+）＝8sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，），当A+＝，即A＝时，a+c取得最大值，为8，∴a+b+c≤8+4＝12，故△ABC周长的最大值为12．18．已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，an＞0，2a2+a3＝a4，S5＝4a4﹣1．（1）求an；（2）在平面直角坐标系xOy中，设点Qk（k，bk）（k＝1，2，3，…），直线QkQk+1的斜率为2k，且b1＝1，求数列{bn}的通项公式．解：（1）等比数列{an}中，an＞0，2a2+a3＝a4，所以，则q2﹣q﹣2＝0，由an＞0得，q＞0，故q＝2或q＝﹣1（舍），因为S5＝4a4﹣1，所以＝4a1×23﹣1，解得，a1＝1，故an＝2n﹣1；（2）由题意得，＝2k，即bk+1﹣bk＝2k，所以b2﹣b1＝2，b3﹣b2＝22，…bn﹣bn﹣1＝2n﹣1，累加得，bn﹣b1＝2+22+…+2n﹣1＝＝2n﹣2，故bn＝2n﹣1．19．如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是边长为2的菱形，∠ABB1＝120°，平面AA1B1B⊥平面ABC，M、N分别为AB、BB1的中点，AC＝BC＝．（1）证明：BC1∥平面A1CM；（2）求二面角M﹣AC﹣N的余弦值．【解答】（1）证明：取A1B1中点D，连接DC1、DB，⇒四边形A1DBM为平行四边形，所以A1M∥DB，因为DM∥B1B，DM＝B1B，又B1B∥C1C，B1B＝C1C，所以DM∥C1C，DM＝C1C，所以四边形DMCC1为平行四边形，所以DC1∥MC，A1M∩MC＝M，BD∩DC1＝D，所以平面BC1D∥平面A1CM，又因为BC1⊂平面BC1D，所以BC1∥平面A1CM；（2）解：因为侧面ABB1A1是边长为2的菱形，∠ABB1＝120°，所以△A1AB为正三角形，所以A1M⊥AB，又因为平面AA1B1B⊥平面ABC，所以A1M⊥平面ABC，所以A1M⊥MC，因为AC＝BC＝，所以CM⊥AB，于是MB、MC、MA1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：A（﹣1，0，0），C（0，1，0），B（1，0，0），B1（2，0，），N（，0，）．＝（1，1，0），＝（，0，），设平面ACN的法向量为＝（x，y，z）．，令z＝﹣5，＝（，﹣，﹣5），平面MAC的法向量为＝（0，0，1），设二面角M﹣AC﹣N的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以cosθ＝＝＝．故二面角M﹣AC﹣N的余弦值为．20．某大型小区物业公司为增强居民对消防安全的认识，特对小区居民举办了一次消防安全知识测试．并从中随机抽取了参加测试的1000人的成绩（满分：100分），经统计得到如图频率分布直方图：（1）（ⅰ）求m；（ⅱ）由直方图可知，此次测试分数X近似服从正态分布N（65，121），请用正态分布知识求P（54＜X≤87）；（2）在（1）的条件下，为鼓励该小区居民多学习消防安全知识，本次测试制定如下奖励方案：测试成绩低于65的居民获得1次随机红包奖励，成绩不低于65的居民获得2次随机红包奖励．每次随机红包钱数（单位：元）对应的概率如表：随机红包3050概率该小区王大爷参加此次测试，记ξ为王大爷获得的红包奖励钱数（单位：元），求ξ的分布列及数学期望．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974．解：（1）（ⅰ）由10（0.0025+m+0.02+0.025+0.0225+0.01+0.005）＝1，解得m＝0.015；（ⅱ）∵测试分数X近似服从正态分布N（65，121），∴μ＝65，σ＝11，则P（54＜X≤87）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）+P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]＝（0.9545+0.6827）＝0.8186；（2）由题意可知，ξ的可能取值为：30，50，60，80，100，由频率分布直方图可知，测试成绩低于65的频率为，以频率作为概率，可得：P（ξ＝30）＝，P（ξ＝50）＝，P（ξ＝60）＝，P（ξ＝80）＝，P（ξ＝100）＝．∴ξ的分布列为ξ30506080100PEξ＝＝51．21．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点（，）设点P为圆O：x2+y2＝3上任意一点，过点P作圆的切线交椭圆C于点E、F．（1）求椭圆C的方程；（2）试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解：（1）由题可得，解得a＝2，b＝2．∴椭圆的方程为；（2）①当过点P且与圆x2+y2＝3相切的切线斜率不存在时，由对称性，不妨设切线方程为x＝，则P（，0），E（，），F（，﹣），∴．②当过点P且与圆x2+y2＝3相切的