2025-2026学年青海省西宁市城北区朝阳学校九年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年青海省西宁市城北区朝阳学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（）A. B.

C. D.2.下列方程是一元二次方程的是（）A.ax2+bx+c=0 B.3x2-2x=3（x2-2）

C.x3-2x-4=0 D.（x-1）2+1=03.已知（-2，y1），（1，y2），（3，y3）是抛物线y=2x2+6x+c上的点，则（）A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y2＜y1 D.y1＜y3＜y24.平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（）A.（-4，3） B.（-3，4） C.（3，-4） D.（4，-3）5.抛物线y=x2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度所得抛物线的解析式是（）A.y=（x+2）2+4 B.y=（x+2）2-4 C.y=（x-2）2+4 D.y=（x-2）2-46.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（）A. B.

C. D.7.如图，在Rt△ABC中，AC=50m,CB=40m,∠C=90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB以3m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是（）

A.10s或15s B.10s C.15s D.20s8.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①abc＞0；②a+b+c＞0；③4a-2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）.正确的说法个数是（）A.1

B.2

C.3

D.4二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。9.若函数y=（m-3）x是二次函数，则m=______．10.一元二次方程x2-11x+30=0的两根是等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为

.11.如果抛物线y=-x2+bx的对称轴为y轴，那么实数b的值为______．12.已知m,n是一元二次方程x2+x-2024=0的两个实数根，则代数式m2+m+mn的值等于

.13.用配方法将函数解析式化为y=a（x-h）2+k的形式为

.14.已知函数y=x2-6x+2，当-2＜x＜4时，则y的取值范围为

.15.如图某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径OA=10m,地面宽AB=16m,则高度CD为

.

16.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若AB=4，∠AA′B′=15°，则AB′的长度为

.

17.如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面AB宽为20m,拱桥的最高点O到水面AB的距离为4m.如果此时水位上升3m就达到警戒水位CD，那么CD宽为

.18.在平面直角坐标系中，将点A（1，0）向右平移一个单位得到点B，再取点B关于原点的对称点C，然后把点C绕原点顺时针旋转90°得到点A1，称作一个周期变化，第二个周期变化后得到的点为A2，第三个周期变化后得到的点为A3，以此类推，则点A2025的坐标为

.三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

解下列方程：

（1）2x2-4x-1=0.

（2）（y-1）2+2y（1-y）=0.20.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2-3x-m2+m+1=0（m为常数）.

（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程有两个实数根x1，x2，且（x1+1）（x2+1）=5，求m的值.21.(本小题10分)

如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（不需要作图过程）

（1）画出以点A为旋转中心，△ABC沿逆时针方向旋转90°后的图形△A1B1C1；

（2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2；

（3）若在x轴上存在点P，使得PA+PB最小，则点P的坐标为______．

​22.(本小题10分)

如图，已知抛物线经过A（3，0），B（1，0），C（0，-3）三点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）该抛物线顶点为D，求△DCA的面积.23.(本小题10分)

如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．

（1）求证：∠ACO=∠BCD；

（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径.

​24.(本小题10分)

超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．

（1）请写出y与x之间的函数表达式；

（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？

（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时，w最大，最大值是多少？25.(本小题10分)

如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0）、C（0，2）.

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.26.(本小题10分)

综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN=BM.

【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN=DB，请思考并证明.

【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB.试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】-5

10.【答案】16或17

11.【答案】0

12.【答案】0

13.【答案】y=-（x-1）2+2

14.【答案】-7≤y＜18

15.【答案】4m

16.【答案】2-2

17.【答案】10m

18.【答案】（0，2）

19.【答案】（1）

（2）y1=1，y2=-1

20.【答案】证明：∵Δ=（-3）2-4×1×（-m2+m+1）=4m2-4m+5=（2m-1）2+4＞0，

∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

m1=0，m2=1

21.【答案】（1）△A1B1C1如图所示．

（2）△A2B2C2如图所示．

​

（3）（3，0）

22.【答案】y=-x2+4x-3；

3．

23.【答案】（1）证明：连接OC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，∠BCD与∠ACE互余；又∠ACE与∠CAE互余，

∴∠BCD=∠BAC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ACO=∠BCD；

（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB-EB=（R-8）cm，

CE=CD=×24=12cm，

在Rt△CEO中，由勾股定理可得

OC2=OE2+CE2，即R2=（R-8）2+122

解得R=13，

∴2R=2×13=26cm．

答：⊙O的直径为26cm．

24.【答案】解：（1）根据题意得，y=-x+50；

（2）根据题意得，（40+x）（-x+50）=2250，

解得：x1=50，x2=10，

∵每件利润不能超过60元，

∴x=10，

答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；

（3）根据题意得，w=（40+x）（-x+50）=-x2+30x+2000=-（x-30）2+2450，

∵a=-＜0，

∴当x＜30时，w随x的增大而增大，且每件利润不能超过60元，

∴当x=20时，w最大=2400，

答：当x为20时w最大，最大值是2400元．

25.【答案】解：（1）将A（-1，0），C（0，2）代入y=-x2+mx+n,

则，解得：，

∴抛物线的表达式为y=-x2+x+2；

（2）存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，理由如下：

∵y=-x2+x+2=-（x-）2+，

∴对称轴为直线x=，

∵C（0，2），D（，0），

∴CD==，

设P（，n），

当CD=CP时，=，

解得n=4或t=0（舍去），

∴P（，4）；

当CD=DP时，=|t|，

解得t=或t=-，

∴P（，）或（，-）；

综上所述：P点坐标为：（，4）或（，）或（，-）；

（3）当点E运动到（2，1）位置时，△CBF的面积最大，理由如下：

令y=0，则-x2+x+2=0，

解得x=4或x=-1，

∴B（4，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b,

则，解得：，

∴直线BC的解析式为y=-x+2，

如图，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，

设E（t,-t2+t+2），

则F（t,-t+2），

∴EF=-t2+t+2+t-2=-t2+2t=-（t-2）2+2，

∴当t=2时，EF最大为2，此时△CBF的面积最大，则四边形CDBF面积最大，

∴S△CBF=×4×EF=2EF=4，

∴当t=2时，△CBF的面积最大，最大值为4，

此时E（2，1）．

则四边形CDBF面积最大值=△CBF的面积最大值+△CBD面积=4+×BD×OC=4×2×（4-）=，

答：四边形CDBF面积最大值为：，此时E点的坐标为（2，1）．

26.【答案】（1）证明∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=60°，AB=AC，

∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，

∴DM=AM，∠AMD=120°，

∴∠DMB=60°，

在△ANM与△MBD中，

，

∴△ANM≌△MBD（SAS），

∴MN=DB；

（2）解：四边形AFBD为平行四边