高中数学（文）课时作业第四章平面向量数系的扩充与复数的引入27

课时作业27数系的扩充与复数的引入一、选择题1．(2017·新课标全国卷Ⅰ，文科)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)解析：A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.答案：C2．(2018·安徽江南十校联考)若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为()A.eq\f(\r(2)－1,2)B.eqB.\r(2)－1C．1D.eq\f(\r(2)＋1,2)解析：由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝eq\f(\r(2)＋i,1－i)＝eq\f(\r(2)＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(\r(2)－1,2)＋eq\f(\r(2)＋1,2)i，z的实部为eq\f(\r(2)－1,2)，故选A.答案：A3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i解析：由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.答案：C4．(2018·云南省高三11校跨区调研考试)已知复数z满足(1－i)z＝2i，则z的模为()B.eqB.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：依题意得z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝i(1＋i)＝－1＋i，|z|＝|－1＋i|＝eq\r(－12＋12)＝eq\r(2)，选B.答案：B5．(2018·吉林二调)设复数z＝lg(m2－1)＋eq\r(1－m)i，则z在复平面内对应的点()A．一定不在第一、二象限B．一定不在第二、三象限C．一定不在第三、四象限D．一定不在第二、三、四象限解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1>0，,1－m≥0，))∴m<－1，此时lg(m2－1)可正、可负，eq\r(1－m)>eq\r(2)，故选C.答案：C6．(2018·开封一模)已知i为虚数单位，a∈R，若eq\f(2－i,a＋i)为纯虚数，则a＝()A.eq\r(2)B．1C.eq\f(1,2)D．2解析：由题意得，eq\f(2－i,a＋i)＝ti，t≠0，∴2－i＝－t＋tai，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t＝2，,ta＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝－2，,a＝\f(1,2)，))故选C.答案：C7．(2018·广东肇庆模拟)若复数z满足(1＋2i)z＝(1－i)，则|z|＝()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(\r(10),5)D.eqD.\r(10)解析：z＝eq\f(1－i,1＋2i)＝eq\f(－1－3i,5)⇒|z|＝eq\f(\r(10),5).答案：C8．(2018·湖北优质高中联考)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则eq\f(2,z)－z2的共轭复数是()A．－1＋3iB．1＋3iC．1－3iD．－1－3i解析：eq\f(2,z)－z2＝eq\f(2,1＋i)－(1＋i)2＝eq\f(21－i,1＋i1－i)－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是1＋3i，故选B.答案：B9．(2018·广东省五校高三第一次考试)已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则eq\f(a＋i2016,1＋i)＝()A．1B．0C．1＋iD．1－i解析：z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，则有eq\f(1＋i2016,1＋i)＝eq\f(1＋1,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝1－i，选D.答案：D10．(2018·深圳调研)已知复数z满足(1＋i)z＝|eq\r(3)＋i|，i为虚数单位，则z等于()A．1－iB．1＋iC.eq\f(1,2)－eq\f(1,2)iD.eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i解析：本题考查复数的四则运算与相关概念．由题可得z＝eq\f(|\r(3)＋i|,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝eq\f(21－i,2)＝1－i，故选A.答案：A二、填空题11．复数|1＋eq\r(2)i|＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3)i,1＋i)))2＝________.解析：原式＝eq\r(12＋\r(2)2)＋eq\f(1－\r(3)i2,1＋i2)＝eq\r(3)＋eq\f(－2－2\r(3)i,2i)＝eq\r(3)＋eq\f(－2,2i)＋eq\f(－2\r(3)i,2i)＝i.答案：i12．设z2＝z1－ieq\x\to(z1)(其中eq\x\to(z1)表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，所以eq\x\to(z1)＝a－bi，z2＝z1－ieq\x\to(z1)＝a＋bi－i(a－bi)＝a＋bi－ai－b＝a－b＋(b－a)i，因为z2的实部是－1，所以a－b＝－1，所以z2的虚部为b－a＝1.答案：113．(2018·南京二模)若复数z满足z(1－i)＝2i(i是虚数单位)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)＝________.解析：本题考查复数的运算．复数z＝eq\f(2i,1－i)＝i(1＋i)＝－1＋i，则eq\x\to(z)＝－1－i，所以z·eq\x\to(z)＝(－1＋i)(－1－i)＝2.答案：214．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若eq\o(OC,\s\up12(→))＝λeq\o(OA,\s\up12(→))＋μeq\o(OB,\s\up12(→))，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得eq\o(OC,\s\up12(→))＝(3，－4)，eq\o(OA,\s\up12(→))＝(－1,2)，eq\o(OB,\s\up12(→))＝(1，－1)，根据eq\o(OC,\s\up12(→))＝λeq\o(OA,\s\up12(→))＋μeq\o(OB,\s\up12(→))得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝3，,2λ－μ＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2.))∴λ＋μ＝1.答案：1[能力挑战]15．(2018·郑州第二次质量预测)已知复数f(n)＝in(n∈N*)，则集合{z|z＝f(n)}中元素的个数是()A．4B．3C．2D．无数解析：本题考查复数的运算．集合{i，－1，－i,1}中有4个元素，故选A.答案：A16．(2018·安徽黄山二模)复数z＝(a＋1)＋(a2－3)i(i为虚数单位)，若z<0，则实数a的值是()A.eq\r(3)B．1C．－1D．－eq\r(3)解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,a2－3＝0，))解得a＝－eq\r(3).故选D.答案：D17．(2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数