《综合法和分析法》(上课用)

2.2直接证明与间接证明演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习结论通过合情推理取得，但其可靠性有待验证。在数学领域，有哪些证明方法可以采用呢？证明：已知a>0,b>0，要证明的不等式是a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)≥4abc。首先对不等式进行展开：a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)=ab^2+ac^2+bc^2+ba^2。将上式重写为：=a(b^2+a^2)+b(c^2+b^2)。接下来，利用算术平均数大于等于几何平均数的不等式（AM-GM不等式）：a(b^2+a^2)≥2√(a^3b^2)=2ab√a。b(c^2+b^2)≥2√(b^3c^2)=2bc√b。将上述两个不等式相加，得到：a(b^2+a^2)+b(c^2+b^2)≥2ab√a+2bc√b。注意到√a和√b都是正数，所以可以将上式进一步简化为：a(b^2+a^2)+b(c^2+b^2)≥2ab√a+2bc√b=2ab√a+2ab√c。现在，可以将右边的表达式重写为：2ab(√a+√c)。由于a>0,b>0,c>0，所以√a+√c>0，因此可以得出：a(b^2+a^2)+b(c^2+b^2)≥2ab(√a+√c)。进一步简化得到：a(b^2+a^2)+b(c^2+b^2)≥4abc。因为a,b,c都是正数，所以可以去掉不等式两边的公因数2ab，得到：a(b^2+a^2)+b(c^2+b^2)≥4abc。这样，不等式就被证明为成立。因为b2+c2

≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:在数学论证过程中，我们通常依据既定的条件和一系列数学原则、定理、公理及特性，经过逻辑推理来得出所需证明的结论。１.综合法——由因导果以命题的已知条件为起点，借助定义、公理、定理以及运算规则，通过连续的推理与证明，最终确立所要证明的结论的正确性。（亦称正向证明法）探索求知注意：以P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示需要证明的结论，综合法可以通过以下框图来表示：PQ1QnQQ2Q3Q1Q2…练习：求证：证明：因为所以左式=2log195+log193+3log192=log19(5^2×3^2×2^3)=log19(5^2×3^2×8)=log19(5^2×24)=log19(600)因为log19360<log19361=2，所以证为数为数证证为数为数证探索求知例：求证不等式：.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。证明：要证即证故不等式成立.只需证只需证2.分析法探索求知以证明的结论为起点，逐步探索支撑其成立的充分条件，最终将所要证明的命题转化为一个已知（如定理、定义、公理等）的明显成立条件。此证明方式被称为分析法（亦称逆推法）。——执果索因

用Q表示待证结论，分析法可以框图展示如下：得到一个明显成立的条件QP1P1P2P2P3…证法1:对于正数a,b,有证法2:要证只要证只要证只要证因为最后一个不等式成立，故结论成立。综合法分析法表达简洁!目的性强,易于探索!【分析法】从终点开始，探索确保终点成立的充分前提最终，将待证明的结论简化为验证一个显然成立的条件。需证明：仅需证明：只需证明：显然，以下步骤成立前述步骤皆可逆推因此，结论得以确立要证：

所以结论成立格式解:要证只需证展开,只需证只需证21<25因为21<25成立,所以成立.在三角形ABC中，设内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C构成等差数列，a、b、c构成等比数列，证明三角形ABC是等边三角形。分析：把题中的文字语言转化为符号语言：

A+C=2B

⑴，

b2=ac

⑵由（1）联想到内角各能得到什么？由（2）引发的三角形相关知识是余弦定理，将它们结合可以得出什么结论？证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①

由①②，得②③由于，a，b，c成等比数列，有④由余弦定理及③，可得再由④，得因此，a=c从而有A=C由②③⑤，得证:例：上述过程可用框图表示:直接证明(回顾小结)分析法能明确解题方向，便于寻找解题路径；综合法条理分明，便于表述。一般通过分析法探索思路，