第7章 刚体的平面运动

第7章

刚体的平面运动本章内容

1力在轴上的投影与力对点的矩

2力偶矩

平面力偶系的简化

3平面力系的简化4平面力系的平衡条件与平衡方程式5平面力系平衡方程式的应用举例第一节

刚体平面运动的运动方程刚体的平面运动是一种比平行移动和定轴转动更复杂的运动，如车轮沿直线轨道的滚动（见图7-1（a）），曲柄连杆机构中连杆

的运动（见图7-1（b））等。（a）

（b）图7-1刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变的运动称为刚体平面运动。设刚体做平面运动，

是其固定参考平面，用与

平行的假想平面

去截刚体，得到刚体的一个平行于

的平面图形

；过刚体内任意一点

作固定参考平面

的垂线

，

与平面图形

交于

点，如图7-2所示。图7-2平面图形

在自身平面内运动。这是因为刚体做平面运动，平面图形

与

平行，于是其上各点到固定参考平面

的距离始终保持相等，从而这个平面图形

只能在自身平面内运动。刚体上任何点的运动，都可以通过平面图形

（或其延展平面）上相应点的运动来代替（只要过该点向

作垂线，垂线与

的交点的运动就能代替垂线上所有点的运动）。既然刚体上所有点的运动都可以由平行于

的平面图形

（或其延展平面）上相应点的运动来代替，而平面图形

又在自身平面内运动，那么刚体的平面运动可以简化为一个平行于固定参考平面的图形

在自身平面内的运动。设平面图形

在固定平面

内运动，在平面上建立静坐标系

，如图7-3所示。平面图形

的位置可用其上任一段

的位置来确定，而线段

的位置则由

点的坐标

，

和

对于

轴的转角

来确定。平面图形

运动时，

，

和

随时间

变化，它们都是

的单值连续函数，即（7-1a）（7-1b）（7-1c）图7-3平面图形上任一点

的运动方程，如图7-4所示。该方程为（7-2a）图7-4式中，

和

是常量。式（7-2a）对时间求一次导数和二次导数可求得

点的速度和加速度在坐标轴上的投影：（7-2b）（7-2c）第二节刚体平面运动分解为平动和转动从平面运动方程式（7-1）可看出，平面图形

的运动有两种特殊情况：（1）若

常数，即平面图形在运动过程中，线段

的方位保持不变。显然，这是平面图形在平面内做运动，平面图形上任一点的运动与

点的运动相同，而

点的运动由运动方程式（7-1a）和式（7-1b）二式给出。（2）若

和

同为常数，说明

点不动，平面图形将绕过

点且垂直于平面图形的固定轴转动，其转动规律由运动方程式（7-1c）给出。图7-5在一般情况下，刚体的平面运动可以看成是平动和转动这两种刚体的基本运动合成的结果。也就是说，平面运动可分解成平动和转动。例如，轮子在地面上滚动，如图7-5所示，轮子从位置

到位置

的平面运动可以看成是：①轮子随轮心

平动到假想的中间位置

；②再由该中间位置绕

轴转动到位置

。当然轮子的平面运动并不是先平动而后转动，它的运动是一个连续过程，应当看成为同时进行着平动和转动。对于平面图形

对静坐标系

做平面运动的一般情况，可在平面图形上任选一点

，并以

点为原点作坐标系

。平面图形

运动时，坐标系随之运动，并保持其原点与

上的

点重合，并且坐标轴

，

的方位不变。为明确起见，令

和

轴始终分别与

和

轴平行，如图7-6所示。因此，

是一平动坐标系，

点称为基点。这样，平面图形

的运动就可以分解成为：图7-6（1）跟随平动坐标系的平动，简称为随基点的平动；（2）相对平动坐标系绕基点的转动，简称为绕基点的转动。在平面图形上选

点为基点，线段

的转角为

，如取另一点

为基点，线段

的转角

，如图7-7所示。这两个转角只相差一个常数

，即于是有图7-7即平面图形相对平动坐标系绕不同基点转动的角速度

和角加速度

都相同。由此可知，平面图形分解的转动部分与基点的选择无关。如图7-8所示，设平面图形

由

位置运动到

位置，经历了时间间隔

，其上线段

运动到

。若选

点为基点，则

先随

点平动到

，再绕

点转动到

，转角为

；若选

点为基点，则

先随

点平动到

，再绕

点转动到

，转角为

，显然有

，从而

，并且转向相同。图7-8平面图形分解的平动部分与基点选择有关，转动部分与基点选择无关。第三节

平面图形上各点的速度一、基点法（合成法）在平面图形上任取一点

为基点，作以

为原点的平动坐标系

，坐标轴的单位矢量

和

都是常矢量，如图7-9所示。平面图形上任一点

相对基点

的矢径为

，

可以用

点的直角坐标

表示，即（7-4）相对转动速度的解析表达式为（7-5）根据定轴转动刚体上点的速度公式，相对转动速度的大小为（7-6）式中，

是平面图形的角速度；

的方向垂直

指向

转动的一方，如图7-10所示。图7-10设平面图形上任一点

对于静坐标系

的原点

的矢径为

，基点

（平动坐标系

的原点）对原点

的矢径为

，由图7-11可知，各矢径的关系有考虑到式（7-4），上式可写成（7-7）式（7-7）两边对时间

求一次导数，并注意到

和

为常矢量，有（7-8）图7-11式（7-8）左端表示

点对于坐标系的速度

，右端第一项表示基点

的速度

，根据式（7-5）可知右端后两项表示

绕

点的相对转动速度

，因此有（7-9）式（7-9）表明，平面图形上任一点的速度等于基点速度与该点绕基点的相对转动速度的矢量和。图7-12给出了式（7-9）所表示的矢量合成图。这种求平面图形上任一点速度的方法称为基点法，也称合成法。图7-12二、速度投影法图7-13若将式（7-9）所表示的各个矢量投影到

方向上，如图7-13所示，因

垂直

，它在

方向上的投影等于零，因此得到（7-10a）或（7-10b）式中：

和

——分别表示

和

与

的夹角。平面图形上任意两点的速度在这两点的连线上的投影相等，这关系称为速度投影定理。这个定理反映了刚体不变形的性质。因为刚体内任意两点间的距离始终保持不变，刚体运动时，这两点的速度在其连线方向的投影若不相等，两点间的距离就要发生改变，这不符合刚体的条件，因此，速度投影定理对于任意形式运动的刚体都成立。利用速度投影定理去求平面图形上某点速度的方法称为速度投影法，简称投影法。例7-1在图7-14中的

杆，

端沿墙面下滑，

端沿着地面向右运动。在图示位置杆与地面的夹角为30°，这时B点的速度

，试求该瞬时端点A的速度

和杆中点D的速度

。图7-14（a）解杆做平面运动。（1）先用基点法求A点速度。取速度已知的B点为基点，根据速度基点法公式有式中，

为A绕B点的相对转动速度，其方向垂直

。三个速度的矢量关系如图7-14（a）所示，由图中的几何关系得到的指向是沿墙面向下。由图中各矢量的关系还可以求出A点绕B点的相对转动速度为用投影法求出A点速度，根据速度投影定理，将

和

投影到AB方向上（见图7-14（b）），得到因此图7-14（b）（2）再求杆中点D的速度

。考虑到待求点D的速度方向是未知的，无法利用投影法。现仍用基点法求

。仍取B点为基点，有式中，相对转动速度

的方向垂直

，但其大小未知。D点相对转动速度和A点相对转动速度的大小与BD和AD的长度成正比。因此有如图7-14（c）所示。

在前面已求得，所以图7-14（c）例7-2四连杆机构如图7-15所示。已知曲柄OA长为

，以角速度

顺时针转动，连杆AB长为

，摆杆BC长为

。当曲柄转到图示铅垂位置时，AB与OA的夹角为120°，

。试求该瞬时摆杆BC

的角速度

和连杆AB的角速度

。图7-15解机构中曲柄OA和摆杆BC做定轴转动、连杆AB做平面运动。基点法求解，取A点为基点，有基点A的速度大小为，，的方向都已知，它们的矢量关系如图7-15所示，由图中几何关系算得进而求得BC杆和AB杆的角速度，即最后将

值代入得的转向为顺时针，的转向为逆时针。例7-3如图7-16所示为一个平面铰接机构。已知OA杆长为

，角速度

；CD杆长为r，角速度

，它们的转向如图所示。在图示位置，OA杆与AB杆垂直，BC与AB的夹角为60°，CD与AB平行。试求该瞬时B点的速度

。图7-16解机构中的OA杆和CD杆做定轴转动，AB杆和BC杆做平面运动。先分别算出A点和C点的速度，即它们的方向如图7-16所示。先用基点法求B点的速度。B是AB上的一个点，取A为基点，有（a）B也是BC上的一个点，取C为基点，有（b）比较式（a）与式（b），有（c）式中，

和

已经求出；而

和

的方向分别垂直AB和BC。将式（c）中的各个矢量投影到与

垂直的BC轴上，使

的投影为零，这样得到从而解得与相互垂直，由式（a）得到由图7-17看出，

与AB的夹角

余弦为图7-17所以另解投影法求解假设B点速度

的方向与AB的夹角为

，如图7-17所示。将A和B点速度在其连线AB方向投影得图7-17（d）再将B点和C点速度在其连线BC方向投影，得（e）将求出的

和

代入式（d）和式（e），得到比较两式，得到所以将

代入式（e），解得三、瞬时速度中心法如果已知平面图形上某点

的速度

和平面图形的角速度

，可选

为基点，作垂直于

的直线

，如图7-18所示。直线

上任一点绕

点的相对转动速度，其方向必与

一致或相反。因此，线上必有一点C，其相对转动速度

与

大小相等，方向相反，因此有图7-18即C点的瞬时速度等于零。C点的位置应满足下列关系式：因此如果平面图形的角速度不等于零，则在该瞬时平面图形上必有速度为零的点，该点称为平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。如果已知瞬心C的位置，可选瞬心为基点，则平面图形上任一点M的速度为其大小为（7-11）的方向垂直于转动半径MC，并指向平面图形绕C点转动的一方。平面图形上各点速度分布的情况如图7-19所示。这种分布规律与刚体绕定轴C转动的情况完全相同。已知平面图形的角速度和瞬心的位置，利用式（7-11）求平面图形上任一点的速度的方法称为瞬时速度中心法，简称瞬心法。图7-19确定瞬心位置的方法。根据平面图形上各点速度应垂直于该点和瞬心的连线，可经过A，B点分别作

，

的垂线，其交点就是平面图形的瞬心，如图7-20所示。图7-20如已知其中一点速度的大小，如

，还可求出该瞬时平面图形的角速度的转向应与的方向相对应。（1）若已知某瞬时平面图形上A，B两点速度

，

的方向，且

与

不平行。（2）若已知某瞬时平面图形上A，B两点速度

，

的大小，它们的方向都垂直于AB连线。在平面图形上按比例画出速度矢量

和

，则瞬心C在通过AB的直线和通过矢量

，

端点的直线的交点上，如图7-21所示。其中图7-21（a）表示

与

同向的情况，图7-21（b）表示

与

反向的情况。（a）

（b）图7-21平面图形的角速度可按下式计算：对于图7-21（a）所示的情况，有对于图7-21（b）所示的情况，有的转向根据的指向和瞬心C的位置确定。在特殊情况下，

和

的大小相等，方向相同，而此时速度的垂线将不相交，如图7-22所示。这样，平面图形的瞬心将落到无穷远处，该瞬时平面图形的角速度将等于零，即图7-22在该瞬时平面图形上各点的加速度并不相同，这与刚体平动时的情况不太一样。（3）当平面图形在某固定曲线（或直线）上做无滑动的滚动时，平面图形上与固定曲线所接触的点就是平面图形该瞬时的瞬心。例如，车轮沿固定轨道滚动而不滑动（图7-23），车轮上与轨道接触的点C和轨道上的点

有相同的速度，而轨道是固定的，

点的速度因而车轮上C点的速度必为零，所以C是车轮的瞬心。随着车轮的滚动，轮缘上不同点与固定轨道接触。因此瞬心不断沿轮缘迁移，即车轮上瞬心的位置时时在改变。图7-23例7-4行星齿轮机构如图7-24所示。已知固定齿轮Ⅰ的半径为

，行星齿轮Ⅱ的半径为

，曲柄OA的角速度为

。试求齿轮Ⅱ轮缘上M，N两点的速度（点M在OA的延长线上，点N在垂直于OA的半径上）。图7-24解机构中的曲柄OA做定轴转动，动齿轮Ⅱ做平面运动。用瞬心法求M，N点的速度。动齿轮Ⅱ的节圆沿固定齿轮Ⅰ的节圆滚动而不滑动，轮Ⅱ的瞬心在两节圆的接触点C处，轮Ⅱ上A点的速度可通过杆OA的转动求得其方向如图7-24所示。根据瞬心法公式，轮Ⅱ的角速度为由

的方向和C点的位置可判定

是顺时针转动。利用瞬心法分别求出M点和N点的速度为和的方向如图7-24所示。例7-5利用瞬心法求例7-1中A点和D点的速度。解如图7-25所示，AB杆做平面运动，A点和B点的速度分别沿墙面铅垂向下和地面水平向右，杆的瞬心在

和

的垂线AC和BC的交点C。图7-25杆的角速度为其转向为逆时针。A点和D点速度的大小分别为的方向垂直转动半径CD例7-6在图7-26所示的机构中，曲柄长

，绕O轴以等角速度

转动。此曲柄带动连杆AB，使连杆端点的滑块B沿直线方向运动。如连杆长

，当曲柄与连杆相互垂直并与水平线各成

和

时，求滑块B的速度。图7-26解曲柄OA做定轴转动，连杆AB做平面运动。滑块B做平动，A点做圆周运动，B点做直线运动。（1）基点法。连杆AB做平面运动，A点的速度已知，以A点为基点可用基点法公式式中，

的大小未知，方向铅垂向上；，大小为，方向垂直OA；

的大小未知，方向垂直于AB。只有两个未知要素，可以作速度平行四边形如图7-26所示。由图中几何关系得（2）瞬心法。因为

与

的速度方向已知，过A，B两点分别作

与

的垂线，其交点C就是AB杆的瞬心，如图7-26所示。，顺时针方向则（3）速度投影定理。因为已知

的大小和方向，又知

的方向，故可用速度投影定理，得第四节

平面图形上各点的加速度

平面图形上任一点M绕基点

相对平动坐标系运动的加速度称为绕基点

的相对转动加速度，用

表示，其解析表达式为（7-12）根据定轴转动刚体上点的加速度公式，相对转动加速度可以分成切向和法向两部分如图7-27所示，即图7-27（7-13）相对转动切向加速度和法向加速度的大小分别为（7-14）垂直于，指向与平面图形的角加速度的转向相对应；指向基点，如图7-27所示。将式（7-8）两边对时间t再求一次导数，得到该式左端的项表示M点的加速度

，右端第一项表示基点

的加速度

。根据式（7-12），右端后两项表示相对转动加速度

，即再根据式（7-13），上式可写成（7-15）上式的矢量合成关系如图7-28所示。图7-28平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度与绕基点相对转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。例7-7半径为R的车轮O沿直线轨道做无滑动的滚动，如图7-29所示。已知某瞬时轮心O的速度

、加速度

，方向如图所示。试求该瞬时轮缘上M1，M2，M3，M4

点的加速度。图7-29解车轮做平面运动。选加速度已知的轮心O作基点。车轮沿固定轨道纯滚动，其瞬心C在

处。因此，轮的角速度为（a）或的转向由和C点的位置确定，为顺时针。式（a）对时间求导数，考虑到轮在运动过程中，其瞬心C到基点O的距离总保持不变，即于是而

等于平面图形的角加速度

，

是O点的加速度,因此，上式可写成与同向，的转向与相同，即也是顺时针；若与反向，则的转向与相反。求

点的加速度

，应用基点法公式式中，

和

的大小分别为，，的方向如图7-30（a）所示，按矢量加法，点加速度的大小为图7-30（a）的方向指向O点，如图7-30（b）所示。图7-30（b）某瞬时为瞬心的点，经过某一时间间隔后，就具有速度。这是刚体平面运动与定轴转动的一个重要区别。三点加速度的大小为各点加速度的方向分别表示在图7-30（b）的各点上。例7-8在图7-31所示的平面机构中，轮A纯滚动，曲柄OB在该瞬时的角速度

和角加速度

均为已知，且，

，求连杆AB的角加速度

和轮A的角加速度

。（a）

（b）图7-31解（1）运动分析：曲柄OB定轴转动且B点运动已知。连杆AB平面运动，可取B点为基点，研究AB上A点的运动，其速度和加速度的方向均为已知。（2）AB杆速度分析，求

。由杆上A，B两点速度均沿水平方向且指向相同，故AB杆做瞬时平动，从而

。（3）A点的加速度分析：其中基点B的加速度写成切向加速度和法向加速度两项。分析过程如表7-1所示。加速度大小未知，未知方向设如图示水平向左铅垂向下垂直于AB，设如图示表7-1（4）求解

和

。向连杆AB方向投影，投影轴为

：解出式中，由几何关系知

。为求

，向铅垂轴

方向投影，有解得，（5）求

和

：由于轮上C点为瞬心，故有

，且对任意瞬时都成立，故对该式取时间导数，有解出本题中

的指向和

的转向取决于曲柄的角速度和角加速度的数值。用瞬心法来分析平面图形上点的加速度（1）与瞬时速度中心的概念类似，可以定义平面图形的瞬时加速度中心，即平面图形（或其延展平面）上某瞬时加速度为零的点称为该瞬时平面图形的瞬时加速度中心。（2）平面图形每瞬时都有唯一的瞬时加速度中心。设某瞬时平面图形上A点的加速度为

，平面图形的角速度为

，角加速度为

；并设平面图形在此时的瞬时加速度中心在

处，即

。由加速度合成公式知于是有，如图7-32（a）所示。显然

与

大小相等，即从而有

（7-16）

与

之间的夹角

，即（7-17）图7-32（a）（3）求出瞬时加速度中心之后，平面图形上任一点的加速度就可以写成（7-18）平面图形上点的加速度分布如图7-32（b）所示。图7-32（b）即平面图形上任意一点B的加速度等于该点相对于该瞬时平面图形的瞬时加速度中心

转动的切向和法向加速度的矢量和。这就是求平面图形上点的加速度的瞬心法。（4）必须指出：求平面图形上点的加速度的瞬心法在实践意义上远不如求速度的瞬心法。这是因为要确定平面图形的加速度瞬心所需要的条件太多，尤其是要知道平面图形的角加速度，这一般是难以满足的。事实上，在前面的例子中已经看到，平面图形的角加速度通常要通过基点法求出。而求出角加速度之后，继续用基点法就可以很方便地求出平面图形上各点的加速度，从而没有必要再去应用瞬心法了。（5）同一瞬时平面图形上的速度瞬心和加速度瞬心一般是不重合的，即速度瞬心点的加速度不为零（这一点在例7-7中已经看到）；加速度瞬心点的速度亦不为零（否则与前一句话所指出的事实相矛盾）。因此在一般情况下，千万不能将速度瞬心取作加速度瞬心，否则必将产生错误的结果。第五节

运动学综合问题分析

例7-9轻型杠杆式推钢机构，曲柄OA借连杆AB带动摇杆

绕

轴摆动，杆CE以铰链与滑块D相连，滑块D可沿杆

滑动，带动CE杆推动钢料，如图7-33所示。已知

，

，

，在此刻

，

。其中

，

。试求此时CE杆推钢的速度和加速度（曲柄OA为匀速转动）。解题思路分析：本题中OA和

杆做定轴转动，AB杆做平面运动，CE杆做平面运动。欲求CE杆的速度和加速度，求出滑块D的速度和加速度即可，这就需要对滑块D进行合成运动分析。在分析时显然要用到摇杆

的角速度和角加速度，为求它们则要对连杆AB进行平面运动分析。解（1）取连杆AB作为研究对象①速度分析：为求

和

，用基点法。以点A为基点，有作出B点的速度矢量图，如图7-33（b）所示，并解出于是有图7-33（b）②加速度分析，求

和

。以A点为基点，有作出B点的加速度矢量图，如图7-33（c）所示的指向假设向上。由此解出（取水平轴为投影轴）所以式中，

。负号表示

的真实方向与假设相反。负号表示

为顺时针转向。图7-33（c）（2）取

为动系，D为动点，求滑块D的速度和加速度（动系做定轴转动）。①求

。由速度合成定理其速度矢量图如图7-33（d）所示，解得图7-33（d）②求

。由牵连运动为转动时点的加速度合成定理，有作出D的加速度矢量图，如图7-33（e）所示。的数值为取

为投影轴有所以负号表示

的方向水平向右。图7-33（e）例7-10如图7-34（a）所示机构，曲柄，以匀角速度

绕O轴转动，带动连杆滑块机构。连杆

，滑块B在水平滑道内滑动。在连杆的中点E铰接一滑块E，可在摇杆

的槽内滑动，从而带动摇杆

绕

轴转动。当

，

时，试求摇杆

的角速度

和角加速度

。图7-34（a）解题思路分析：在此题中为求摇杆的角速度

和角加速度

，显然应从滑块E的合成运动分析着手，前提是必须先求出滑块E的速度和加速度，为此需要分析AB杆的平面运动。而且，由于E滑块的加速度大小和方向以及AB杆的角速度均未知，在进行AB杆的平面运动分析时，必须先作B滑块的加速度分析（其加速度方向已知），以求出AB杆的角加速度，然后再求出E滑块的加速度。解（1）AB杆的平面运动分析。①速度分析，求滑块E的速度

。由瞬心法可知AB杆瞬时平动，故且有但角加速度

不为零。②加速度分析，求

。以A为基点，研究B点的加速度

。图7-34（b）为滑块B的加速度矢量图，以铅垂轴

为投影轴，有代入

，

，有注意：由于

，故

，从而

，即B点为加速度中心。图7-34（b）③加速度分析，求

。取A点作为基点，E点的加速度为其加速度矢量图如图7-34（c）所示，可解得

，方向铅直向上。如图7-34（c）加速