第5章 一元一次方程期末复习（知识清单）（学生版）-北师大版(2024)七上

第五章一元一次方程【清单01】一元一次方程的概念1.方程：含有的叫作方程．2.方程的解：使方程左右两边相等的，叫作方程的解。3.一元一次方程定义：只含有，未知数的次数都是，且两边都是的方程叫作一元一次方程。细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个，未知数的次数为；②未知数所在的式子是，即分母中不含．4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边的叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。【清单02】等式的基本性质等式的性质1等式的两边都（或都）同，所得结果仍是等式。字母表达式为：．等式的性质2等式的两边都或都以同（除数），所得结果仍是等式。字母表达式为：．细节剖析：等式的传递性【清单03】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去，再去，最后去．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，移到方程另一边．(4)合并：逆用分配律，分别合并含有未知数的及，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的代入原方程，若方程左右两边的值，则是方程的；若方程左右两边的值，则不是方程的解．【清单04】一元一次方程的应用首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．一元一次方程应用题解题一般步骤：①：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤：解所列出的方程，求出未知数的值⑥：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总；追及问题：S快-S慢=S相距；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．易错一、利用一元一次方程的定义求参数###易错总结1.漏验未知数系数≠0（如ax+2=0，易只求a的取值却漏验a≠0）；2.误判未知数次数（如x(k-1)+3=0，易算错k=2却忽略“次数=1”的核心条件）；3.未排除多未知数（如ax+by=5，未令b=0确保只含一个未知数）。###解题技巧1.紧扣定义列双条件：①未知数次数=1；②未知数系数≠0；2.求参数后代入系数检验，避免“系数为0”的错误；3.多字母时先令非目标未知数的系数为0，再满足一元一次方程条件。例题1．（24-25七年级上·山东滨州·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为．易错二、已知一元一次方程的解求参数或代数式的值###易错总结1.代入解时计算失误（如x=2代入3x+a=7，误算6+a=7得a=2）；2.忽略方程解的整体性（如已知x=1是ax+b=0的解，求a+b时未关联方程）；3.未化简方程直接代入（如复杂方程未整理就代解，增加计算错误率）。###解题技巧1.“代入-求解”两步走：先将解代入方程，再解关于参数的一元一次方程；2.代数式求值可“整体代入”（如由方程得a+2b=3，直接用其求2a+4b的值）；3.计算后回代检验，确保参数值使原方程成立。例题2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为．易错三、已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值###易错总结1.漏考虑参数取值范围（如用含参数表达式表示解后，未结合整数定义限定参数）；2.解的表达式化简错误（如整理方程时移项、系数化为1出错，导致解的形式有误）；3.忽略参数为整数的隐含条件（如参数未明确时，漏算整数参数的所有可能值）。###解题技巧1.先整理方程，用参数表示解（如解为x=(m+3)/2，确保表达式最简）；2.根据“解为整数”列条件：分子能被分母整除，分情况求参数；3.检验所有参数值，确保代入后原方程解为整数。例题3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是．易错四、已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解###易错总结1.求参数时计算失误（如代解入第一个方程算错参数，导致后续连锁错误）；2.漏用参数值（求出参数后，未代入第二个方程直接求解）；3.忽略方程整理（第二个方程未化简直接代入参数，增加计算难度）。###解题技巧1.分两步：先将已知解代入第一个方程，求出参数值；2.把参数值代入第二个方程，转化为无参数方程；3.解第二个方程后，回代参数与解到两个原方程检验，确保正确。例题4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为．易错五、一元一次方程中与运算有关的新定义型问题###易错总结1.误读新定义规则（如混淆新运算符号的优先级，或漏看定义中的限制条件）；2.列方程时未按新定义转化（如未将新运算表达式替换为常规运算，导致方程列错）；3.求解后未检验是否符合新定义的范围（如忽略定义中“未知数为整数”等附加条件）。###解题技巧1.先精读新定义，用常规运算式表示新运算（如定义a⊕b=2a-b，直接替换进方程）；2.按新定义列一元一次方程，再用常规解法求解；3.将解代入新定义验证，确保符合所有规则。例题5．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）对于任意有理数a，b，定义一种新运算：，等式右边是通常的加法、减法运算，如：．(1)求的值；(2)若，求的值．易错六、解一元一次方程中的新定义型拓展问题###易错总结1.误解新定义内涵（如错解“解满足某条件”的新定义，偏离方程求解核心）；2.列方程时漏用新规则（未将新定义条件转化为等式，导致方程列错）；3.求解后未验证新定义（忽略新定义对解的限制，如“解为正数”等条件）。###解题技巧1.拆解新定义：明确新规则中“方程形式”“解的要求”等关键信息，转化为数学表达式；2.按常规步骤解方程，再结合新定义筛选或验证解；3.复杂新定义可举例辅助理解，确保每步都符合新规则。例题6．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．(1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由；(2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值；(3)若关于x方程与是“和谐方程”，求n的值．一、单选题1．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于x的方程的解是，则m的值为（

）A． B． C．1 D．32．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（

）A． B．1 C．7 D．3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（

）A．2或0 B．0 C．2或 D．24．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（

）个．A．3 B．4 C．6 D．85．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（）A． B． C． D．6．（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（

）A． B．0 C．1 D．6二、填空题7．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）已知是关于的一元一次方程，则．8．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知是方程的解，那么代数式的值是．9．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）关于x的方程的解是整数，则整数k的可能值有个．10．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程，无论为任何数时，它的解总是，那么．11．（24-25七年级下·吉林长春·月考）若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为．12．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为．三、解答题13．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如果是关于的方程的解，求的值．14．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值．15．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．16．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）新定义：若是关于x