高一数学（人教A版）教学课件 必修一 4-4-3 不同函数增长的差异

4.4.3不同函数增长的差异——(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)课时目标1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长速度的差异.2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的比较.CONTENTS目录123课前预知教材·自主落实基础课堂题点研究·迁移应用融通课时跟踪检测课前预知教材·自主落实基础三种常见函数模型的增长差异项目y＝ax(a>1)y＝kx(k>0)y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐与y轴平行增长速度固定随x增大逐渐与x轴平行增长速度①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax|微|点|助|解|(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型；(3)一次函数增长速度不变，平稳变化；(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．基础落实训练1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．

(

)(2)对任意的x＞0，kx＞logax. (

)(3)对任意的x＞0，ax＞logax. (

)(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．

(

)√××√2．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是(

)A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝3x

D．y＝e－x√3．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用(

)A．一次函数模型 B．二次函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型√4．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为___________________________．课堂题点研究·迁移应用融通题型(一)几个函数模型增长差异的比较[例1]已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化数据如下表：x12468…y1241664256…y248162432…y30122.5853…则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(

)A．y1＝4x，y2＝2x，y3＝log2xB．y1＝2x，y2＝4x，y3＝log2xC．y1＝log2x，y2＝4x，y3＝2xD．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝4x√解析：从题表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化，故选B.|思|维|建|模|常见的函数模型及增长特点常见函数模型增长特点一次函数模型一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓针对训练1．“红豆生南国，春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间t的关系的函数是(

)A．指数函数y＝2t

B．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3

D．二次函数y＝2t2√解析：根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.2．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下结论：①当x>1时，甲走在最前面；②当x>1时，乙走在最前面；③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为__________．③④⑤解析：四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确．题型(二)指数函数、对数函数与幂函数模型的比较[例2]

函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；解：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2024)，g(2024)的大小．解：因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2，2024>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x),所以f(2024)>g(2024)．又g(2024)>g(6)，所以f(2024)>g(2024)>g(6)>f(6).|思|维|建|模|比较函数增长情况的方法解析法直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数，其中当x较大时，指数型函数增长速度最快，一次函数增长速度其次，对数型函数增长速度最慢表格法通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异图象法在同一直角坐标系中画出各函数的图象，观察图象并借助计算器，便能直观地得出这三个函数增长速度的差异针对训练3．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；解：由函数图象特征及变化趋势，知直线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．题型(三)函数模型的选择[例3]某公司为了实现60万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元时，按利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合公司的要求．|思|维|建|模|开放型的探究题，函数模型不是确定的，需要我们去探索，去尝试，找到最合适的模型，解题过程为(1)用待定系数法求出函数的解析式；(2)检验：将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最适合的函数模型；(3)利用所求出的函数模型解决问题．针对训练4．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：月份123产量(千件)505253.9为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系.请问：用以上哪个模拟函数较好？请说明理由．课时跟踪检测134567891112132A级——达标评价1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型(

)x45678910y15171921232527A．一次函数模型 B．二次函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型√10134567891112132解析：自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.101567891112132342．(多选)当a>1时，下列结论正确的有(

)A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值增长越快B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值增长越快C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值增长越快D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值增长越快解析：结合指数函数及对数函数的图象可知A、D正确．√√101567891112133423．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(

)解析：将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．√101567891112133424．下列函数图象中，估计有可能用函数y＝a＋blgx(b>0)来模拟的是(

)√10156789111213342解析：由于函数y＝lgx在定义域内单调递增，且是上凸的，又b>0，所以当x>0时，y＝a＋blgx(b>0)的图象是单调递增且上凸的．101567891112133425．如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是(

)10156789111213342√解析：A选项，由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与题图不符合，故C错误；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义，故D错误；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义，故B正确．101567891112133426．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震级(里氏)5.05.25.35.4注：地震强度是指地震时释放的能量．10156789111213342地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝algx＋b(其中a，b为常数)．利用散点图可知a的值等于________．(取lg2≈0.3进行计算)101567891112133427．函数y＝x3与函数y＝x2lnx在区间(0，＋∞)上增长速度较快的一个是__________．y＝x31015678911121334210

15678911121334210

1567891112133429．(12分)某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.710156789111213342解：在平面直角坐标系中标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示．由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．不妨将(2,1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，10156789111213342解得a＝3.故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米.1015678910111213342B级——重点培优10．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(

)A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1√156789111213342解析：由题意可知，三个函数在区间(2,4)上都是单调递增的，所