备战2021年中考训练 专题十二 图形变换(含答案)

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………专题十二图形变换一、单选题1.（2020·衢州）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（

）A.

B.

C.

D.

2.（2020·台州）用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（

）A.

B.

C.

D.

3.（2020·台州）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，-1）对应点的坐标为（

）A.

（0，0）

B.

（1，2）

C.

（1，3）

D.

（3，1）4.（2020·温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q。若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为（

)A.

14

B.

15

C.

8

D.

65.（2020·温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为(

)A.

(1.5+150tanα)米

B.

(1.5+)米

C.

(1.5+150sinα)米

D.

(1.5+)米6.（2020·温州）某物体如图所示，它的主视图是(

)A.

B.

C.

D.

7.（2020·绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm，则投影三角板的对应边长为（

）A.

20cm

B.

10cm

C.

8cm

D.

3.2cm8.（2020·湖州）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（

）A.

B.

C.

D.

9.（2020·杭州）如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则(

)。A.

c=bsinB

B.

b=csinB

C.

a=btanB

D.

b=ctanB10.（2020·宁波）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（

）A.

B.

C.

D.

11.（2019·温州）某露天舞台如图所示，它的俯视图是（

）A.

B.

C.

D.

12.（2019·温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（

）A.

米

B.

米

C.

米

D.

米13.（2019·金华）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是（

）A.

∠BDC=∠α

B.

BC=m·tanα

C.

AO=

D.

BD=14.（2019·金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（

）A.

B.

-1

C.

D.

15.（2019·衢州）如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（

）A.

B.

C.

D.

二、填空题16.（2020·温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上。在F点观测A点后，沿FN方向走到M点.观测C点发现∠1=∠2。测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°，则场地的边AB为________米，BC为________米。17.（2020·湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是________.18.（2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF。若点E，F，D在同一条直线上，AE=2，则DF=________，BE=________。19.（2020·金华·丽水）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为________cm2.20.（2019·温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为________cm．21.（2019·衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米。当a=50°时，人字梯顶端高地面的高度AD是________米（结果精确到0.1m。参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）22.（2018·台州）如图，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转角得到另一条数轴，轴和轴构成一个平面斜坐标系.规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点在轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序实数对为点的斜坐标.在某平面斜坐标系中，已知θ=60°，点的斜坐标为，点与点关于轴对称，则点的斜坐标为________．23.（2018·衢州）定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……△An-1Bn-1Cn-1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是________，点A2018的坐标是________。

三、解答题24.（2020·台州）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点.图2是它的示意图，AB=AC，BD=140cm，∠BAC=40°，求点D离地面的高度DE.（结果精确到0.1cm；参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）25.（2018·台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，是可以伸缩的起重臂，其转动点离地面的高度为.当起重臂长度为，张角为时，求操作平台离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：，，）.

四、作图题26.（2020·宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形.（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)五、综合题27.（2020·温州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F(点E，B不重合)。在线段BF上取点M，N(点M在BN之间)，使BM=2FN.当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N。记QN=x，PD=y，已知y=-x+12，当Q为BF中点时，y=。（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由。（2）求DE，BF的长。（3）若AD=6。①当DP=DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系。②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值。28.（2020·绍兴）如图1，矩形DEFG中，DG=2，DE=3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG=2，OC=4。将△ABC绕点O逆时针旋转α(0°≤α<180°)得到△A'B'C'。（1）当α=30°时，求点C'到直线OF的距离。（2）在图1中，取A'B'的中点P，连结C'P，如图2。①当C'P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C'到直线DE的距离。②当线段A'P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围。29.（2020·湖州）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图，AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h(cm)表示熨烫台的高度.（1）如图2—1，若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2—2），求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.

6）30.（2020·湖州）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E.（1）特例感知：如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；（2）变式求异：如图2，若∠C＝90°，m＝，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；（3）化归探究：如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围.31.（2020·杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB。（1）求证△BDE~△EFC。（2）设①若BC=12，求线段BE的长。②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积。32.（2020·宁波）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50cm，.（1）求车位锁的底盒长BC.（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?(参考数据：，，)33.（2019·金华）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14。点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF。（1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD=2DO．（2）已知点G为AF的中点。①如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长。②若AD=6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形?若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由。

答案解析部分一、单选题1.A【解答】解：A、俯视图是圆，故此选项正确；B、俯视图是正方形，故此选项错误；C、俯视图是长方形，故此选项错误；D、俯视图是长方形，故此选项错误．故答案为：A．【分析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可．2.A【解答】根据主视图的意义可知，选项A符合题意，故答案为：A．【分析】从正面看所得到的图形即为主视图，因此选项A的图形符合题意．3.D【解答】解：∵把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，顶点C（0，﹣1），∴C（0+3，﹣1+2），即C（3，1），故答案为：D．【分析】利用平移规律进而得出答案．4.A【解答】解：如图，连接，．设交于．四边形，四边形都是正方形，

，，，，，，共线，，，共线，，，，，，，，，，，设，，，，，，四边形是平行四边形，，，，（负根已经舍弃），，，，，，，故答案为：．【分析】连接EC，CH，设AB交CR于点J，利用正方形的性质，易证∠ACE=45°，∠ACB=∠BCI=90°，据此利用推出点B，C，H共线，点A，C，I共线，再证明△ECP∽△HCQ，利用相似三角形的对应边成比例，求出PC，CQ的长，利用平行四边形的判定可证得四边形ABQC是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得到AB，CQ的长，利用勾股定理建立关于a的方程，解方程求出AC，BC的长，然后利用三角形的面积求出CJ的长，继而可求出CR的长。5.A【解答】解：过点作，为垂足，如图所示：则四边形为矩形，，，在中，，，，故答案为：．【分析】过点A作AE⊥BC于点E，易证四边形CEAD是矩形，就可求出CE的长，再利用解直角三角形求出BE的长，然后根据BC=CE+BE，代入计算可求解。6.A【解答】解：根据主视图就是从正面看物体所得到的图形可知：选项所表示的图形符合题意，故答案为：．【分析】根据主视图就是从正面看物体所得到的平面图形，观察已知几何体可得答案。7.A【解答】解：设投影三角尺的对应边长为，三角尺与投影三角尺相似，，解得．故答案为：A．【分析】由题意可知三角尺与投影三角尺相似，再利用相似三角形的对应边成比例就可求出投影三角尺的对应边的长。8.A【解答】解：主视图和左视图是三角形，几何体是锥体，俯视图的大致轮廓是圆，该几何体是圆锥.故答案为：A.【分析】观察已知几何体的三视图，主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，由此可知此几何体是圆锥。9.B【解答】解：∵∠C=90°∵sinB=，tanB=∵b=csinB，b=atanB故答案为：B【分析】利用锐角三角函数的定义，分别对各选项进行计算，可得结果。10.B【解答】解：从前向后看，上面的球在正面的投影是一个圆，下面的长方体在正面的投影是一个矩形.

∴主视图是B.

故答案为：B.

【分析】主视图是由从前向后看物体在正面形成的投影，据此分析即可判断.11.B【解答】解：由立体图知实物有一个台阶，俯视图应为两个矩形，其中一个矩形包含在另一个矩形里。

故答案为：B【分析】根据三视图知识判断，俯视图是由上向下看。12.B【解答】解：∵简易房为轴对称图像，故BC边上的高平分底边，∴有

故答案为：B。【分析】由轴对称关系，作高，解直角三角形即可。13.C【解答】解：A.∵矩形ABCD，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）,∴∠BDC=∠BAC=α，故正确，A不符合题意；B.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴tanα=，∴BC=AB·tanα=mtanα，故正确，B不符合题意；C.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴cosα=，∴AC==，∴AO=AC=故错误，C符合题意；D.∵矩形ABCD，∴AC=BD，由C知AC==，∴BD=AC=，故正确，D不符合题意；故答案为：C.【分析】A.由矩形性质和全等三角形判定SAS可得△ABC≌△DCB,根据全等三角形性质可得∠BDC=∠BAC=α，故A正确；B.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据正切函数定义可得BC=AB·tanα=mtanα，故正确；C.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据余弦函数定义可得AC==，再由AO=AC即可求得AO长，故错误；D.由矩形性质得AC=BD，由C知AC==，从而可得BD长，故正确；14.A【解答】解：设大正方形边长为a，小正方形边长为x，连结NM，作GO⊥NM于点O，如图,依题可得：NM=a，FM=GN=，∴NO==，∴GO==，∵正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，∴x2=+a2，∴a=x，∴==.故答案为：A.【分析】设大正方形边长为a，小正方形边长为x，连结NM，作GO⊥NM于点O，根据题意可得，NM=a，FM=GN=，NO==，根据勾股定理得GO=，由题意建立方程x2=+a2，解之可得a=x，由，将a=x代入即可得出答案.15.A【解答】解：从物体正面观察可得，左边第一列有2个小正方体，第二列有1个小正方体.故答案为：A.【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此观察即可得出答案.二、填空题16.15；20【解答】解：，，，和是等腰直角三角形，

，，米，米，米，（米，（米，，，（米；过作于，过作交于，交于，，四边形和四边形是矩形，，，，，，，，设，，，，，，，，，，，，，故答案为：，．【分析】根据题意易证△ANE和△BNF是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，可证得AE=EN，BF=FN，由此可求出AE，BF的长，利用解直角三角形求出AN，BN的长，再根据AB=AN-BN求出AB的长；过点C作CH⊥l于点H，过点B作PQ⊥l，交AE于点P，交CH于点Q，利用矩形的判定和性质，可得到EF，QH的长，再证明△AEF∽△CHM，利用相似三角形的对应边成比例可得到CH与HM的比值，设MH=3x，CH=5x，用含x的代数式表示出CQ，BQ的长，然后证明△APB∽△BQC，利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BQ的长，从而可求出BC的长。17.【解答】解：在中，，，，，与相似的格点三角形的两直角边的比值为，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在网格图形中，最长线段为，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出，，的三角形，，，，此时的面积为：，为面积最大的三角形，其斜边长为：.故答案为：.【分析】利用勾股定理可求出AB的长，就可得到△ABC的两直角边之比，分情况进行讨论，利用相似三角形的判定和性质，可以画出符合题意的三角形。18.2；-1【解答】解：∵点E，F，D在一条直线上∴∠DFC=∠CFE=∠EBC=90°∴∠CDF+∠DCF=90°又∵∠ADF+∠CDF=90°∴∠ADF=∠DCF

∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处∴BC=CF=AD在△ADE和△FCD中，AD=CF∠ADF=∠DCF∠DFC=∠DAE∴△ADE≌△FCD∴DF=AE=2设BE=X则EF=X∵∠AEF=∠AED∠AFE=∠DAE=90°∴△AFE∽△DAE∴AE2=EF·DE∴X(X+2)=4X²+2X-4=0解得：x=-1或x=--1(舍去)故答案为：2；-1.【分析】利用余角的性质可证得∠ADF=∠DCF，再利用折叠的性质，可得到BC=CF=AD，由此可证得△ADE≌△FCD，利用全等三角形的对应边相等，可得到AE的长，然后证明△AFE∽△DAE，利用相似三角形的对应边成比例，就可求出x的值，即可得到DF，BE的长。19.20【解答】解：主视图是一个长4，高为5的长方体，

∴主视图的面积为：4×5=20cm2.

故答案为：20.

【分析】主视图：是从物体正面所看的的平面图形，根据长方体的尺寸确定主视图的长，高，然后计算即可.20.12+8【解答】解：连接AC交BD于K，根据菱形的性质OA和HG互相垂直平分，又∵∠AOB=90°得HG∥KO，又OG∥KH，∴则四边形HKOG为平行四边形，则OK=HG=2。∠CDB+∠HDB=∠ADH+∠HDB=90°。又OH=OC，则△HOC为等腰直角△，∠CHO=45°，∵HG=KO=2，∠BOC=∠CAO，∠OCK=∠ACK，∴△OCK=△ACK，，则BE=2OA=，AB=

，则△ABE周长为BE+2AB=。在故答案为：

。【分析】利用四边形HKOG是平行四边形得KO=2，由△COH是等腰直角三角形，得各边之比确定，本题关键是抓住A、H、C三点共线，找三角形相似，利用相似比可求OA的长，OA求出，∵△ABE是等腰直角三角形，则其他各边可求，得其周长。21.1.5【解答】解：在Rt△ADC中，∵AC=2，∠ACD=50°,∴sin50°=，∴AD=AC×sin50°=2×0.77≈1.5.故答案为：1.5.【分析】在Rt△ADC中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.22.（-3,5）【解答】解：如图，过点M作MC∥y轴，MD∥x轴，∵M（3,2），∴MD=3，MC=2.作点MP⊥y轴，交y轴于点P，并延长至点N，使得PN=MP，则点M关于y轴的对称点是点N，作NQ∥y轴，交于点Q，则NQ∥MD∥x轴，∴∠NQP=∠PDM=θ=60°，∠N=∠DMP，又∵PN=PM，∴△NPQ≌△MPD（AAS），∴NQ=MD=3,PQ=PD，在Rt△MPD中，∵∠PDM=θ=60°，∴∠PMD=30°，∴PD=，∴DQ=2PD=3，∴OQ=OD+DQ=2+3=5，∵点N在第二象限，∴N（-3,5）．故答案为：（-3,5）．【分析】由题意不妨先作出点M关于y轴的对称点点N，由PN=PM，可构造全等三角形，过M作MC∥y轴，MD∥x轴，则△NPQ≌△MPD，可得NQ=3，PD=PQ，由θ=60°，MN⊥y轴，则在Rt△MPD中求出PD即可．而且要注意点N所在的象限．23.（，）；（，）【解答】解：过点A1作A1D⊥x轴∵等边△ABC的边长为1，B1D=，∠A1B1D=60°，∴A1D=∴点A1(，)如图可知点A的纵坐标的绝对值为∴点A2、A4、A6、A2018在第二象限，∴点A2(，)，点A4(，)、点A6(，)…点A2018(，)故答案为：(，)，(，)【分析】抓住已知条件，过点A1作A1D⊥x轴，求出等边三角形的高，就可得出所有的点An的纵坐标相等，再根据平移规律及图形的规律，可得出点A2、A4、A6、A2018在第二象限，分别得出它们的横坐标，找出规律，即可得出结论。三、解答题24.解：过点A作AF⊥BC于点F，则AF∥DE，∴∠BDE＝∠BAF，∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠BDE＝∠BAF＝20°，∴DE＝BD•cos20°≈140×0.94＝131.6（cm）．答：点D离地面的高度DE约为131.6cm．【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一性质得∠BAF的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果．25.如图，过点C作CE⊥DH交于点E，过点A作AF⊥CE交于点F，又∵AH⊥BD，∴四边形AFEH是矩形，∴∠HAF=90°，EF=AH=3.4m，∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°，在Rt△ACF中，∵AC=9m，∠CAF=28°，∴CF=AC·sin∠CAF=9×sin28°≈9×0.47=4.23（m），∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m）.答：操作平台离地面的高度为7.6m．【分析】求C离地面BD的高度，则需要作CE⊥BD，即求CE；过A作AF⊥CE，则CE=CF+EF，易得EF=AH，再由解直角三角形在Rt△ACF中，求出CF即可．四、作图题26.（1）解：画出下列其中一种即可

（2）解：画出下列其中一种即可.

【分析】（1）分别取A、B、C、D、E，图1可以BE为对称轴，或以BD为对称轴根据对称的定义作图即可；图2可以MN为对称轴，根据对称的定义作图即可；

（2）由于平行四边形是中心对称图形，在图1或图2的基础上选取一个三角形补充形成一个平行四边形即可.

五、综合题27.（1）解：DE∥BF，理由如下(如图1)：∵∠A=∠C=90°，∴∠ADC+∠ABC=360°-(∠A+∠C)=180°。∵DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，∴∠ADE=∠ADC，∠ABF=∠ABC，∴∠ADE+∠ABF=×180°=90°∴∠ADE+∠AED=90°∴∠AED=∠ABF，∴DE∥BF。

（2）解：令x=0得y=12，∴DE=12，令y=0得x=10，∴MN=10，把y=代入y=-x+12，得x=6，即NQ=6，∴QM=10-6=4∵Q是BF中点，∴FQ=QB∵BM=2FN，∴FN+6=4+2FN，得FN=2，BM=4，∴BF=FN+MN+MB=16

（3）解：①如图2，连结EM并延长交BC于点H，∵FM=2+10=12=DE，DE∥BF，∴四边形DFME是平行四边形，∴DF=EM∵AD=6，DE=12，∠A=90°，∴∠DEA=30°=∠FBE=∠FBC。∵∠ADE=60°=∠CDE=∠FME∴∠MEB=∠FBE=30°，∠EHB=90°，∴DF=EM=BM=4，∴MH=2，HB=2，∴BE==4.当DP=DF时，x+12=4，解得x=∴BQ=14-x=14-=∵>4，∴BQ>BE②(i)当PQ经过点D时(如图3)，y=0，∴x=10.(ii)当PQ经过点C时(如图4)，∵FQ∥DP，∴△CFQ∽△CDP∴∴解得x=(iii)当PQ经过点A时(如图5)，∵PE∥BQ，∴△APE∽△AQB，∴∵AE=，∴AB=10，∴解得x=由图可知，PQ不可能过点B综上所述，当x=10，，时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点。【分析】（1）利用四边形的内角和为360°，就可证得∠ADC+∠ABC=180°；再利用角平分线的定义去证明∠ADE+∠ABF=90°，由∠ADE+∠AED=90°，就可以推出∠AED=∠ABF，然后根据同位角相等，两直线平行，可证得结论。

（2）利用函数解析式求出当x=0时y的值，及y=0时的x的值，即可得到DE和MN的值，再求出BM，QM的值，利用线段中点的定义可证得FQ=QB，由BM=2FN，就可求出FN，BM的长，然后求出BF的长。

（3）①如图2，连结EM并延长交BC于点H，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得DFME是平行四边形，利用平行四边形的对边相等易证DF=EM，再求出MH，HB的长，利用勾股定理求出BE的长，根据DP=DF，求出x的值，即可得到BQ的长，然后比较BQ和BE的大小即可；②分情况讨论：(i)当PQ经过点D时(如图3)，y=0；(ii)当PQ经过点C时(如图4)，易证△CFQ∽△CDP，利用相似三角形的对应边成比例，建立关于x的方程，解方程求出x的值；(iii)当PQ经过点A时(如图5)，易证△APE∽△AQB，利用相似三角形的对应边成比例，建立关于x的方程，解方程求出x的值；由图可知，PQ不可能过点B，综上所述可得到PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点时的x的值。28.（1）解：如图1中，过点作于．，，点到直线的距离为．

（2）解：①如图2中，当时，过点作于．，，△是等腰直角三角形，，，点到直线的距离为．如图3中，当时，过点作于．同法可证△是等腰直角三角形，，点到直线的距离为．②设为所求的距离．第一种情形：如图4中，当点落在上时，连接，延长交于．，，，，，即，如图5中，当点落在上时，连接，过点作于．，，，，，，．第二种情形：当与相交，不与相交时，当点在上时，，即，如图6中，当点落在上时，设交于，过点作于，过点作交于，连接．，，，，，，，，，，，，，，，，△△，，，，，即，第三种情形：当经过点时，如图7中，显然．综上所述，或．【分析】（1）过点C＇作C＇H⊥OF于点H，再利用解直角三角形求出C＇H的长。

（2）①分情况讨论：当C＇P∥OF时，过点C＇作C＇M⊥OF于点M，利用平行线的性质求出∠O的度数，由此可证得△OC＇M是等腰直角三角形，再利用解直角三角形求出C＇M的值；当C＇P∥DG时，过点C＇作C＇N⊥GF于点N，同理可证得△OC＇N是等腰直角三角形，再利用解直角三角形求出C＇N的值；②设d为所求的距离，分情况讨论：如图4中，当点A＇落在DE上时，连接OA＇，延长ED交OC于M，利用勾股定理求出A＇M的长，就可以求出d的值；如图5中，当点落在上时，连接，过点作于，利用勾股定理求出d的值；第二种情形：当与相交，不与相交时，当点在上时，求出d的值；如图6中，当点落在上时，设交于，过点作于，过点作交于，连接；利用全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，求出OQ的长，然后求出d的值，即可得到d的取值范围；第三种情形：当经过点时，如图7中，显然综上所述可得d的值。

29.（1）解:过点B作BE⊥AC于点E，如图2-1∵OA=OC，∠AOC=120°，∴∠OAC=∠OCA==30°∴h=BE=AB·sin30°=110×=55

（2）解:过点B作BE⊥AC于点E，如图2-2，∵OA=OC，∠AOC=74°，∴∠OAC=∠OCA==53°∴AB=BE÷sin53°≈120÷0.8=150(cm)。即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm。【分析】（1）过点B作BE⊥AC于点E，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠OAC和∠OCA的度数，再利用解直角三角形求出BE的长。

（2）过点B作BE⊥AC于点E，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠OAC和∠OCA的度数，然后利用解直角三角形求出AB的长。30.（1）证明∵AC=BC，∠C=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∠A=60°，由题意，得DB=DP，DA=DB，∴DA=DP，∴△ADP是等边三角形∴AP=AD=AB=AC

（2）解：，，，，，，，，，，将沿过点的直线折叠，情形一：当点落在线段上的点处时，如图中，，，，，情形二：当点落在线段上的点处时，如图中，同法可证，，综上所述，满足条件的的值为或.

（3）如图3中，过点作于，过点作于.，，，，当时，设，则，，，，，观察图形可知当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置.【分析】（1）根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，易证△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质，可得到AC=AB，∠A=60°，再证明△ADP是等边三角形，即可证得结论。

（2）利用勾股定理求出AB的长，再证明△ADH和△ABC相似，利用相似三角形的对应边成比例，就可求出DH的长；将∠B沿着过点D的直线折叠，分情况讨论：当点B落在线段CH上的点P1处时，可得到DP1的长，利用勾股定理求出HP1的长，然后根据AP1=AH+HP1代入计算可求出AP1的长；当点B落在线段AH上的点P2处时，可得到HP2的长，然后根据AP2=AH-HP2代入计算可求出AP2的长；综上所述可得AP的长。

（3）添加辅助线，过点C作CH⊥AB于点H，过点D作DP⊥AC于点P，利用等腰三角形的性质，易证AH=HB，利用勾股定理求出CH的长，利用解直角三角形求出BD的长，即可得到AD的长，由此可求出a的取值范围。31.（1）证明：因为DE∥AC，所以∠BED=∠C。又因为EF∥AB，所以∠B=∠FEC，所以△BDE~△EFC

（2）解：①因为EF∥AB，所以因为BC=12，所以，所以BE=4②因为EF∥AB，所以△EFC~△BAC，因为、所以设△EFC的面积为S1，△ABC的面积为S，所以因为S1=20，所以S=45。所以△ABC的面积是45。【分析】（1）利用平行线的性质，可知∠BED=∠C，∠B=∠FEC，利用相似三角形的判定定理，可证得结论。

（2）①利用平行线分线段成比例定理可求出BE的长;②利用EF∥AB，可证得△EFC~△BAC，利用相似三角