备战2021年中考训练 专题十一 圆(含答案)

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………专题十一圆2018——2020年浙江中考试题分类汇编一、单选题1.（2020·温州）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D。若⊙O的半径为1，则BD的长为(

)A.

1

B.

2

C.

D.

2.（2020·绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（

）A.

45°

B.

60°

C.

75°

D.

90°3.（2020·湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（

）A.

70°

B.

110°

C.

130°

D.

140°4.（2020·湖州）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO，以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D，则下列结论中错误的是（

）A.

DC＝DT

B.

AD＝DT

C.

BD＝BO

D.

2OC＝5AC5.（2020·杭州）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E，设∠AED=α，∠AOD=β，则(

)

A.

3α+β=180°

B.

2α+β=180°

C.

3α-β=90°

D.

2α-β=90°6.（2020·金华·丽水）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（

）A.

65°

B.

60°

C.

58°

D.

50°7.（2019·温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N．欧儿里得在《几何原本》中利用该图解释了．现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（

）A.

B.

C.

D.

8.（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（

）A.

B.

C.

D.

9.（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（

）A.

6dm

B.

5dm

C.

4dm

D.

3dm10.（2019·绍兴）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2，则的长为（

）A.

π

B.

π

C.

2π

D.

π11.（2019·杭州）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA=3，则PB=（

）A.

2

B.

3

C.

4

D.

512.（2019·湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（

）A.

60°

B.

70°

C.

72°

D.

144°13.（2019·嘉兴）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（

）A.

2

B.

C.

D.

14.（2019·宁波）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（

）A.

3.5cm

B.

4cm

C.

4.5cm

D.

5cm15.（2019·湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（

）A.

60πcm2

B.

65πcm2

C.

120πcm2

D.

130πcm2二、填空题16.（2020·台州）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE.若⊙O与BC相切，∠ADE=55°，则∠C的度数为________.

17.（2020·温州）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为________。18.（2020·湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是________.19.（2020·杭州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC，若sin∠BAC=，则tan∠BOC=________。20.（2020·宁波）如图，⊙O的半径OA=2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC=OA，连结OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为________.21.（2020·金华·丽水）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是________.22.（2019·温州）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧上．若∠BAC＝66°，则∠EPF等于________度．23.（2019·杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度）.已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于________cm2（结果精确到个位）.24.（2019·湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是________.25.（2019·嘉兴）如图，在⊙O中，弦，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．26.（2019·宁波）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5,BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的OP与△ABC的一边相切时，AP的长为________.27.（2019·台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为________.三、综合题28.（2020·衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6。连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点。（1）求证：∠CAD=∠CBA。（2）求OE的长。29.（2020·台州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M.E是线段CM上的点，连接BE.F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF（1）求证:△BEF是直角三角形;（2）求证:△BEF∽△BCA;（3）当AB=6，BC=m时，在线段CM正存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值.30.（2020·温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC=∠G。（1）求证：∠1=∠2。（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF.当点F落在直径AB上时，CF=10，tan∠1=，求⊙O的半径。31.（2020·湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD.（1）求证：∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，求的长.32.（2020·杭州）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF.（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC=30°，求线段EF的长。（2）连接BF，DF①求证：PE=PF②若DF=EF，求∠BAC的度数。33.（2020·宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.（1）如图1，∠E是△ABC中A的遥望角，若，请用含a的代数式表示∠E.（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）如图3，在(2)的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径.①求∠AED的度数；②若AB=8，CD=5，求△DEF的面积.34.（2020·金华·丽水）如图，的半径OA=2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°.（1）求弦AB的长.（2）求的长.35.（2019·温州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．36.（2019·金华）如图，在OABC，以O为图心，OA为半径的圆与C相切于点B，与OC相交于点D．（1）求的度数。（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F。若EF=AB，求∠OCE的度数．37.（2019·衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G。（1）求CD的长。（2）若点M是线段AD的中点，求的值。（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°?38.（2019·宁波）如图1，O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F.（1）求证：BD=BE.（2）当AF：EF=3:2，AC=6时，求AE的长。（3）设=x,tan∠DAE=y.①求y关于x的函数表达式；②如图2，连结OF,OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值39.（2019·杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连接OA.（1）若∠BAC=60°，①求证：OD=OA.②当OA=1时，求△ABC面积的最大值。（2）点E在线段OA上，（OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED（m，n是正数）.若∠ABC<∠ACB，求证：m-n+2=0.

40.（2019·湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(-3，0)，B(0，3).（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；（2）如图2，已知直线l2:y＝3x-3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，为半径画圆.①当点Q与点C重合时，求证:直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点,连结QM，QN.问:是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.41.（2019·绍兴）在屏幕上有如下内容:如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的题长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答。（1）在屏幕内容中添加条件∠D=30°，求AD的长，请你解答。（2）以下是小明、小思的对话:小明:我加的条件是BD=1，就可以求出AD的长。小聪:你这样太简单了，我加的是∠A=30°，连结OC，就可证明△ACB与△DCO全等。参考此对话:在屏幕内容中添加条件，编制一道题（可以添线、添字母），并解答。

答案解析部分一、单选题1.D【解答】解：连接，四边形是菱形，，，，，是的切线，，，，故答案为：．【分析】连接OB，利用菱形的性质可证得∠AOB=60°，利用切线的性质，可证得∠DBO=90°，再利用解直角三角形求出BD的长。2.D【解答】解：连接，，，，．故答案为：D．【分析】连接BE，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠BEC的度数，从而可求出∠BED的度数，然后利用圆周角定理求出∠BOD的度数。3.B【解答】解：四边形内接于，，，故答案为：B.【分析】利用圆内接四边形的对角互补，就可求出∠ADC的度数。4.D【解答】解：如图，连接.是半径，，是的切线，是的切线，，故答案为：正确，

，，，是切线，，，，，，故答案为：正确，，，，，，，，，，，，，故答案为：正确，故答案为：D.【分析】连接OD，利用切线的判定定理可证得DT是圆的切线，再利用切线长定理可对A作出判断；再证明△ADC是等腰直角三角形，利用解直角三角形可得到AD和CD的数量关系，可对B作出判断；再证明△DOC≌△DOT，利用全等三角形的性质，可证得∠DOC=∠DOT，然后求出∠BOD和∠CDB的度数，就可推出BD=BO，可对C作出判断；从而可得到错误的选项。5.D【解答】解：如图，连接AB则∠DBA=∠DOA=∠β

且∠DEA=∠DBA+∠OAB=α∵OA=OB，∠BOA=90°，即∠OAB=45°∴α=β+45°化简后得2α-β=90°即D选项为正确选项故答案为：D【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到∠DBA=∠β，利用三角形的外角的性质，可证得∠DBA+∠OAB=α，再证明∠OAB=45°，继而可得到α和β之间的关系式。6.B【解答】解：连接OE，OF，

∵点EF分别是切点，∴∠OEB=∠OFB=90°，

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，

∴∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=120°，

∴∠P=∠EOF=60°.

故答案为：B.

【分析】连接OE，OF，根据切线的性质可得∠OEB=∠OFB=90°，利用等边三角形的性质可得∠B=60°，根据四边形内角和等于360°，可求出∠EOF的度数，根据圆周角定理可得∠P=∠EOF，据此求出结论.7.C【解答】解：因为A、L、G共线，LE∥GB，得，则，在Rt△FHP中有,∴，。故答案为：C。【分析】本题关键是求出a、b的关系，把未知量化归统一，A、L、G共线，利用平行线对应线段成比例的性质列式可求a=3b。大正方形面积减小正方形面积即是阴影部分面积。运用勾股定理求出PH，则△EPH也易求出。分别求出面积相比则比值可求。8.C【解答】解：把已知数导入弧长公式即可求得：。故答案为：C。【分析】求弧长，联想弧长公式，代入数字即可。9.B解：连结OD，OA，如图，设半径为r，∵AB=8，CD⊥AB，∴AD=4,点O、D、C三点共线,∵CD=2，∴OD=r-2，在Rt△ADO中，∵AO2=AD2+OD2，,即r2=42+（r-2）2，解得：r=5，故答案为：B.【分析】连结OD，OA，设半径为r，根据垂径定理得AD=4,OD=r-2，在Rt△ADO中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.10.A【解答】解：连接OC、OB，∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB∴∠A=180°-65°-70°=45°∵弧BC=弧BC∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°∵OB=OC在Rt△OBC中，∠OBC=45°∴OC=BCsin45°==2∴弧BC的长为：故答案为：A【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再根据圆周角定理，求出∠BOC的度数，就可证得△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长，然后利用弧长公式计算可求出弧BC的长。11.B【解答】解：∵PA、PB分别为⊙O的切线，∴PA=PB，又∵PA=3，∴PB=3.故答案为：B.【分析】根据切线长定理可得PA=PB，结合题意可得答案.12.C【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC=∠C=(5−2)×180°=108°，∵CD=CB，∴∠CBD==(180°−108°)=36°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，故答案为：C.【分析】由正多边形的内角和公式可求得∠ABC和∠C的度数，又由等边对等角可知∠CBD=∠CDB，从而可求得∠CBD，进而求得∠ABD。13.B【解答】解：连接OA∵∠ABC=30°弧AC=弧AC∴∠AOC=2∠ABC=60°∵AP是圆O的切线，∴OA⊥AP∴∠OAP=90°∴AP=OAtan60°=1×=故答案为：B【分析】连接OA，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，再根据切线的性质，可证△AOP是直角三角形，然后利用解直角三角形求出PA的长。14.B【解答】解：设AB=x，由题意，

得，

解得x=4.故答案为：B。【分析】设AB=x，根据扇形的弧长计算公式算出弧AF的长，根据该弧长等于直径为（6-x）的圆的周长，列出方程，求解即可。15.B【解答】解：设圆锥母线为R，圆锥底面半径为r，∵R=13cm，r=5cm，∴圆锥的侧面积S=·2r.R=×2×5×13=65（cm2）.故答案为：B.【分析】根据圆锥侧面展开图为扇形，再由扇形面积计算即可求得答案.二、填空题16.55°【解答】解：∵AD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝90°；∵⊙O与BC相切，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠DAE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∵∠ADE＝55°，∴∠C＝55°．故答案为：55°．【分析】由直径所对的圆周角为直角得∠AED＝90°，由切线的性质可得∠ADC＝90°，然后由同角的余角相等可得∠C＝∠ADE＝55°．17.【解答】解：根据弧长公式：，故答案为：．【分析】利用弧长公式：，代入计算可求解。18.3【解答】解：过点作于，连接，如图，则，在中，，所以与之间的距离是3.故答案为3.【分析】过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，利用垂径定理求出CH的长，再利用勾股定理求出OH的长。19.【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B∴∠CBA=90°∵sin∠BAC=设BC=X，AC=3x∴AB=∴AO=OB=AB=x∴tan∠BOC=故答案为：【分析】利用切线的性质，可知∠CBA=90°，再利用锐角三角函数的定义设BC=X，AC=3x，利用勾股定理用含x的代数式表示出AB，OB的长，然后就可求出tan∠BOC的值。20.2或2【解答】解：如图，连接OB，

∵OA=OB，OA=BC，

∴BC=OC=2，

∵BC为切线，

∴OB⊥BC，

∴OC=，

当AC为斜边，

∠AOC=90°，

∴AC=，

当OC为斜边，

OC=2.

故答案为：2

或2

.

【分析】连接OB，利用切线的性质，结合同圆的半径相等，利用勾股定理求出OC的长，然后在△AOC中，分别设OC和AC为斜边求值即可.21.【解答】如图，过作AD∥BC，过点B作BH⊥AD垂足为H，∴∠A=β，

设正六边形的边长为a，∴BH=6×2a=12a，∠AED=120°，AE=AD=a，

在等腰三角形ADE中，∠ADE=∠EAD=30°，

∴AD=a，∴AH=a+a+a=a,

tanβ=tanA==.

故答案为：.

【分析】如图，过作AD∥BC，过点B作BH⊥AD垂足为H，可得∠A=β，设正六边形的边长为a，根据正六边形的性质及卡通图形，可得BH=12a，∠ADE=∠EAD=30°，AE=AD=a，从而求出AD=a，从而可得AH=a，由tanβ=tanA=即可求出结论.22.57【解答】连接OF、OE，∵AB、AC为切线，∴

，故，故。故答案为：57。【分析】连接切点是常作的辅助线，同弧所对的圆周角是其圆心角的一半。23.113【解答】解：设母线为R,底面圆的半径为r，依题可得，R=12cm，r=3cm，∴S侧=×2r×R=×2×3×12=36≈113或112（cm2）.故答案为：113或112.【分析】设母线为R,底面圆的半径为r，根据圆锥侧面展开图为扇形，由扇形的面积公式计算即可得出答案.24.30°【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数为15°，∴它所对的圆心角的度数为：30°.故答案为：30°.【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由此即可得出答案.25.【解答】解：如图，∵在△COD中，OD的长一定，要使CD最长，则OC最短，OC⊥CD∴过点O作OC⊥AB于点C，则点D与点B重合∴CD=故答案为：【分析】利用垂线段最短，可知Rt△COD中，OD的长一定，要使CD最长，则OC最短，因此过点O作OC⊥AB于点C，则点D与点B重合，利用垂径定理，就可求出CD的最大值。26.或【解答】解：在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=12,CD=5,∴AD=13；在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=12,BC=CD+DB=18,∴AB=6；过点D作DM⊥AB于点M，∵AD=BD=13,∴AM=;在Rt△ADM中，∵AD=13,AM=

,∴DM=

；∵当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为CD=5＜6，∴半径为6的⊙P不可能与AC相切；当半径为6的⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，∴PE⊥BC,且PE=6，∵PE⊥BC，AC⊥BC,

∴PE∥AC,∴△ACD∽△PED，∴PE∶AC=PD∶AD,即6∶12=PD∶13,∴PD=6.5,∴AP=AD-PD=6.5;当半径为6的⊙P与BA相切时，设切点为F，连接PF，∴PF⊥AB,且PF=6，∵PF⊥BA，DM⊥AB,∴DM∥PF,∴△APF∽△ADM，∴AP∶AD=PF∶DM即AP∶13=6∶,∴AP=,综上所述即可得出AP的长度为：故答案为：【分析】根据勾股定理算出AD,AB的长，过点D作DM⊥AB于点M，根据等腰三角形的三线合一得出AM的长，进而再根据勾股定理算出DM的长；然后分类讨论：当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为CD=5＜6，故半径为6的⊙P不可能与AC相切；当半径为6的⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，根据切线的性质得出PE⊥BC,且PE=6，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出PE∥AC,根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ACD∽△PED，根据相似三角形对应边成比例得出PE∶AC=PD∶AD,由比例式即可求出PD的长，进而即可算出AP的长；当半径为6的⊙P与BA相切时，设切点为F，连接PF，根据切线的性质得出PF⊥BC,且PF=6，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出DM∥PF,根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△APF∽△ADM，根据相似三角形对应边成比例得出AP∶AD=PF∶DM,由比例式即可求出AP的长,综上所述即可得出答案。27.52°

【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=64°,∴∠ADC=116°，又∵点D关于AC对称的点E在BC上，∴∠AEC=∠ADC=116°，∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，∴∠BAE=116°-64°=52°.故答案为：52°.【分析】由圆内接四边形性质及对称性质得∠AEC=∠ADC=116°，再由三角形外角性质即可求得∠BAE度数.三、综合题28.（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴，∴∠CAD=∠CBA

（2）解：AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC=90°.∴∠AEC=∠ACB又∵∠CAD=∠CBA，∴△ACE∽△BAC，∴，∴∴CE=3.6又∵OC=AB=5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出，求出EC即可解决问题．29.（1）解：∵∠EFB=∠EDB，∠EBF=∠EDF∴∠EFB+∠EBF=∠EDB+∠EDF=90°∴∠FEB=90°，∴△BEF为直角三角形

（2）解：∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠EFB＝∠EDB，∴∠EFB＝∠BCD，∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB⊥CD，∴∠AMC＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠BCD＝∠CAB，∴∠BFE＝∠CAB，∵∠ACB＝∠FEB＝90°，∴△BEF∽△BCA．

（3）解：设EF交AB于J．连接AE．∵EF与AB互相平分，∴四边形AFBE是平行四边形，∴∠EFA＝∠FEB＝90°，即EF⊥AD，∵BD⊥AD，∴EF∥BD，∵AJ＝JB，∴AF＝DF，∴FJ＝BD＝，∴EF＝m，∵△ABC∽△CBM，∴BC：MB＝AB：BC，∴BM＝，∵△BEJ∽△BME，∴BE：BM＝BJ：BE，∴BE＝，∵△BEF∽△BCA，∴，即，解得m＝（负根已经舍弃）．【分析】（1）想办法证明∠BEF＝90°即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）．（2）根据两角对应相等两三角形相似证明．（3）证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ＝BD＝，EF＝m，由△ABC∽△CBM，可得BM＝，由△BEJ∽△BME，可得BE＝，由△BEF∽△BCA，推出，由此构建方程求解即可．30.（1）证明：∵∠ADC=∠G，∴∵AB为⊙O的直径，∴∴，即∴∠1=∠2。

（2）解：连结DF∵，AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，CE=DE，∴FD=FC=10∵点C，F关于GD对称，∴DC=DF=10，∴DE=5∵tan∠1=∴EB=DE·tan∠1=2∴∠1=∠2，∴tan∠2=，∴AE=∴AB=AE+EB=，∴⊙O的半径为【分析】（1）利用圆周角定理可证得弧AC=弧AD，再利用AB是圆的直径，去证明弧CB=弧BD，然后根据等弧所对的圆周角相等可证得结论。

（2）连接DF，利用垂径定理可证得CE=DE，AB⊥CD，就可求出DF，DE的长，再利用解直角三角形求出EB，AE的长，然后根据AB=AE+EB，就可求出AB的长，即可得到圆的半径。31.（1）证明∵BC平分∠ABD，∴∠DBC=∠ABC∴∠CAD=∠DBC∴∠CAD=∠ABC

（2）解∵∠CAD=∠ABC，∴∵AD是⊙O的直径，AD=6，∴【分析】（1）利用角平分线的定义可得到∠DBC=∠ABC，再利用同弧所对的圆周角相等，可得到∠CAD=∠DBC，据此可证得结论。

（2）利用∠CAD=∠ABC，可证得弧CD和半圆的关系，根据圆的直径可得到圆的半径长，然后就可求出弧CD的长。32.（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC=30°，

∴E为AB中点，AE=，

∴AB=2AE=，

∵AC为直径，半径为1，

∴∠ABC=90°，

∵∠BAC=30°，

∴BC=AC，

∵OB=OC=AC

∵OB=BC=OC，

∴△OBC为等边三角形，

∵OF=CF，

∴BF⊥OC，

∴EF=AB=

（2）解：①证明：取OB中点M，连接ME，MF∵OF=CF，OM=BM∴MFBC由(1)可得AE=BE，AO=OC∴OEBC∴MFOE四边形OEMF为平行四边形∴PE=PF②延长FM交AB于点N则FN∥BC∵BC⊥BE∴FN⊥BE∵OE∥BC∴OE∥FN∥BC∴∴EN=NB即FN垂直平分BE∴BF=EF∵BO=DO∴FO⊥BD∴∠AOB=90°∵OA=OB∴∠BAC=45°【分析】（1）利用垂径定理及直角三角形的性质，就看求出AE的长，即可求出AB的长，利用圆周角定理可证得∠ABC=90°，利用直角三角形的性质及等边三角形的判定，可证得△OBC为等边三角形，利用等边三角形的性质，然后求出EF的长。

（2）①易证MF是△OBC的中位线，利用已知易证MF和BC的数量关系和位置关系，再证明OE和BC的数量关系和位置关系，由此可证得MF平行且等于OE，由此可以推出OEMF是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得结论；②延长FM交AB于点N，利用已知易证OE∥FN∥BC，利用平行线分线段成比例定理可证得EN=NB，利用线段垂直平分线的判定和性质，可证得BF=EF，然后证明△AOB是等腰直角三角形，由此可求出∠BAC的度数。33.（1）解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD∴∠E=∠ECD-∠EBD=∠ACD-∠ABC=

(∠ACD-∠ABC)=∠A=α

（2）解：如图，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠BC=180°，又∵∠FDE+∠FDC=180°，∴∠FDE=∠FBC，∵DF平分LADE，∴∠ADF=∠FDE，∵∠ADF=∠ABF，∴∠ABF=∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵，∴∠ACD=∠BFD，∵∠BFD+∠BCD=180°，∠DCT+∠BCD=180°，∴∠DCT=∠BFD，∴∠ACD=∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角

（3）解：①如图，连结CF∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC=2∠BEC，∴∠BFC=∠BAC，∴∠BFC=2∠BEC，∵∠BFC=∠BEC+∠FCE，∴∠BEC=∠FCE，∵∠FCE=∠FAD，∴∠BEC=∠FAD，又∵∠FDE=∠FDA，FD=FD，∴△FDE≌△FDA(AAS)，∴DE=AD，∴∠AED=∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠AED+∠DAE=90°，∴∠AED=∠DAE=45°②如图，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点Ｍ∵AC是⊙的直径，∴∠ABC=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC=∠EBC=∠ABC=45°∵∠AED=45°，∴∠AED=∠FAC，∴∠FED=∠FAD，∴∠AED-∠FED=∠FAC-∠FAD，∴∠AEG=∠CAD，∵∠EGA=∠ADC=90°，∴△EGA∽△ADC，∴∵在Rt△ABG中，AG=AB=4，在Rt△ADE中，AE=AD，∴在Rt△ADC中，AD²+DC2=AC2，∴设AD=4x，AC=5x，则有(4x)2+52=(5x)2，∴x=∴ED=AD=∴CE=CD+DE=∵∠BEC=∠FCE，∴FC=FE，∵FM⊥CE，∴EM=CE=∴DM=DE-EM=∵∠FDM=45°，∴FM=DM=∴S△DEF=DE·FM=【分析】（1）由三角形的外角的性质把∠E转化为∠ECD-∠EBD，结合角平分线的性质可得∠E=

(∠ACD-∠ABC)，于是根据外角的性质可得∠E=∠A，则∠E和α的关系可知；

（2）用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可得∠FDE=∠FBC，

再由DF平分∠ADE，

结合同弧所对的圆周角相等，可得∠ABF=∠FBC，

于是BE是∠ABC的平分线，

然后由

同弧所对的圆周角相等

，结合圆内接四边形对角互补和角平分线的定义得出CE是△ABC的外角平分线，于是由题（1）可得∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角；

（3）①连结CF，由遥望角的性质可得∠BAC=2∠BEC，再由同弧所对的圆周角相等，结合三角形的外角的性质可得∠BEC=∠FCE，

再结合∠FCE=∠FAD，得出∠BEC=∠FAD，于是利用角角边定理可证△FDE≌△FDA，则对应边DE=AD，结合直径所对的圆周角是直角可得△ADE是等腰直角三角形，则∠AED的度数可知；

②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点Ｍ

，由直径所对的圆周角是直角，结合BE平分∠ABC，可得∠FAC=45°，

于是推得∠AEG=∠CAD，结合∠EGA=∠ADC=90°，

可证△EGA∽△ADC，根据三角形的性质列比例式，结合AE=

AD，

求得AD和AC的比值，设AD=4x，AC=5x，在Rt△ADC中，

根据勾股定理列式求出x，则ED、CE的长可求，从而求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，最后根据三角形面积公式求面积即可.

34.（1）解：在Rt△AOC中，∠AOC＝60°，∴AC＝AO·sin∠AOC=2sin60°＝，∵OC⊥AB，∴AB＝2AC＝2

（2）解：∵OA=OB=2，OC⊥AB，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°.∴

＝＝＝.∴的长是.【分析】（1）在Rt△AOC中，

由AC＝AO·sin∠AOC，可求出AC=，根据垂径定理可得AB＝2AC＝2

；

（2）

根据等腰三角形的性质可得∠AOB＝2∠AOC＝120°，直接利用弧长公式即可求出结论.35.（1）证明：连结AE，∵∠BAC=90°，∴CF为⊙O的直径.∵AC=EC，∴CF⊥AE.∵AD为⊙O的直径，∴∠AED=90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG.∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG为平行四边形。

（2）解：由CD=AB，可设CD=3x，AB=8x，∴CD=FG=3x.∵∠AOF=∠COD，∴AF=CD=3x，∴BG=8x-3x-3x=2x.∵GE∥CF，∴又∵BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴AB==8=8x，∴x=1.在Rt△ACF中，AF=3，AC=6，∴CF=，即⊙O的直径长为【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，AD、FC都是直径，很容易证明DC∥AB，再由CA=CE，CF为直径，根据垂径定理即得CF⊥AE，，再由AD是直径，可得ED⊥AE，则CF∥GD。故四边形DCFG为平行四边形。

（2）根据量的化归统一的思想，由已知条件和线段相等等把AB上的所有线段用一个量x来表示。根据平行线对应线段成比例或三角形相似的性质，求出其他线段间的比例关系或线段长。在△ABC中，根据勾股定理列关系式，求出x。CE为直径，在Rt△中运用勾股定理即可求出圆的直径的长。36.（1）如图，连结OB，设⊙O半径为r，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，又∵四边形OABC为平行四边形，∴OA∥BC，AB=OC，∴∠AOB=90°，又∵OA=OB=r，∴AB=r，∴△AOB，△OBC均为等腰直角三角形，∴∠BOC=45°，∴弧CD度数为45°.

（2）作OH⊥EF，连结OE，由（1）知EF=AB=r，∴△OEF为等腰直角三角形，∴OH=EF=r，在Rt△OHC中，∴sin∠OCE==，∴∠OCE=30°.【分析】（1）连结OB，设⊙O半径为r，根据切线性质得OB⊥BC，由平行四边形性质得OA∥BC，AB=OC，根据平行线性质得∠AOB=90°，由勾股定理得AB=r，从而可得△AOB，△OBC均为等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质得∠BOC=45°，即弧CD度数.（2）作OH⊥EF，连结OE，由（1）知EF=AB=r，从而可得△OEF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质得OH=EF=r，在Rt△OHC中，根据正弦函数定义得sin∠OCE=，从而可得∠OCE=30°.37.（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°．在Rt△ADC中，DC=AC·tan30°=2

（2）解：易得，BC=6，BD=4．由DE∥AC，得∠EDA=∠DAC,∠DFM=∠AGM．∵AM=DM，∴△DFM≌△AGM，∴AG=DF．由DE∥AC，得△BFE∽△BGA，∴∴

（3）解：∵∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形。①

当⊙Q与DE相切时，如图1，过Q点作QH⊥AC，并延长HQ与DE交于点P，连结QC，QG设⊙Q的半径QP=r则QH=r，r+r=2，解得r=．∴CG=×=4，AG=2．易知△DFM∽△AGM，可得，则∴DM=．②

当⊙Q经过点E时，如图2，过C点作CK⊥AB，垂足为K．设⊙Q的半径QC=QE=r，则QK=3-r．在Rt△EQK中，12+（-r）2=r2，解得r=，∴CG=×=易知△DFM∽△AGM，可得DM=③

当⊙Q经过点D时，如图3，此时点M与点G重合，且恰好在点A处，可得DM=4．综上所述，当DM=或<DM<4时，满足条件的点P只有一个。【分析】（1）由角平分线定义得∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根据锐角三角函数正切定义即可求得DC长.（2）由题意易求得BC=6，BD=4，由全等三角形判定ASA得△DFM≌AGM，根据全等三角形性质得DF=AG，根据相似三角形判定得△BFE∽△BGA，由相似三角形性质得，将DF=AG代入即可求得答案.（3）由圆周角定理可得△CQG是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：①当⊙Q与DE相切时，结合题意画出图形，过点Q作QH⊥AC，并延长HQ与DE交于点P，连结QC，QG，设⊙Q半径为r，由相似三角形的判定和性质即可求得DM长；②当⊙Q经过点E时，结合题意画出图形，过点C作CK⊥AB，设⊙Q半径为r，在Rt△EQK中，根据勾股定理求得r，再由相似三角形的判定和性质即可求得DM长；③当⊙Q经过点D时，结合题意画出图形，此时点M与点G重合，且恰好在点A处，由此可得DM长.38.（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60.∵∠DEB=∠BAC=60,∠D=∠C=60∴∠DEB=∠D.∴BD=BE

（2）解：如图，过点A作AG⊥EC于点G.∵△ABC为等边三角形，AC=6，∴BG=BC=AC=3.∴在Rt△ABG中，AG=BG=3.∵BF⊥EC，∴BF∥AG.∵AF:EF=3:2,∴BE=BG=2.∴EG=BE+BG=3+2=5.∴在Rt△AEG中，AE=.

（3）解：①如图，过点E作EH⊥AD于点H.∵∠EBD=∠ABC=60°,∴在Rt△BEH中，=sin60=.∴∴∵BG=xBE.∴AB=BC=2BG-2xBE.∴AH-AB+BH=2xBE+BE=(2x+)BE.∴在Rt△AHE中,tan=y=②如图，过点O作OM⊥EC于点M.设BE=a.∵∴CG=BG=xBE=x.∴EC=CG+BG+BE=a+2ax.∴AM=EC=a+ax.∴BM=EM-BE=ax-a∵BF∥AG∴△EBF∽△EGA.∴∵AG=BG=ax∴BF=AG=∴△OFB的面积=∴△AEC的面积=∵△AEC的面积是△OFB的面积10倍∴∴解得∴【分析】（1）根据等边三角形的三个内角都等于60°得出∠BAC=∠C=60°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°,故∠DEB=∠D,根据等角对等边得出BD=BE；

（2）如图，过点A作AG⊥EC于点G，根据等边三角形的三线合一得出BG=3，在Rt△ABG中，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AG的长，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出BF∥AG，根据平行线分线段成比例定理得出∶EF=BG∶EB,根据比例式即可算出EG的长，最后在Rt△AEG中，根据勾股定理即可算出AE的长；

（3）①如图，过点E作EH⊥AD于点H，在Rt△BEH中，根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出EH=,由于BG∶EB=AF∶EF=x，故BG=xBE，AB=2xBE,最后根据AH=AB+BH表示出AH，在Rt△AHE中，根据正切函数的定义，由tan∠EAO=EH∶AH,即可建立出函数关系式；②如图，过点O作OM⊥EC于点M，设BE为a，根据BG∶EB=AF∶EF=x，得出CG=BG=xBE=ax，故EC=CG+BG+BE=a+2ax,根据垂径定理得出EM的长，进而根据线段的和差表示出BM的长，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△EBF∽△EGA，根据相似三角形的对应边成比例表示出BF的长，根据三角形的面积计算公式分别表示出△OFB的面积及△AEC的面积，然后根据△AEC的面积是△OFB的面