2026年高考数学一轮复习专题课件：复数

2026年高考数学一轮复习专题课件★★

复数

回归教材复数的有关概念(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，当_________时，z是实数；当_________时，z是虚数；当_____________时，z是纯虚数．(2)若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，则_________________⇔z1＝z2.若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝0⇔

____________．b＝0b≠0a＝0且b≠0a1＝a2，b1＝b2a＝b＝0

(3)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝_________；|z|＝_________，z对应复平面内的点_________；|z1－z2|表示__________________(Z1，Z2是复数z1，z2在复平面内对应的点)．a－biZ(a，b)Z1，Z2两点间的距离(1)(a＋bi)±(c＋di)＝_________________．(2)(a＋bi)·(c＋di)＝__________________．复数的运算(a±c)＋(b±d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i

(4)①i4n＝_____，i4n＋1＝____，i4n＋2＝____，i4n＋3＝____．(n∈N)②(1＋i)2＝____，(1－i)2＝____．

1i－1－i2i－2ii－i2i－i

(5)关于复数z的方程在复平面上表示的图形①a≤|z|≤b(a≠b)表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；②|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．

夯实双基答案(1)×

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.答案(2)×

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i，3＋4i>3＋3i等．答案(3)×

(4)原点是实轴与虚轴的交点．答案(4)√

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．答案(5)√

(6)复数z＝－1＋2i的共轭复数在复平面内的对应点在第四象限．答案(6)×

2．(课本习题改编)设a为i－1的虚部，b为(1＋i)2的实部，则a＋b＝(

)A．－1

B．－2C．－3 D．0√

＝－i，∴a＝－1.∵(1＋i)2＝2i，∴b＝0，∴a＋b＝－1，选A.3．(2025·山西太原期末)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1，－1)，则

－2i＝(

)A．－1－3i B．1－iC．1－3i D．－1＋i√－2i＝(1－i)(－i)－2i＝－1－3i.4．(2024·全国甲卷，理)若z＝5＋i，则i(

＋z)＝(

)A．10i B．2iC．10 D．2√解析因为z＝5＋i，所以

＝5－i，所以i(＋z)＝i(5－i＋5＋i)＝10i.故选A.√题型一

复数的概念

已知m∈R，复数z＝

＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时：(1)z∈R；【答案】(1)m＝－3

【解析】(1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0，解得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.(2)z是纯虚数；【答案】(2)m＝0或m＝2

解得m＝0或m＝2.

(3)z对应的点位于复平面的第二象限．【解析】(3)当z对应的点位于复平面的第二象限时，则有

解得m<－3或1<m<2.【答案】(3)m<－3或1<m<2状元笔记关于复数的概念的易错点复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为

做题时容易忽略b≠0，从而造成错误．√

思考题1

(1)【多选题】已知复数z＝(a－i)(3＋2i)(a∈R)的实部为－1，则下列说法正确的有(

)A．复数z的虚部为－5iD．z在复平面内对应的点位于第三象限√

【解析】

z＝(a－i)(3＋2i)＝3a＋2ai－3i－2i2＝3a＋2＋(2a－3)i，因为复数z的实部是－1，所以3a＋2＝－1，解得a＝－1，所以z＝－1C正确；z在复平面内对应的点是(－1，－5)，位于第三象限，D正确．故选CD.√

(2)已知复数z1＝a－3i，z2＝2＋i(i为虚数单位)．若z1z2是纯虚数，则实数a＝(

)C．－6 D．6

【解析】

因为z1z2＝(a－3i)(2＋i)＝(2a＋3)＋(a－6)i是纯虚数，所以2a＋3＝0且a－6≠0，可得a＝

题型二

复数的运算(微专题)微专题1复数的基本运算

(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若

＝1＋i，则z＝(

)A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i√√√状元笔记复数运算的技巧(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．(2)记住以下结论，可提高运算速度．⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．√

思考题2

(1)(2025·衡水中学调研)已知复数z满足(1－2i)·z＝i2024(i为虚数单位)，则

＝(

)故选B.√

(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋

＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2所对应的点的坐标为___________．微专题2复数的运算性质√

【多选题】设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是(

)A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若

＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2 √【解析】由复数的形式知A显然错误．当z1z2＝z1z3时，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3，故B正确．

状元笔记复数的模与共轭复数的运算性质

(2)【多选题】(2025·河南省适应性测试)已知复数z，w均不为0，则(

)√√√【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R，且a，b不同时为0)，w＝c＋di(c，d∈R，且c，d不同时为0)，则z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2＝a2－b2＋2abi，题型三

复数的几何意义

(1)0，3＋2i，－2＋4i在复平面内对应的点为平行四边形OABC的顶点O，A，C.试求：③B点对应的复数．【答案】①－3－2i，－3－2i

②5－2i

③1＋6i

所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.(2)18世纪末期，丹麦测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义．例如，|z|＝|OZ|，即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到原点的距离．在复平面内，若复数z1＝

对应的点为Z1，Z为曲线|z－3|＝1上的动点，则Z1与Z之间的最小距离为________．4状元笔记

复数的几何意义因为复平面内的点、向量及复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的起点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．

思考题4

(1)(2020·课标全国Ⅱ，理)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，

【解析】

方法一：设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x12＋y12＝x22＋y22＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝

方法四：设z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，

(2)已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为(

)√【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，题型四

复数与方程已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根．(1)求实数a，b的值；【答案】(1)a＝2，b＝2【解析】(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，

(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．【答案】(2)见解析【解析】(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.证明如下：把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，∴x2＝－1－i是方程的另一个根．状元笔记

复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法(1)利用求根公式法直接求解．(2)利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．

思考题5

(2025·高三省级联测)已知z是方程