2026年高考数学一轮复习专题课件：平面向量的数量积

平面向量的数量积2026年高考数学一轮复习专题课件★★

两向量的夹角(1)定义：如图，已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，

回归教材(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b______．②当θ＝π时，向量a，b______．同向反向垂直

平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.特别地，零向量与任何向量的数量积都等于______．0

平面向量数量积的几何意义如图，设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相_________．投影投影向量|a|cosθe

向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝__________．a·c＋b·c向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔______＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝；______当a与b反向时，a·b＝_________．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝______．(4)|a·b|______|a||b|.a·b|a||b|－|a||b|≤平面向量数量积有关性质的坐标表示(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝________或|a|＝________．______________________．(3)设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，x2＋y2常用结论(1)平面向量数量积运算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)有关向量夹角的两个结论已知非零向量a，b，①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)

夯实双基答案(1)×

答案(2)√

答案(3)√

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．

(4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.答案(4)×

(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．答案(5)×

(6)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.答案(6)×2．(2024·北京)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件√解析由(a＋b)·(a－b)＝0，得a2－b2＝0，即|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，当a＝(1，1)，b＝(－1，1)时，|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，(a＋b)·(a－b)＝0，故必要性成立．所以“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件．√4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(

)√

解析

因为(b－2a)⊥b，所以b·b－2a·b＝0，即b2＝2a·b.又|a＋2b|＝2，所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝a2＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，5．(课本习题改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，a，b的夹角为θ，则cosθ＝________．题型一

平面向量数量积的运算

(1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.【答案】①±10

②0

③5【思路】根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ.【解析】①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°.∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.若a与b反向，则它们的夹角为180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②当a⊥b时，它们的夹角为90°.∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.③当a与b的夹角为30°时，(2)在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝AB＝2DC＝2，E为√【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，状元笔记向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°这三种特殊情况．

√

思考题1

(1)(2023·全国乙卷，文)正方形ABCD的边长是2，E是方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，－25【解析】方法一：如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且

＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA方法二：如图，建立平面直角坐标系，

则A(3，0)，B(0，0)，C(0，4)．题型二

投影向量

已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：(1)向量a在向量b上的投影向量；【解析】(1)∵|b|＝1，∴b为单位向量．

(2)向量b在向量a上的投影向量．状元笔记投影向量的求法方法一：用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量．方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为

思考题2

(1)已知向量a＝(－2，λ)，b＝(1，1)，且a⊥b，则λ＝________，向量a－b在向量b上的投影向量的坐标为____________．2(－1，－1)【解析】由题意可得a·b＝－2＋λ＝0，所以λ＝2.记c＝a－b＝(－3，1)，则向量c在向量b上的投影向量为

(2)(2025·深圳高三调研)已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a＋λb在向量a上的投影向量为2a，则λ＝(

)A．－2 B．2√题型三

平面向量数量积的应用(微专题)

微专题1向量的模－b|，则|b|＝________．【解析】由题意a2＋b2－2a·b＝3，a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，∴a2－2a·b＝0，∴b2＝3，即

(2)(2025·沧衡名校期末联考)已知向量a，b满足2a＋b＝(2，－3)，2a－b＝(1，－2)，A．2 B．1C．－1 D．－2√状元笔记利用数量积求解长度(模)问题的处理方法

(2)设a，b为单位向量，且|a－b|＝1，则|a＋2b|＝(

)√【解析】方法一：因为a，b是单位向量，所以|a|＝1，|b|＝1.由|a－b|＝1得|a－b|2＝1，即|a|2－2a·b＋|b|2＝1，可得微专题2向量的夹角√

(1)已知单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角为(

)【解析】方法一：设a与b－a的夹角为θ.因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以a·b＝0.因为a，b为单位向量，所以(b－a)2＝2，因为a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cosθ，方法二(几何法)：如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以a，b为邻边(共起点)的菱形的两条对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b－a可知所求夹角为方法三(坐标法)：由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取a＝(1，0)，b＝(0，1)，则b－a＝(－1，1)，由向量夹角的坐标运算知a与b－a的夹角为.故选D.

(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(

)A．－6 B．－5C．5 D．6√【解析】由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，＝5，故选C.状元笔记求两向量夹角的方法(1)一般是利用夹角公式：(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．√则sin〈a，c〉＝(

)【解析】方法一：方法二：由题意，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，微专题3向量的垂直问题

(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2√【解析】由题意知b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x－4)，又b⊥(b－4a)，所以2×2＋x(x－4)＝0，即x2－4x＋4＝0，解得x＝2.故选D.C．6 D．4√状元笔记两非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.思考题5

(2020·课标全国Ⅱ，文)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(

)A．a＋2b B．2a＋bC．a－2b D．2a－b√＝0，即(2a－b)⊥b.故选D.方法三：根据条件，分别作出向量b与A、B、C、D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示，由图易知，只有D满足题意．故选D.

重温高考√1．(2024·全国甲卷，理)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(

)A．x＝－3是a⊥b的必要条件

B．x＝－3是a∥b的必要条件C．x＝0是a⊥b的充分条件解析a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±.故B、D错误．2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(

)A．λ＋μ＝1

B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1√解析a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，∴(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，∴λμ＝－1.故选D.√3．(2023·全国甲卷，文)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(

)解析因为a＝(3，1)，b＝(2，2)，所以a＋b＝(5，3)，a