《等边三角形(第一课时)》教案

《等边三角形（第一课时）》教案教学目标教学目标：探索并掌握等边三角形的性质及判定方法，运用等边三角形的性质和判定进行简单计算和证明.教学重点：等边三角形的性质与判定教学难点：等边三角形的性质与判定教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟环节1：复习旧知，引入新课复习回顾1：等腰三角形的性质和判定名称图形定义性质判定等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形两腰相等两条边相等等边对等角“三线合一”等角对等边轴对称图形（1条或3条对称轴）复习回顾2：三角形如何按边分类在三角形的按边分类中，等边三角形是特殊的等腰三角形.引入新知：等边三角形的定义等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）.符号语言：∵AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形.8分钟环节2：合作探究，类比学习等边三角形的性质类比：等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质同样适用于等边三角形.但等边三角形还有哪些特殊的性质呢？让我们一起来探究一下吧.等腰三角形的性质等边三角形的性质边两边相等（定义）三边相等（定义）角两底角相等（等边对等角）？“三线合一”是？轴对称图形是；1条或3条对称轴？探究：等边三角形的性质探究问题1：等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？预案：已知：△ABC是等边三角形，求证：∠A=∠B=∠C.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC.∵AB=AC，∴∠B=∠C.(等边对等角)同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.进一步发现，每一个内角都等于60°.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.等边三角形的性质（2）：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.问题2：等边三角形有“三线合一”的性质吗？为什么？等边三角形的性质（3）：等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合（“三线合一”）.问题3：等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？等边三角形的性质（4）：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.小结：等边三角形的性质等腰三角形的性质等边三角形的性质边两边相等（定义）三边相等（定义）角两底角相等（等边对等角）三个内角都相等，都为60°“三线合一”是是轴对称图形是；1条或3条对称轴是；3条对称轴随堂练习：等边三角形的性质练习如图，在等边△ABC中，BC=10,BD⊥AC于点D，则：AC=；（2）∠A=；（3）∠ABD=，AD=.答案：（1）10；考查：等边三角形的性质（1）三边相等；（2）60°；考查：等边三角形的性质（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；（3）30°，5考查：等边三角形的性质（3）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合（“三线合一”）预案1：“三线合一”预案2：三角形的内角和6分钟环节3：类比探究等边三角形的判定方法思考1：一个三角形满足什么条件是等边三角形？思考2：一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？预案（思考1）：已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B,∠B=∠C,∴BC=AC,AC=AB．(等角对等边)∴AB=BC=AC．∴△ABC是等边三角形．预案（思考2）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.分类讨论：顶角是60°有一个底角是60°假若AB=AC，则∠B=∠C.（1）当顶角∠A=60°时,∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°.∴△ABC是等边三角形.（2）当底角∠B=60°时,∠C=60°,∠A=180°-(60°+60°)=60°.∴∠A=∠B=∠C=60°.∴△ABC是等边三角形.小结：等边三角形的判定方法名称图形判定与边角关系等边三角形三条边都相等的三角形三个角都相等的三角形有一个角是60°的等腰三角形8分钟环节4：例题讲解，一题多解如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC,分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形.分析：思路1证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．思路2证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠ADE=∠AED．∴AD=AE．∴△ADE是等腰三角形．∵∠A=60°，∴△ADE是等边三角形．思路3证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE，∠ADE=∠AED．∴DE=AE，AD=AE．即AD=AE=DE．∴△ADE是等边三角形．小结：一题多解此题中，思路1所对应的方法较思路2和3更加直接、简便.综合分析法1分钟环节5：归纳小结等边三角形性质三条边相等2.三个内角都相等，都为60°3.“三线合一”4.轴对称图形（3条对称轴）判定定义（三条边相等）2.三个角相等有一个角是60°的等腰三角形课后作业已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm,则△ABC的周长____.答案：9cm△ABC是等腰三角形，周长为15cm且∠A=60°，则BC=_______.答案：5cm3.等边三角形两条高相交所成的钝角的度数是_______.答案：120°例题变式练习：变式1：△ABC是等边三角形，若点D，E在边AB，AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB．∵DE∥BC，∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.变式2：△ABC是等边三角形，若点D，E在边AC，AB的反向延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C．∵DE∥BC，∴∠B=∠E，∠C=∠D.∵∠BAC=∠DAE∴∠DAE=∠D=∠E.∴△ADE是等边三角形.变式3：例题中,△ABC是等边三角形，若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.证明：∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ADE是等边三角形．知能演练提升一、能力提升1.关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系,下列说法不正确的是()A.等腰三角形包括等边三角形B.等边三角形包括等腰三角形C.等边三角形是等腰三角形的特殊情况D.等边三角形每边上的高,中线与此边对角平分线都能实现“三线合一”2.在△ABC中,如果只给出条件∠A=60°,那么还不能判定△ABC是等边三角形,给出下面四种说法:①如果再加上条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;②如果再加上条件“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;③如果再加上条件“D是BC的中点,且AD⊥BC”,那么△ABC是等边三角形;④如果再加上条件“AB,AC边上的高相等”,那么△ABC是等边三角形.其中正确的说法有()A.①② B.②③C.①③④ D.①②③④3.若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC的形状为.

4.如图,∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上的点,PM⊥OB于点M,PN∥OB交OA于点N.若PM=1,则PN的长是.

5.如图,△ABC是等边三角形,点E是AC上一点,∠1=∠2,BE=CD.请判断△ADE的形状,并说明理由.6.如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE.7.如图,D是等边三角形ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边三角形EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.8.如图,已知△BCE,△ACD分别是以BE,AD为斜边的直角三角形,且BE=AD,△CDE是等边三角形.求证:△ABC是等边三角形.9.如图,D,E分别是等边三角形ABC两边BC,AC上的点,且AE=CD,连接BE,AD且交于点P.过点B作BQ⊥AD于点Q.证明:BP=2PQ.二、创新应用★10.如图,D是等边三角形ABC内一点,且DB=DA,PB=AB,∠DBP=∠DBC,求∠P的度数.

知能演练·提升一、能力提升1.B2.D3.等边三角形由a2+b2+c2=ab+ac+bc,可以得出2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,故有(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0成立,因此可得a=b=c.由等边三角形的定义可知△ABC一定是等边三角形.4.2因为PN∥OB交OA于点N,所以∠ANP=30°.如图,作PC⊥OA于点C.在Rt△CNP中,PN=2PC.由角平分线的性质,得PC=PM=1,所以PN=2PC=2.5.解△ADE是等边三角形.理由如下:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.在△ABE和△ACD中,AB∴△ABE≌△ACD(SAS).∴AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°.∴△ADE是等边三角形.6.证明∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵D为AC的中点,∴BD平分∠ABC,∴∠DBC=30°.∵CE=CD,∴∠E=∠CDE=12∠ACB=30°∴∠DBC=∠E,∴BD=DE.7.解△BDC≌△AEC.理由如下:∵△ABC,△EDC均为等边三角形,∴BC=AC,DC=EC,∠BCA=∠ECD=60°,∴∠BCD=∠ACE.在△BDC和△AEC中,BC∴△BDC≌△AEC(SAS).8.证明∵△CDE是等边三角形,∴EC=DC,∠ECD=60°.∵△BCE,△ACD分别是以BE,AD为斜边的直角三角形,∴∠BCE=∠ACD=90°.在Rt△BCE和Rt△ACD中,∵EC=DC,BE=AD,∴Rt△BCE≌Rt△ACD(HL),∴BC=AC.∵∠ECD+∠ACE=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠ACB=∠ECD=60°.∴△ABC是等边三角形.9.证明∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°.在△ABE和△CAD中,AB∴△A