第十七章 特殊三角形章末重点题型复习（原卷版）

第十七章特殊三角形章末重点题型复习题型一根据三线合一证明题型二根据等角对等边证明等腰三角形题型三根据等角对等边证明边相等题型四等腰三角形尺规作图问题题型五格点图中画等腰三角形题型六含30度角的直角三角形题型七斜边的中线等于斜边的一半题型八勾股定理与折叠问题题型九以弦图为背景的计算题题型十勾股定理的证明方法题型十一勾股定理的逆定理综合应用题型十二勾股定理的应用题型十三最短路径的综合应用题型十四直角三角形全等的判定题型十五等边三角形的判定和性质综合题型十六等腰三角形的性质和判定题型一根据三线合一证明1．如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；③；③；④．其中正确的是（

）

A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④3．如图，，CD是的垂直平分线，则的度数为．4．若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”．如图，与互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”，则．5．如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点．(1)若，求的度数；(2)求证：垂直平分．6．如图，已知是等腰三角形，，．问题初探

（1）如图①，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，则和的数量关系为_______，和的数量关系为_______．引导发现（2）如图②，连接并延长，交于点，求证：．拓展延伸（3）如图③，作射线交的延长线于点，请直接写出的度数．题型二根据等角对等边证明等腰三角形7．如图，在中，，，是边上的高，的平分线分别交，于点，，则图中的等腰三角形共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论：①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（

）A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④9．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为．

10．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则是三角形，线段的长为．11．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．(1)求证：是等腰三角形．(2)若，，求的度数．12．综合与探究【问题情境】数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，在中，，于点D，平分交于点F，交于点E．【初步分析】（1）智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论．（2）博学小组的同学发现给添加一个条件，可使成为等边三角形．添加的条件可以是_______．（写出一种即可）【操作探究】（3）创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下探究：将沿射线的方向平移，使点F的对应点恰好落在线段上．①请在图中画出平移后的；②判断此时线段与之间的数量关系，并说明理由．题型三根据等角对等边证明边相等13．如图，在中，是斜边上的高，角平分线交于，于，则下列结论中不正确的是（

）A． B． C． D．14．如图，四边形中，，，，，以点A为圆心，以长为半径作弧，与相交于点E，连接．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点F，则的长为（）（用含a的代数式表示）．A． B． C． D．15．如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为．16．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是．17．如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，连接．(1)求证：；(2)已知，，求长．18．课本再现：（）如图，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形．课本中给出一种证明方法如下：证明：∵是等边三角形，∴，∵，∴，，∴，∴是等边三角形．“想一想，本题还有其他证法吗?”给出的另外一种证明方法，请补全：证明：∵是等边三角形，∴，，∵，∴，①______，∴②______③______，∴，（④______）∴是等腰三角形．又∵，∴是等边三角形．（）如图，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长BD至点，使得，求证：是等边三角形．题型四等腰三角形尺规作图问题19．下列尺规作图中，一定能得到的是（

）A． B．C． D．20．如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（

）

A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确21．如图，，是已知圆上两点，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，（保留作图痕迹），这样的三角形能作______个．22．如图，将ΔABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上．

（1）．（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为底边的等腰，使该三角形的面积等于ΔABC的面积，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．23．如图，在中，．小星、小红两人想在上取一点P，连接，使得，其作法如下：请选择一种作法将图形补全，并判断正误，说明理由．24．已知等腰直角三角形如图所示放置，根据题目要求补全图形，并保留作图痕迹．①作点关于线段的对称点点．②在延长线上取得一点，连接，并以点为直角顶点，线段为直角边作等腰直角三角形．③连接．(1)找出补全后图中与全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)求证：．题型五格点图中画等腰三角形25．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．(1)在图①中画出一个以为一边，面积为15的钝角三角形；(2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形．26．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，把顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点、，请在所给的网格区域（含边界）内按要求画出整点三角形．

(1)在图中画出以为一条直角边的等腰直角三角形；(2)在图中画出一个，使得的面积等于，且使点在的内部．

27．如图，在的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．

(1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上；(2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上；(3)如图3，画线段，使它垂直平分线段AB，且点E，点F都在格点上．28．如图所示的方格纸中，每一个小正方形的边长都是，网格中有一个格点三角形．(1)以直线为对称轴，在图中直接作出的轴对称图形．(2)在直线右侧，在外部，画出以为腰的一个等腰直角三角形．(3)计算的面积，并通过面积求出的长度．29．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的顶点上．

(1)在图1中，画一个，满足以下要求：①点在小正方形的顶点上；②与全等；③；(2)在图2中，在的上方取点，画出以为斜边的，且，顶点E在小正方形的顶点上，并直接写出四边形的面积．30．如图，用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）．

(1)如图1，过O作，交于D；(2)如图1，过A作，且；(3)如图2，过C作直线轴，在直线l上确定一点M，使最短；(4)如图3，在边上确定一点N，使．题型六含30度角的直角三角形31．如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（

）A． B． C． D．232．如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，连接，分别交于点，连接．若，则的长为（

）A．6 B．8 C．10 D．1233．如图，平分，，，于点，，则的长为．34．如图，是边长为的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为．请用含t的代数式表示；当s时，是直角三角形．35．如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，，求的长．36．中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．(1)如图1，若，点刚好落在边上，，则______，______；(2)判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明．题型七斜边的中线等于斜边的一半37．在中，，，将按如图所示的方式依次折叠：有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（

）A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④38．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点，连接，且，过点作于点交于点，过点作交的延长线于点，以下三个结论中：（1）；（2）；（3）当时，，则所有正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个39．将两块斜边长等于2的三角尺（与）的斜边完全叠合按图所示摆放，为中点，连接和，那么的而积等于．40．如图，在中：，将绕点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值．41．如图，在中，，，平分．(1)若，求的长；(2)若为的中点，连接交于点，求证：垂直平分．42．已知线段，以为斜边作和，连接，分别是线段、的中点，连接、．(1)如图1，和在线段的两侧．①求证：；②若，；请求出的度数；(2)如图2，和在线段的同侧，若、，则的度数为______（用含、的代数式表示）题型八勾股定理与折叠问题43．如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（

）

A． B． C． D．44．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（

）A． B． C． D．45．如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为．46．如图，在中，，，点分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使A点落在边上的处，，则的长度为：的长度为．47．在中，，，，，分别是斜边AB和直角边CB上的点，把沿着直线DE折叠，顶点的对应点是．(1)如图①，如果点和顶点重合，求CE的长；(2)如图②，如果点落在的中点处，求CE的长．48．学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．

请你运用所学知识，解决下面的问题：(1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度；(2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度．题型九以弦图为背景的计算题49．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（

）A． B． C． D．50．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（

）．A．2024 B．2025 C．2026 D．202751．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为．52．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是．53．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题：(1)如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积是多少？(2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？54．综合与实践长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”．【探究一】（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积；【探究二】（2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）；【探究三】（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值．题型十勾股定理的证明方法55．勾股定理现约有500多种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，在中国周朝的商定提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，古埃及人用“结绳法”在金字塔等建筑的拐角处作出直角；“普林顿322”的古巴比伦泥板上记载了很多勾股数；公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了勾股定理．下面图例中，不能证明勾股定理的是（

）A．

B．

C．

D．

56．如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个57．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有．（填序号）

58．清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，AB与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为．59．勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题：(1)填空：______°，______（用含字母的代数式来表示）；(2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理．60．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理．(1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．(2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到．(3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________．题型十一勾股定理的逆定理综合应用61．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（）．A．4 B． C．5 D．62．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（

）A． B． C． D．∴．∵，，∴，，∴，∴是直角三角形，∴，∴四边形的面积的面积的面积63．如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接．若，，，则的长为．64．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中与都应为直角，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．

（1）这个零件符合要求吗？（填“是”或“否”）（2）这个四边形的面积为．65．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．(1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；(2)试判断与的位置关系，并说明．66．综合与实践(1)问题初探如图1，在中，为边上的中线，求的取值范围．请直接写出的取值范围．(2)问题解决如图2，P为等边三角形内一点，满足，试求的大小．(3)问题拓展如图3，在正方形中，分别为边上的点，满足，若，求证的面积．题型十二勾股定理的应用67．2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次以“指尖上的航模•蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点D处（米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得米，点A与点D之间的水平距离米，已知于点E，，请你求出风筝离地面的高度．68．为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响．(1)求点C到路段的距离；(2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．69．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知________（填“”“”“”）；(2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．70．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）(1)求绳子的总长度；(2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．71．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度；(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．72．【问题背景】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．【探索求证】（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理；【问题解决】（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？【延伸扩展】（3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值．题型十三最短路径的综合应用73．如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少?74．葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？(1)想一想怎样找出最短路径；(2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？75．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．(1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注．(2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）．76．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．A．

B．

C．

D．(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？(3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）77．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．(1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______；②据此直接写出的最小值为______；(2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值．78．项目主题：监控器最优布设方式项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全．已知监控器有效监测距离，最大旋转角度90°；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等．项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即AB为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围．（1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，AB为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；（2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为．反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________．题型十四直角三角形全等的判定79．如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．580．如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（

）①；②；③；④平分；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个81．如图，在和中，，，，则点，之间的距离为．82．如图，中，，平分交于