2021-2025年高考数学真题分类汇编专题12数列（解答题）9种常见考法归类

专题12数列（解答题）9种常见考法归类知识五年考情（20212025）命题趋势知识1等差等比数列基本量的计算及证明（5年5考）考点01等差等比数列基本量的计算2024·上海2023·新课标Ⅰ卷2022·新高考全国Ⅱ卷2021·新高考全国Ⅱ卷2021·浙江1.等差等比数列基本量的计算是必考内容，要求学生熟练掌握数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，能够运用方程思想，通过已知条件建立关于首项、公差、公比等基本量的方程或方程组并求解。2.数列求和是解答题的重点，分组求和法、裂项相消法、错位相减法等求和方法频繁考查，要求学生能够根据数列的通项公式特征，选择合适的求和方法。3.数列与其他知识的综合考查愈发常见，这不仅要求学生掌握数列本身的知识，还需具备良好的知识迁移能力和综合运用能力，能够从整体上把握数学知识体系。考点02等差等比数列的证明2022·全国甲卷2022·上海2022·浙江2021·全国甲卷2021·全国乙卷2021·上海知识2数列求和（5年5考）考点03含绝对值的数列求和2023·全国乙卷考点04分组求和法2024·全国甲卷2023·新课标Ⅱ卷2021·新高考全国Ⅰ卷考点05裂项相消法求和2022·新高考全国Ⅰ卷考点06错位相减法求和2025·全国一卷2025·天津2024·天津2024·全国甲卷2023·全国甲卷2021·全国乙卷2021·天津知识3数列综合（5年5考）考点07等差、等比数列的综合2023·天津2022·天津考点08数列与其他知识的综合2024·新课标Ⅱ卷2023·上海2023·新课标Ⅰ卷考点09数列新定义2024·新课标Ⅰ卷2024·北京2023·北京2022·北京2021·北京考点01等差等比数列基本量的计算【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（1）求数列的通项公式；【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（1）求数列的通项；【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；考点02等差等比数列的证明（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【详解】（1）[方法一]：由于为数列的前n项积，[方法二]【最优解】：所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法下面用数学归纳法证明．即数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）【答案】证明见解析.∴是等差数列.(1)证明：是等差数列；【答案】(1)证明见解析；(2)．（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．所以是以为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质[方法二]：【最优解】邻项变号法【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．9．（2021·全国甲卷·高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明过程见解析选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+与关系式[方法二]：待定系数法选①③作条件证明②：选②③作条件证明①：[方法一]：定义法综上可知为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式【分析】（1）根据等差中项分别验证求解；综上，、、成等比数列，公比为；【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.(1)求可能值；【答案】(1)7或9；(2)答案见解析；回到原题，分类讨论求数列的通项公式：【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.考点03含绝对值的数列求和(1)求的通项公式；（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，考点04分组求和法(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用分组求和法即可求.所以数列的前n项和(1)求的通项公式；(2)证明见解析.（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.（2）求的前20项和.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：所以是以2为首项，3为公差的等差数列，[方法二]：奇偶分类讨论数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．[方法三]：累加法（2）[方法一]：奇偶分类讨论[方法二]：分组求和所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；从而数列的前20项和为：【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.考点05裂项相消法求和(1)求的通项公式；(2)见解析考点06错位相减法求和(1)求的通项公式；（2）根据错位相减法即可解出．两式相减得，【答案】(1)证明见解析；（2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论.(1)求，的通项公式；（ii）求所有元素之和．由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成：…综上所述，中的所有元素之和为(1)求的通项公式；【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．（2）利用错位相减法可求.∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，(1)求的通项公式及；（1）求和的通项公式；【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法[方法三]：构造裂项法[方法四]：导函数法【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.（I）求和的通项公式；【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．【点睛】关键点点睛：考点07等差、等比数列的综合（Ⅱ）求的通项公式及前项和．(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.(1)求与的通项公式；(2)证明见解析【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；考点08数列与其他知识的综合(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；（2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明；【详解】（1）证毕，回到原题.所以对任意的正整数，都有故利用前面已经证明的结论即得所以对任意的正整数，都有将②③代入①，【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）由导数的几何意义得切线方程后证明，（2）构造函数后由导数证明不等式，（3）由等差数列的性质，根据导数判断单调性与方程根的个数后求解，29．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率；【答案】(1)【分析】（1）根据全概率公式即可求出；（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．考点09数列新定义(2)证明见解析(3)证明见解析由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，我们分两种情况证明这个结论.剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列：（如果某一部分的组数为，则忽略之）（如果某一部分的组数为，则忽略之）这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.(2)不存在符合条件的，理由见解析(3)证明见解析故不存在符合条件的；解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，即假设不成立，所以不存在符合条件的.必要性：充分性：为常数列，符合题意；即转为①，可知符合题意；【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.(3)证明见详解【答案】(1)是连续可表数列；不是连续可表数列．(2)证明见解析．(3)证明见解析．【分析】（1）直接利用定义验证即可；从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，可得数列的连续项和均小于20（没有表示出20），与题设矛盾！若数列的项中还有0，则数列的连续项和表示中会少两个正整数（负项与0），不满足题设，因而数列的项是一项负五项正（且这五个正项两两互异）．因为其中最大的是20，所以20的连续项和表示是最多的连续若干个正项之和（即对数列的连续正项全部求和）．满足题设＂，得数列的连续项和表示中会少表示一个正整数，不满足题设，数列的连续项和表示中会少表示一个正整数．均不满足题设．数列的连续项和表示中会少表示一个正整数）.再由数列的连续项和表示中有13，综上所述，可得欲证结论成立．34．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：（1）如果数列的前4项为2，2，2，1，那么是否可能为数列？说明理