2025年上海市卢湾区高考数学四模试卷含解析

2025年上海市卢湾区高考数学四模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的定义域为（）A．或 B．或C． D．2．已知六棱锥各顶点都在同一个球（记为球）的球面上，且底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，若，，则球的表面积为（）A． B． C． D．3．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（）A．17种 B．27种 C．37种 D．47种4．已知函数的零点为m，若存在实数n使且，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知集合，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（）A． B． C． D．7．已知实数集，集合，集合，则（）A． B． C． D．8．设，且，则（）A． B． C． D．9．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．，则与位置关系是()A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面或相交11．双曲线C：（，）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（）A．3 B． C．6 D．12．设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数，满足不等式组，则的最小值为______.14．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为________.15．已知函数在点处的切线经过原点，函数的最小值为，则________.16．设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的一次函数与轴的交点为，且互不相等，则称为关于函数的平均数，记为.当_________时，为的几何平均数.（只需写出一个符合要求的函数即可）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的满足关系式.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的通项公式是，前n项和为，求证：对于任意的正数n，总有.18．（12分）设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.19．（12分）已知函数.（1）若曲线存在与轴垂直的切线，求的取值范围.（2）当时，证明：.20．（12分）已知.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的最小值为1，求的最小值.21．（12分）已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（2）已知点，直线与曲线交于、两点，求.22．（10分）已知点，若点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点，求△面积的最大值及此时直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得，解得或.因此，函数的定义域为或.故选：A.本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.2．D【解析】

由题意，得出六棱锥为正六棱锥，求得，再结合球的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.【详解】由题意，六棱锥底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，可得此六棱锥为正六棱锥，又由，所以，在直角中，因为，所以，设外接球的半径为，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面积为.故选:D.本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.3．C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.【详解】所有可能的情况有种,其中最大值不是4的情况有种,所以取得小球标号最大值是4的取法有种,故选:C本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.4．D【解析】

易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为，所以，∴，问题转化为：使方程在区间上有解，即在区间上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为，∴.故选D．本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.5．A【解析】

解一元二次不等式化简集合的表示，求解函数的定义域化简集合的表示，根据可以得到集合、之间的关系，结合数轴进行求解即可.【详解】，.因为，所以有，因此有.故选：A本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力.6．B【解析】

利用等差数列性质，若，则求出，再利用等差数列前项和公式得【详解】解：因为，由等差数列性质，若，则得，．为数列的前项和，则．故选：．本题考查等差数列性质与等差数列前项和.(1)如果为等差数列，若，则．(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.7．A【解析】

可得集合,求出补集,再求出即可.【详解】由,得,即,所以,所以.故选:A本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.8．C【解析】

将等式变形后，利用二次根式的性质判断出，即可求出的范围.【详解】即故选：C此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据的关系即可求解，属于简单题目.9．C【解析】

根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.【详解】若，根据线面平行的性质定理，可得；若，根据线面平行的判定定理，可得.故选：C.本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.10．D【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交．选D．11．A【解析】

根据焦点到渐近线的距离，可得，然后根据，可得结果.【详解】由题可知：双曲线的渐近线方程为取右焦点，一条渐近线则点到的距离为，由所以，则又所以所以焦距为：故选：A本题考查双曲线渐近线方程，以及之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为，属基础题.12．D【解析】

由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,可得，根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,∴，即，∴，∴数列是以为公比的等比数列，而，所以，∴当时，，故选：D.本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．5【解析】

根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵截距的最值，即可求解【详解】画出不等式组，表示的平面区域如图阴影区域所示，令，则.分析知，当，时，取得最小值，且.本题考查线性规划问题，属于基础题14．40【解析】

设等比数列的公比为，根据，可得，因为，根据均值不等式，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为，，，等比数列的各项为正数，，，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为：.本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15．0【解析】

求出，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出的值，求，求出单调区间，进而求出极小值最小值，即可求解.【详解】，，，切线的方程：，又过原点，所以，，，.当时，；当时，.故函数的最小值，所以.故答案为:0.本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题..16．【解析】

由定义可知三点共线，即，通过整理可得，继而可求出正确答案.【详解】解：根据题意，由定义可知：三点共线.故可得：，即，整理得：，故可以选择等.故答案为:.本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）根据公式得到，计算得到答案.（2），根据裂项求和法计算得到，得到证明.【详解】（1）由已知得时，，故.故数列为等比数列，且公比.又当时，，..（2）..本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18．(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析【解析】

(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.(Ⅱ)设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.(Ⅲ)设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.【详解】(Ⅰ)，，故，，，.故四边形的面积为.(Ⅱ)设为，则，故，设，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)设中点为，则，，相减得到，即，同理可得：的中点，满足，故，故四边形不能为矩形.本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）在上有解，，设，求导根据函数的单调性得到最值，得到答案.（2）证明，只需证，记，求导得到函数的单调性，得到函数的最小值，得到证明.【详解】（1）由题可得，在上有解，则，令，，当时，单调递增；当时，单调递减.所以是的最大值点，所以.（2）由，所以，要证明，只需证，即证.记在上单调递增，且，当时，单调递减；当时，单调递增.所以是的最小值点，，则，故.本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）当时，令，作出的图像，结合图像即可求解；（Ⅱ）结合绝对值三角不等式可得，再由“1”的妙用可拼凑为，结合基本不等式即可求解；【详解】（Ⅰ）令，作出它们的大致图像如下：由或（舍），得点横坐标为2，由对称性知，点横坐标为﹣2，因此不等式的解集为.（Ⅱ）..取等号的条件为，即，联立得因此的最小值为.本题考查绝对值不等式、基本不等式，属于中档题21．(1).(2)【解析】

（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.【详解】（1）对于曲线的极坐标方程为，可得，又由，可得，即，所以曲线的普通方程为.由直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，即直线的方程为，即.（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，可得.化简得：，则.所以.本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22．（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最大