浙江省杭州市某校2024-2025学年高一上学期期末考试数学（实验班）试题（含答案）

第第页浙江省杭州市某校2024-2025学年高一上学期期末考试数学（实验班）试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M=xx=sinnπA．{－1，0，1} B．{0，1}C．∅ D．{0}2．已知复数z=1−i（其中i是虚数单位），则zA．2 B．1 C．2 D．103．已知集合A=xx2+2x<3,A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，cos2B2=a+c2c（A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．已知m为正实数，且msin2x+tanA．1 B．4 C．8 D．96．设a=sinA．log2a<C．a2<log7．在直角三角形ABC中，已知AC=2，BC=23，∠C=90°，以AC为旋转轴将△A．43 B．4 C．838．已知fx=−x2+2A．m<−3 B．m≤−2C．m<−3或m>−2 D．m=−2或m<−3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9．在△ABC中，AB=2，AC=6，∠BAC=60o，D是边A．ABB．△ABC外接圆的半径是2C．若DC=2BDD．若AD是∠BAC的平分线，则AD=10．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，b∈A．f(0)C．f(x)是奇函数 D．若11．如图1所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，E、F、M分别为BC、CD、BE的中点，分别沿AE、AF及EF所在直线把△AEB、△AFD和△EFC折起，使B、C、D三点重合于点P，得到如图2所示的三棱锥P−AEF，则下列结论中正确的有（）A．三棱锥M−AEF的体积为1B．异面直线AM与EF所成角的余弦值为34C．过点M的平面截三棱锥P−AEF的外接球，所得截面的面积的最小值为πD．过点M的平面截三棱锥P−AEF的外接球，所得截面的面积的最大值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，OA=AB13．已知实数a，b∈[0，2]14．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=BC=CD=12AD，点E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折到△A'BE，将△DCE沿CE翻折到△D'CE，使得二面角A'−BE−C等于60°四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200m2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/m2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80（1）设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值.16．设角A,B,C是△ABC的三个内角，已知向量m=(sinA+sinC,（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若向量s=(0,−1),t=(17．已知函数f(x)=(（1）求fπ（2）求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.18．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，AA1=2，D为AC上的点，过（1）证明：DE/（2）若二面角B1−DE−B的大小为60°，求几何体19．已知函数f(x)=x（1）当x∈[1,+∞)时，判断（2）在（1）的条件下，若m满足f(3m)>f(5−2m)，试确定m的取值范围.（3）设函数g(x)=x⋅f(x)+|x2−1|+(k−a)x−a,k为常数.若关于x的方程g(x)=0在(0,2)上有两个解x1,

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵M＝{x|x＝sinnπ3，n∈Z}＝{-32，0，32}，

N＝{x|x＝cosnπ故答案为：D.【分析】利用三角函数的周期性，分别求出sinnπ3（n∈Z）和cosnπ2（n∈2．【答案】C【解析】【解答】解：已知z=1−i，则z所以z2故答案为：C.【分析】利用共轭复数的定义、复数的四则运算化简复数z23．【答案】A【解析】【解答】解：由x2+2x<3，可得−3<x<1，所以因为f(x)=2x+x在R由2x+x<3，可得x<1，所以B=x所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】要判断“x∈A”是“x∈B”的何种条件，需先分别求出集合A和集合B，再根据集合的包含关系来判断条件类型.4．【答案】B【解析】【解答】解：因为cos2B2=a+c2c，所以1+cosB2=a+c2c，整理得到cosB=ac，

又由正弦定理asinA=bsinB=csinC【分析】先利用二倍角公式对已知条件进行化简，得到关于角B的余弦表达式，再结合正弦定理将边的关系转化为角的关系，最后通过三角恒等变换推出角的大小，从而确定三角形形状.5．【答案】D【解析】【解答】解：由msin2x可得m≥1515=17−16cos2x+1cos2x≤17−216cos【分析】先将不等式msin2x+tan2x≥156．【答案】A【解析】【解答】解：因为a=sin7=sin7−2π，且π因为y=2x在R上为增函数，所以因为y=log2x在0,+所以log212<log2a【分析】先利用三角函数的周期性将sin7转化为(0,π2)内的角的正弦值，确定a的取值范围；再分别根据指数函数、对数函数的单调性，结合中间值法比较log27．【答案】D【解析】【解答】如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，∴截面面积为：S△由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，∴∠BAD∈(0°，120°]，∴sin∠BAD最大值为1，∵AB=AD=AC故截面面积最大为12故答案为：D．

【分析】圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，再利用三角形的面积公式得出截面面积为S△8．【答案】D【解析】【解答】解：fx当x≥0时，f(x)的对称轴为x=1，则单调增区间为(0,1)，减区间为(1,+∞当x<0时，f(x)的对称轴为x=−1，则单调增区间为(−∞,−1)，减区间为f(x)的图象如图所示，令t=f(x)，则fx2+mf要使方程fx则方程t2+mt+n=0m,n∈R有两个不同的实根t1,t令g(t)=t当t1=1,t2>2当t1=t2=1综上，m=−2或m<−3，

故答案为：D.【分析】先将函数f(x)写成分段形式，分析其单调性并画出图象；再通过换元法t=f(x)，将原方程转化为关于t的二次方程.结合图象，分析二次方程的根的情况（两个不同实根或重根），从而确定实数m的取值范围，解题核心是函数图象与方程根的转化及分类讨论.9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于选项A：AB⋅AC=对于选项B：由余弦定理，得BC2=4+36−2×2×6×由正弦定理，得△ABC外接圆的半径是12×对于选项C：因为DC=2BD，所以BD=12对于选项D：由等面积法，得1即4AD=63，解得AD=33【分析】本题可分别从向量数量积、正弦定理、向量线性运算、面积法四个角度对每个选项进行分析.先利用向量数量积公式判断选项A；再通过余弦定理求边长，结合正弦定理判断选项B；接着根据向量的线性关系推导选项C；最后用面积法求解选项D，解题时需逐一分析各选项的条件与对应的定理或公式的匹配性.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】令a=b=0，则f(令a=b=1，则f(1)令a=b=−1，则f(1)又令a=−1，b=x，则所以f(令a=2，b=−1所以f(故答案为：ACD

【分析】对a，b取特殊值，代入已知表达式，逐项进行判断，即可得答案.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A选项，翻折前，在正方形ABCD中，AB⊥BE，AD⊥DF，翻折后，则有PA⊥AE，PA⊥AF，因为AE∩AF=A，AE、AF⊂平面AEF，则PA⊥平面AEF，因为M为PE的中点，则VM−AEF对于B选项，在图2中，取PF的中点H，连接MH、AH，因为M、H分别为PE、PF的中点，则MH//EF且则异面直线AM与EF所成的角为∠AMH或其补角，又AM=AH=A由余弦定理可得cos∠AMH=所以，异面直线AM与EF所成角的余弦值为3434对于CD选项，因为PA⊥平面AEF，PE⊥PF，可以把三棱锥P−AEF放到如图所示的长方体中，则三棱锥P−AEF的外接球即为长方体APEH−JFGL的外接球，设长方体APEH−JFGL的体对角线的交点为点O，则O为长方体APEH−JFGL外接球球心，长方体APEH−JFGL的体对角线长为2R=12+因为OE=OP=12PL=62，且M且OM=O设O到过M的平面α的距离为d，则0≤d≤OM=5设平面α截三棱锥P−AEF的外接球O所得圆面的半径为r，则r=R2−d2【分析】本题需分别从三棱锥体积、异面直线所成角、外接球截面面积三个角度分析各选项.对于体积，利用线面垂直关系结合体积公式计算；对于异面直线所成角，通过取中点构造平行线，再用余弦定理求解；对于外接球截面面积，先确定外接球的球心与半径，再分析截面圆半径的取值范围，进而得到面积范围，解题时需逐一突破各选项的核心考点.12．【答案】14【解析】【解答】解：由2AO=AB+AC，可得O为BC的中点，

设△ABC的外接圆的半径为r，可得|AB|＝|OA|＝|OB|＝|OC|＝r，BC=2r，则∠ABC=60∘

所以向量BA在向量BC上的投影为BAcos60∘故答案为：14【分析】第一步，由向量等式判断O是BC中点；第二步，利用外接圆半径和|OA|=|AB|确定三角形边长与角度；第三步，根据投影向量的公式计算13．【答案】2【解析】【解答】由8+4可知8=4则2b−∴2令x=2af(可知f(x)∴f(即2b故答案为：2。

【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则和换元法，再结合函数的单调性求最值的方法，进而得出2b14．【答案】37【解析】【解答】解：设AB=2a，取CE的中点K，连接BK,A'K由题知平面BCE⊥平面D'平面BCE∩平面D'又BK⊂平面BCE，BK⊥CE所以BK⊥平面D'则直线A'B与平面D'易求得BK=3cos∠又cos∠解得A'cos∠则sin∠所以直线A'B与平面D'故答案为：378.

【分析】设AB=2a，取CE的中点K，连接BK,A'K，利用面垂直的性质定理可得BK⊥平面D'CE，结合直线15．【答案】（1）解：设AM=y,AD=x，则x2+4xy=200，所以y=200−x24x，

由x>0,y=200−x24x>0，可得（2）解：令t=x2，则Q=38000+4000(t+100t)，且0<t<200，

因为函数y=t+100t≥2t⋅100t=20，当且仅当【解析】【分析】（1）先设出线段长度，根据面积关系得到变量间的表达式，再分别计算各区域造价，进而推导出总造价关于x的函数解析式及取值范围.（2）通过换元法将函数转化为可利用基本不等式的形式，进而求出总造价的最小值及对应的x值.（1）设AM=y,AD=x，则x2所以y=200−x24x，由所以总造价Q（单位：元）关于x的函数解析式为Q=4200x（2）令t=x2，则Q=38000+4000(t+100因为函数y=t+100当且仅当t=100t时，即t=10时，即所以总造价Q的最小值为Qmin16．【答案】解：(Ⅰ)由题意得m⋅n=sin2A−sin2C+sin2B−sinAsin(Ⅱ)因为s+t=(cosA,2cos2B2−1)=cosA,cosB

，s+t2【解析】【分析】（Ⅰ）利用向量垂直的数量积为0得到三角等式，再结合正弦定理将角的关系转化为边的关系，最后用余弦定理求出角C.（Ⅱ）先求出s+17．【答案】（1）解：由函数的解析式可得：fπ（2）解：∵cosx≠0，得x≠kπ+π2，k∈Z，故fx的定义域为xx≠kπ+π2,k∈Z．

因为fx=3cosx−sinxsin2x2cosx+12=sinx【解析】【分析】（1）直接将x=π（2）先根据分母不为零确定定义域，再对函数进行化简，转化为正弦型函数的标准形式，最后根据正弦函数的性质求最小正周期和单调递减区间.（1）由函数的解析式可得：fπ=（2）∵cosx≠0，得x≠kπ+故fx的定义域为x因为fx=3所以fx的最小正周期为T=由2kπ+π2≤2x+得kπ+π6≤x≤k所以，fx的单调递减区间为kπ+π618．【答案】（1）证明：由题：A1B1//AB，因为A1B1⊂平面A1B1DE，AB⊄平面A1B1DE，所以（2）解：过B作DE的垂线，垂足为F，连接B1因为BB1⊥平面ABC，DE⊂所以BB因为BB1∩BF=B，B所以DE⊥平面BB因为B1F⊂平面所以DE⊥所以∠BFB1就是二面角B又BB1=2底面ABC是边长为2的正三角形，取AB的中点G，连接CG，交AE于点H，则CG⊥AB，且CG=2sin60°=3，所以CECB=CHCG=因为DE//A1B又A1D，B1E不平行，故A1所以几何体CDE−A因为AA1=2所以几何体CDE−A1=1【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理，通过证明平面与平面的交线平行来推导线线平行.（2）先作出二面角的平面角，求出相关线段的长度，确定几何体的形状为三棱台，再根据三棱台的体积公式计算体积.（1）由题：A1因为A1B1⊂平面A1所以AB//平面A1又AB⊂平面ABC，且平面A1B1所以AB//DE.（2）过B作DE的垂线，垂足为F，连接B1因为BB1⊥平面ABC，DE⊂所以BB因为BB1∩BF=B，B所以DE⊥平面BB因为B1F⊂平面所以DE⊥所以∠BFB1就是二面角B又BB1=2底面ABC是边长为2的正三角形，取AB的中点G，连接CG，交AE于点H，则CG⊥AB，且CG=2sin60°=3，所以CECB=CHCG=因为DE//A1B又A1D，B1E不平行，故A1所以几何体CDE−A因为AA1=2所以几何体CDE−A1=119．【答案】（1）解：由题得：f(x)=x+ax+a，设1≤x1<x2，则f(x1)−f(x2)=(x1+（2）解：由（1）得：f(x)在[1,+∞)上为增函数，要满足f(5−2m)<f(