浙江省杭州市学军中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

第第页浙江省杭州市学军中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|−2<x≤1}，B={x|0<x≤3}，则A∩B=（）A．−2,3 B．−2,0 C．0,1 D．1,32．函数f(x)=2x−3A．{x|x>23且C．{x|32≤x≤2}3．下列命题正确的是（）．A．小于90°的角是锐角B．第二象限的角一定大于第一象限的角C．与−2024°终边相同的最小正角是136°D．若α=−2，则α是第四象限角4．已知函数fx=−x2−ax−5,x≤1aA．(−∞,−2] B．−∞,0 C．5．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，−π2A．2 B．0 C．2+2 D．6．已知a>0，b>0且a+b=1，则16a+9babA．49 B．50 C．51 D．527．已知函数fx=sinωx−π4ω>0在区间A．1 B．2 C．3 D．48．已知定义在R上的非常数函数fx满足：对于每一个实数x，都有fx+πA．π4 B．π2 C．π 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．下列说法正确的是（）A．若a>b，则ac2>bc2 B．若C．若a>b，则1a<1b 10．已知函数fxA．fx关于直线x=−B．fx的最大值为C．fx在−D．在0,2π，方程f11．设s,t>0，若满足关于x的方程x−t+x+t=2sA．x1+x2+x3>0 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中相应的横线上.12．已知x+1x=513．若sin(α+π614．已知sin(x+y)=x+1x−1，则四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．若关于x的不等式ax2+3x−1>0（1）求a的值；（2）设集合B=x2m<x<2−m，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数16．已知函数fx=3（1）求a的值以及fx（2）将函数fx图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到gx的图象，若gx（3）已知gθ=517．某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（a>0），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x∈N且50≤x≤80），调整后研发人员的年人均工资增加2x%（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资；②技术人员的年人均工资始终不减少.请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.18．设函数y=f(x)的定义域为D，若对∀x∈D，都有f(2m−x)+f(x)=2n，则称函数f(x)为中心对称函数，其中(m,n)为函数f(x)的对称中心.比如，函数y=1x+1（1）已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，且当x>1时，f(x)=x3，求（2）已知函数f(x)=1（3）已知函数f(x)=c2x+1+1，其中c>0，若正数a,b满足a+b219．已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1,x2⋯,xn∈D（1）试判断gx=x（2）若gx=ax2（3）函数x表示不超过x的最大整数，如1.2=1，2=2，−1.2=−2.hx=ax−ax，x∈0,2

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：集合A=x-2<x≤1，B=故答案为：C.【分析】根据集合的交集的运算法则求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：要使函数f(x)=2x−3+1x−2的意义，则2x−3≥0x−2≠0则函数的定义域为{x|x≥3故答案为：D.【分析】根据根式和分式函数有意义，列出不等式组2x−3≥0x−2≠03．【答案】C【解析】【解答】解：因为−10°<90°，但是由锐角的定义知−10°不是锐角，故A错误；因为100°是第二象限的角，400°是第一象限的角，但100°<400°，故B错误；因为−2024°=−6×360°+136°，所以与−2024°终边相同的最小正角是136°，故C正确；因为α=−2<−π2且α=−2>−π故答案为：C.【分析】根据锐角定义判断选项A；取特殊角结合象限角的定义，则判断选项B；根据终边相同的角的定义和最小正角的定义，则判断选项C；确定α所在象限，则判断出选项D，进而找出真命题的选项.4．【答案】D【解析】【解答】解：由对任意x1≠x2，都有fx故有−−a2×−1故答案为：D.【分析】由f(x1)-f(x2)x5．【答案】B【解析】【解答】解：由f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象可知，A=2，T=8，

故ω=2πT=π4，又f(0)=0且|φ|<π2，则可得出φ=0，故f(x)=2sinπ4x.故答案为：B.【分析】先由图象确定函数f(x)=2sin6．【答案】A【解析】【解答】解：因为a>0，b>0且a+b=1，所以16a+9bab=当且仅当16ab=9ba，即故答案为：A.【分析】将所求式子16a+9bab拆分为16b+9a7．【答案】B【解析】【解答】解：因为函数f(x)=sinωx−π4ω>0所以0<ω4≤1因为x∈0,π4当π4ω−π4≤令gω=sin令Fω因为F0=−2所以存在唯一ω，使得sinπ当π4ω−π4>π2，即3<ω≤4所以实数ω的取值个数最多为2.故答案为：B.【分析】先根据最大值范围确定ω的大致区间，再分区间讨论正弦函数的最大值情况，结合函数图象和方程求解，确定ω的取值个数.8．【答案】B【解析】【解答】解：因为fx+所以fx+即fx+π4令x=x+π4则②−①得：由fx+π4=1+2f即fx≥1对任意则fx+π2−1=fx则π2为f若π4为fx的一个周期，即fx+整理得fx−12所以fx=1+2所以π4不是函数f故答案为：B.【分析】先对已知等式平方整理，通过变量代换得到周期为π29．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、若a>b，当c=0时，acB、c>d，可得−c<−d，因为a<b，所以a+−c<b+−dC、当a=1，b=−1时，满足a>b，但1aD、函数y=x3在R上为增函数，则故答案为：BD.【分析】取特殊值即可判断AC；根据不等式的性质即可判断B；根据幂函数的单调性即可判断D.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】若sinx<cosx即x−π4∈2kπ故fx=min故其图象如图所示：对A：由图象可得fx不关于直线x=−对B：由图象可得fx的最大值为2对C：当x∈−π2则fx在−π2对D：由图象，当m∈−1,−22时，方程f在m∉−1,−22时，方程f故答案为：B、C、D.【分析】由题可得fx=sin11．【答案】C,D【解析】【解答】解：令fx=x−t+x+t有f−x故fx为偶函数，则xfx=2s必有一解为0，则f0①当0≤x≤t时，因a>0,b>0时，a+b≤2a2+b②当x>t时，fx=x−t+x+t由x−t+x+t=2t可得x−t+2x−t又∵fx在t,+∞上递增，∴x3=∴s−t=4故答案为：CD.【分析】先判断函数f(x)的奇偶性，得出根的对称性，再结合f(0)的关系和x>t时的方程求解t、s，进而分析各选项.12．【答案】2或12【解析】【解答】解：由x+1x=52，两边乘2x（x≠0）得2x2+2=5x，

即2x2【分析】将分式方程化为一元二次方程，通过因式分解求解，再验证解的有效性.13．【答案】7【解析】【解答】sin(2α+5π614．【答案】π【解析】【解答】解：当x>0时，x+1x≥2x⋅1当x<0时，x+1当且仅当x=−1时取等号，故x+1因为正弦函数的值域为−1,1，所以−1≤x+1x−1≤1所以x+1x=2将x=1代入原方程：sin(1+y)=1=故1+y=π2+2k当k=0即y=π2−1时，xy有最小值xy=π【分析】先由基本不等式确定x+1x的可能值，再代入三角函数求出y，进而得到15．【答案】（1）解：因为关于x的不等式ax2+3x−1>0的解集是x12<x<1，

故ax2+3x−1=0（2）解：由题意集合，A⊆B，由于A=x12<x<1，【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求a的值.（2）根据充分条件的定义转化为集合的包含关系，列出不等式组求解实数m的取值范围.（1）因为关于x的不等式ax2+3x−1>0故ax2+3x−1=0的两根为1故12（2）由题意集合，A⊆B，由于A=x则2m≤116．【答案】（1）解：根据题意，f(x)=cos(2x+π6)+a，又f−π12=1，∴cos−π6+π6（2）解：由题可得，g(x)=cos(x+π6)，所以gx≥12，即cosx+π6≥1（3）解：∵gθ=cosθ+π6=55，∴sinθ+π6=±255，【解析】【分析】（1）先化简函数，代入已知点求a，再根据余弦函数对称轴公式求解.（2）根据图象变换得到g(x)，结合余弦函数不等式求解取值范围.（3）利用两角差的余弦公式，结合sinθ+π6（1）根据题意，f(x)=cos(2x+π∴cos−π∴f(x)=cos(2x+π6)所以fx的对称轴为x=−（2）由题可得，g(x)=cos所以gx≥1∴−π即−π所以x的取值范围是−π2+2k（3）∵gθ∴cos当sinθ+π6当sinθ+π6所以cosθ=17．【答案】（1）解：依题意可得调整后研发人员的年人均工资为1+2x则200−x1+整理得0.02x2−3x≤0因为x∈N且50≤x≤80，所以50≤x≤80，故120≤200−x≤150所以调整后的研发人员的人数最少为120人；（2）解：由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，得200−x1+2x%a≥xm−x10a，整理得m≤200x+2x25+3；

由条件②技术人员年人均工资不减少，得am−x10≥a，解得m≥x10+1;

假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，

因为200【解析】【分析】（1）根据工资关系列不等式，化简求解研发人员人数的最小值.（2）分别根据两个条件列不等式，结合基本不等式和函数最值求m的范围.（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为1+2x则200−x1+整理得0.02x2−3x≤0因为x∈N且50≤x≤80，所以50≤x≤80，故120≤200−x≤150所以调整后的研发人员的人数最少为120人；（2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，得200−x1+2x%由条件②技术人员年人均工资不减少，得am−x假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，因为200x当且仅当200x=2x所以m≤11，又因为m≥x10+1（50≤x≤80所以9≤m≤11.18．【答案】（1）解：由在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，得f(2−x)+f(x)=2，则f(2)+f(0)=2，而当x>1时，f(x)=x3，于是f(1)+f(1)=2，所以f(1)=1.（2）解：函数f(x)=1x+1+1x+3的对称中心为(−2,0)，

f(x)+f(−4−x)=1x+1（3）解：函数f(x)=c2x+1则函数f(x)的对称中心为(−1,c记S=f(−2024)+f(−2023)+f(−2022)+⋯+f(2020)+f(2021)+f(2022)，则S=f(2022)+f(2021)+f(2020)+⋯+f(−2022)+f(−2023)+f(−2024)，于是2S=4047c，即S=4047c2，依题意，a+b≥4047c，不等式t(a+4047c)b≤a而a≥22⋅ab+12⋅2所以t的取值范围是t≤3【解析】【分析】（1）利用中心对称的定义列等式，代入特殊值计算f(0)和f(1).（2）猜测对称中心，通过代入验证f(x)+f(2m−x)=2n的形式证明.（3）先求函数的对称中心，利用对称性求和，再结合不等式分离参数，通过基本不等式求最值确定t的范围.（1）由在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，得f(2−x)+f(x)=2，则f(2)+f(0)=2，而当x>1时，f(x)=x3，于是f(1)+f(1)=2，所以f(1)=1.（2）函数f(x)=1x+1+f(x)+f(−4−x)=1所以函数f(x)的对称中心为(−2,0).（3）函数f(x)=c2x+1则函数f(x)的对称中心为(−1,c记S=f(−2024)+f(−2023)+f(−2022)+⋯+f(2020)+f(2021)+f(2022)，则S=f(2022)+f(2021)+f(2020)+⋯+f(−2022)+f(−2023)+f(−202