四川省自贡市2026届高三第一次诊断性考试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页四川省自贡市2026届高三第一次诊断性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合M=x2x−3≥A．{1,2,3} B．{2．已知复数z满足i⋅z−1=A．4 B．22 C．2 D．3．若tanθ=−2，则A．1 B．3 C．9 D．104．等比数列an中，a1+a2+aA．27 B．81 C．243 D．7295．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（

）A．4 B．5 C．6 D．76．已知a>b>1，若logab+A．8 B．6 C．4 D．27．已知随机变量ξ~N(1,σ2)，且A．92 B．3 C．73 8．若函数f(x)=3sinωx+A．4 B．5 C．6 D．7二、多选题9．将函数f(x)=sinA．g(x)的最小正周期是πC．g(x)在(0,5π10．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未患病者判定为阳性的概率，以下说法正确的是（

）A．某人的医学指标大于临界值c，那么他可能是患病者B．在患病者中，其指标的中位数大于平均数C．在未患病者中，指标的第25百分位数为76.5D．指标临界值c越高，漏诊率越低，误诊率越高11．定义域为R的函数f(x)A．使得f(x)B．使得f(x)C．存在在R上单调递增的函数f(x)D．存在在R上单调递减的函数f(x)三、填空题12．若非零向量a、b的夹角为2π3，且a=2b13．若圆锥和圆柱的底面半径、高和侧面积都相等，设该圆锥体积为33π，则该圆柱的高为14．若函数f(x)=k四、解答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos(1)求a；(2)若△ABC的面积为52216．从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率．(1)估计甲队队员投中的概率p；(2)从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设X为这2名队员中投中的人数，估计X的数学期望；(3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为p1，p2，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，比较p117．三棱锥P−ABC中，AB=2，BC=(1)求三棱锥P−(2)若M是PC的中点，求证：PB(3)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．18．设数列an的前n项和为S(1)求an(2)若bn=2n，求数列an(3)设cn=λan+(1−λ)bn19．设定义在R上的函数f(x)=a3x3+a2(1)求f((2)点M在直线x=−2上，过点M作曲线y(3)当x∈[0,+∞)时都有直线l:y=ax+b（a，答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《四川省自贡市2026届高三第一次诊断性考试数学试题》参考答案题号12345678910答案CDCBBADAABABC题号11答案AD1．C【分析】化简集合M，再利用交集的定义直接求解.【详解】依题意，集合M={x所以M∩故选：C2．D【分析】根据给定条件，利用复数除法求出z，再利用复数模的定义求解.【详解】由i⋅z−1=故选：D3．C【分析】先利用二倍角和同角的三角函数关系将1−【详解】1−故选：C4．B【分析】将已知等式转化成a1与q【详解】设等比数列an的公比为qa1+a两式作比可得q2又a故选：B5．B【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式求解.【详解】元件A不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有2×元件A正常，当且仅当元件B,C都不通，设备从a到所以n=故选：B6．A【分析】根据给定条件，利用对数运算性质及指数运算求解.【详解】由a>b>1，得logb则logba=2，即a=b2，又a所以ab故选：A7．D【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出a，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】由随机变量ξ~N(1,σ2由0<x≥14(5+所以所求最小值为94故选：D8．A【分析】利用辅助角公式化简函数f(【详解】函数f(x)=3由函数f(x)在(0,由f(x+π)=f解得ω=2k,k故选：A9．AB【分析】利用图象平移变换求出g(【详解】依题意，g(对于A，g(x)对于B，g(对于C，由2x−π4=π2g(x)对于D，由g(3π8)故选：AB10．ABC【分析】根据临界值的定义，判断选项A的正误；根据频率分布直方图的平均数和中位数的求法，判断选项B的正误；根据频率分布直方图的第p百分位数的算法，判断选项C的正误；根据患病和未患病的该指标的频率分布直方图，判断选项D的正误；【详解】根据临界值c的定义，将该指标大于c的人判定为阳性，所以A正确；在患病者的该指标的频率分布直方图中，可知0.002×5+则中位数为117，平均数为97.5×所以B正确；在未患病者的该指标的频率分布直方图中，可知0.038×5=即第25百分位数为76.5，所以C正确；当95<c<则95<x0根据该指标的频率分布直方图可知，c越高，漏诊率越高，误诊率越低，所以D错误；故选：ABC.11．AD【分析】利用反证法可判断BC错误，假设成立，找到矛盾；构造函数fx=e【详解】A．设fx=ex2+mB．使得f(x)−f(矛盾，B选项错误；C．若存在R上单调递增的函数f(x)使得f(故当x>0时，f6x>f3D．假设fx=−14x，则故选：AD12．0【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质化简即可得解.【详解】因为非零向量a、b的夹角为2π3，且a则a+故答案为：0.13．3【分析】根据给定条件，利用圆锥、圆柱的侧面积公式及圆锥的体积公式列式求解.【详解】设圆锥的底面半径、高分别为r,h，则该圆锥的母线依题意，2πrh=π由该圆锥体积为33π，得13πr所以该圆柱的高为3.故答案为：314．e【分析】根据函数零点和方程的解的关系，以及函数单调性和函数导数的关系，构造函数，判断函数单调性，求出方程有三个解时，参数的范围即可.【详解】当函数f(x)当x=即当x≠1时，方程设函数gx=xg′令g′x=0，即lnx当0<x<1时，lnx<0，则ln当1<x<e2时，0<lnx<当x>e2时，lnx>2，则lnx可知x→0时，gx→0因为ge2=e24，所以当k=故答案为：e215．(1)3(2)10【分析】（1）根据同角关系解得sinC，再使用正弦定理即可求解a（2）根据面积求解b，再利用余弦定理求得c，再次使用面积S=【详解】（1）根据sin2C+cos因为asinA=所以a⋅22（2）S=12则cosC=a则S=12c16．(1)45(2)32(3)p1【分析】（1）利用频率估计概率求解.（2）求出X的可能取值及对应的概率，进而求出其期望.（3）利用全概率公式列式分别求出p1【详解】（1）由从甲篮球队随机抽取10名队员进行定点投篮测试，有8人投中，得p=所以甲队队员投中的概率为45（2）记从甲队抽取的队员投中为事件A，乙队抽取的队员投中为事件B，则P(A)=4P(X=P(所以X的数学期望E(（3）记事件C为“甲队队员掌握了定点投篮技巧投中”，其概率为p1事件D为“乙队队员掌握了定点投篮技巧投中”，其概率为p2由甲队队员掌握了技巧，有90%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中，得0.9p1+由乙队队员掌握了技巧，有80%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中，得0.8p2+所以p117．(1)23(2)证明见解析；(3)217【分析】（1）补形成四棱锥，根据给定条件可得AD⊥平面（2）由（1）中信息建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证.（3）求出平面PAC与平面PBC的法向量，再利用面面角的向量法求解.【详解】（1）过点A作AD//BC，使A而AB⊥BC，则▱ABC而CD∩PC=C,CD,P则AD⊥PD，由PA⊥A而AD=BC=于是PD2+CD2=因此PD⊥平面AB所以三棱锥P−AB（2）由（1）知，直线DA,DC,DPA(AM=(所以PB（3）由（2）得CB设平面PAC与平面PBC的法向量分别为m=则m⋅CP=−n⋅CB=x因此cos〈所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为21718．(1)10(2)T(3)存在，正整数n为4【分析】（1）利用an=S（2）根据已知写出an（3）设An,an,Bn,b【详解】（1）∵Sn=5当n≥2两式作差可得：n≥2，an=S故综上：an（2）由（1）可知an=10T2两式相减得：−==T数列anbn的前（3）存在正整数n的值为4，5，6时，满足an、bn、由题意得：an不妨设An由cn=λan+1则由mina即对任意得λ∈0,令10x−则f′x=2存在x0∈即当0<x<x0时，f当x>x0时，f′x故fx至多2个零点，又由f1>不妨设x1,x2x①若an≤bn，10n−9≤2要使an、bn、cn的值均能构成三角形，所以a所以有10n−9②若an≥bn，10n−9要使an、bn、cn的值均能构成三角形，所以b所以有10n−9综上可知，正整数n为4，5，6.19．(1)f(2)−(3)答案见解析【分析】（1）根据函数导数的零点和函数极值点之间的关系，以及二次函数对称轴的性质，求出函数导数，列出方程组，求出函数解析式；（2）根据导函数的几何意义，求出函数的切线方程，根据直线垂直的性质，列出方程，求出参数值，求出结果；（3）根据不等式恒成立的概念，构造函数，根据二次函数性质求出函数最小值，根据函数导数求出函数最小值，列出不等式组，求出结果.【详解】（1）由f(x)因为y=f′(x可得f(x)当x=−22时，f(即−24a所以函数f(（2）由（1）可知f(x)令gx=2设过点M−2,y